庫爾蓋爾，這位杰出的奧地利數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家，是20世紀(jì)最重要的學(xué)者之一。在第二次世界大戰(zhàn)前，移居美國，并在普林斯頓的高級(jí)研究院工作，成為愛因斯坦以及其他著名科學(xué)家的同事。庫爾蓋爾的學(xué)術(shù)成就特別體現(xiàn)在他的兩大不完全性定理上，這兩條定理揭示了數(shù)學(xué)推理的內(nèi)在局限性，表明某些數(shù)學(xué)命題無法在給定系統(tǒng)內(nèi)證明或推翻。愛因斯坦曾言，自己來到普林斯頓的唯一原因，就是為了晚上能和庫爾蓋爾一起走回家，顯然，愛因斯坦認(rèn)為庫爾蓋爾的智慧遠(yuǎn)勝自己。

數(shù)學(xué)的研究方式是什么？物理學(xué)建立在數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，化學(xué)又依賴物理學(xué)，生物學(xué)則建立在化學(xué)的基礎(chǔ)上。那么，數(shù)學(xué)又是建立在什么基礎(chǔ)上的呢？數(shù)學(xué)是建立在公理之上的。每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看作是一個(gè)形式系統(tǒng)，而這個(gè)系統(tǒng)的核心是公理體系，也稱公設(shè)。公設(shè)是被認(rèn)為理所當(dāng)然的陳述，通常無需證明。

最早的形式系統(tǒng)之一是歐幾里得幾何，它大約在2200年前由歐幾里得在其著名的《幾何原本》一書中提出，這一學(xué)科至今仍是學(xué)校里常見的內(nèi)容。歐幾里得幾何研究的是平面幾何，平面指的是像桌面一樣向所有方向無限延伸的完美表面。在這個(gè)幾何學(xué)科中，研究的對(duì)象包括線條、三角形、圓等圖形。

例如，一個(gè)公理是：“如果有兩個(gè)不同的點(diǎn)，它們不重合，那么在平面上通過這兩個(gè)點(diǎn)將有一條唯一的直線。”這個(gè)命題可能看起來很自然，但它其實(shí)是一個(gè)數(shù)學(xué)公理。要建立數(shù)學(xué)體系，必須從某個(gè)起點(diǎn)開始，并選擇一些公設(shè)或陳述，假定這些陳述是顯而易見的，無需證明。通常，這些公設(shè)是直觀清晰的，但它們是數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)，無法缺少。

這些公理可以被看作是“觀察者”，因?yàn)樗鼈冊(cè)谶x擇時(shí)包含了一定的主觀性。那么，誰來選擇這些公理呢？正如Alan WS常說的，“誰來觀察觀察者？”在數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)家們的選擇其實(shí)有些類似于鏡子游戲。通常我們認(rèn)為數(shù)學(xué)是客觀的，是唯一的客觀科學(xué)，沒錯(cuò)，但這背后隱藏了一個(gè)事實(shí)——數(shù)學(xué)是建立在公理之上的，而這些公理并非唯一，實(shí)際上存在多種選擇。

歐幾里得幾何是一個(gè)很好的例子。歐幾里得提出了五個(gè)公理，其中四個(gè)是顯而易見的，而第五個(gè)被稱為著名的“平行公設(shè)”。它的內(nèi)容是：如果有一條直線和一個(gè)點(diǎn)，且該點(diǎn)不在這條直線上的話，那么通過這個(gè)點(diǎn)將有一條唯一的直線與原直線平行，不會(huì)與之相交。歐幾里得本人對(duì)這一公設(shè)感到不安，因?yàn)樗僭O(shè)了一個(gè)并不顯而易見的命題。長時(shí)間以來，數(shù)學(xué)家們嘗試從其他更直觀的公理中推導(dǎo)出這一公設(shè)，但始終未能成功。直到近2000年后，數(shù)學(xué)家們才意識(shí)到，不僅無法推導(dǎo)出這個(gè)公設(shè)，實(shí)際上，如果采用它的對(duì)立面，依然可以得到一致且合法的數(shù)學(xué)結(jié)果，這就是非歐幾里得幾何。

非歐幾里得幾何并不復(fù)雜，可以通過具體的例子來理解。比如，想象一個(gè)球體的表面，比如籃球的表面或地球的表面（理想化的）。在這樣的表面上，點(diǎn)和直線的關(guān)系與歐幾里得平面中的情形不同，任何兩條經(jīng)線都會(huì)相交，而在歐幾里得幾何中，平行線永遠(yuǎn)不相交。此外，還有超球面幾何，其中有無數(shù)條直線彼此不相交。

這些例子表明，通過不同的公理選擇，可以創(chuàng)造出不同的數(shù)學(xué)體系。

在數(shù)學(xué)中，推理規(guī)則起著重要作用，比如“如果A為真且A推導(dǎo)出B，那么B也為真”。這些推理規(guī)則大部分在歐幾里得之前就由亞里士多德提出。數(shù)學(xué)的基本構(gòu)架是這樣的：首先有一些公理，這些公理被接受為真。然后，通過使用邏輯推理規(guī)則，可以從這些公理推導(dǎo)出新的命題，這些新命題被稱為定理，并將其加入到真命題的集合中。那么，問題就來了：能夠推導(dǎo)出多少個(gè)命題呢？顯然，我們希望這個(gè)系統(tǒng)不是平凡的，換句話說，它不能推導(dǎo)出所有命題。如果能夠推導(dǎo)出所有命題，那么就意味著系統(tǒng)自相矛盾，既證明了命題A為真，又證明了命題A的否定為真，這顯然毫無意義。因此，系統(tǒng)必須具有足夠的區(qū)分度，不能推導(dǎo)出矛盾的命題。

因此，數(shù)學(xué)家們討論一致性的問題：這個(gè)系統(tǒng)必須是自洽的，不能出現(xiàn)矛盾。直到20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)界普遍認(rèn)為，所有的數(shù)學(xué)命題都可以通過這種推理過程來推導(dǎo)出來。只需要找到正確的公理系統(tǒng)，并遵循這個(gè)推理程序，所有需要的命題都能通過這個(gè)程序生成。實(shí)際上，這個(gè)過程是一個(gè)算法過程，理論上可以在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。

那么，這個(gè)過程有什么特別之處呢？在這個(gè)過程中，實(shí)際上只是在操控符號(hào)。從一個(gè)命題推導(dǎo)到另一個(gè)命題，而不需要真正理解其含義。這就像計(jì)算機(jī)程序的運(yùn)作，它是一個(gè)純粹的語法過程，遵循著一些嚴(yán)格的規(guī)則，從一個(gè)命題推導(dǎo)出另一個(gè)命題。大多數(shù)數(shù)學(xué)家相信，通過這種方式可以生成所有正確的命題。如果這一點(diǎn)成立，那么它會(huì)為“生活一切皆計(jì)算”的命題提供很多可信度——因?yàn)橹辽贁?shù)學(xué)是計(jì)算的，它可以被編程，并且在足夠的時(shí)間內(nèi)，依靠計(jì)算機(jī)的能力，最終可以生成所有正確的命題。

然而，哥德爾的第一不完備定理表明，情況并非如此。他不僅僅提出了這一點(diǎn)，還通過極為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明了這一結(jié)論——也就是說，在他所研究的另一個(gè)形式系統(tǒng)中，做出了這一證明。更準(zhǔn)確地說，他證明了：如果有一個(gè)足夠復(fù)雜的形式系統(tǒng)，即這個(gè)系統(tǒng)可以處理數(shù)字，包括1、2、3等整數(shù)，并能夠形式化加法和乘法操作，而且該系統(tǒng)是一致的（即它并非完全無用），那么在這個(gè)系統(tǒng)中將存在一個(gè)命題，它無法通過標(biāo)準(zhǔn)的推理過程——從公理推導(dǎo)出定理——來證明。這是一個(gè)令人震驚的發(fā)現(xiàn)。于是，1931年成為了邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)革命的起點(diǎn)，至今我們?nèi)阅芨惺艿竭@一發(fā)現(xiàn)帶來的深遠(yuǎn)影響。

在大約同一時(shí)期，計(jì)算機(jī)的雛形開始出現(xiàn)，計(jì)算系統(tǒng)的工程學(xué)逐步成型。圖靈（Alan Turing）被認(rèn)為是現(xiàn)代計(jì)算的奠基人，他實(shí)際上做了類似的工作——提出了停機(jī)問題，并證明了這一問題無法通過算法解決。也就是說，我們無法從所有計(jì)算機(jī)程序中判斷哪些是有意義的，哪些不是，哪些程序會(huì)停止，哪些程序不會(huì)停止。這一結(jié)論在某種程度上是令人沮喪的，至少從某些角度來看。

然而，從另一個(gè)角度來看，這也是一種肯定生活復(fù)雜性的結(jié)果，因?yàn)橐磺卸汲錆M了悖論。這意味著，如果我們從一開始就堅(jiān)信某個(gè)觀點(diǎn)，然后突然發(fā)現(xiàn)它不成立，的確是令人失望的。不過，我的反駁是：如果他證明了所有事情都能被證明，那么作為數(shù)學(xué)家還能做什么呢？那樣一來，數(shù)學(xué)將失去意義。對(duì)我來說，恰恰是因?yàn)榇嬖诓煌陚湫?，這給了我們機(jī)會(huì)去做新的嘗試，去發(fā)現(xiàn)新的東西，而計(jì)算機(jī)也許永遠(yuǎn)無法完成這些探索——當(dāng)然，基于我們現(xiàn)在的理解，也許未來會(huì)有新的技術(shù)和思想，改變我們對(duì)“計(jì)算”一詞的定義。

比如如今，我們提到圖靈機(jī)或者丘奇理論，但如果未來有像圖靈一樣的天才提出一種全新的視角，理論將會(huì)發(fā)展，就像從牛頓的引力理論到愛因斯坦的引力理論一樣。也許在新的框架下，會(huì)有其他可能性浮現(xiàn)出來。因此，這不僅僅是確定它是什么，或者它應(yīng)該是什么，而是看作一個(gè)開放的過程。我認(rèn)為，這種開放性比確定唯一的答案更有意義。

你是否曾經(jīng)了解或思考過細(xì)胞自動(dòng)機(jī)和“涌現(xiàn)”這一概念嗎？每當(dāng)我回想起《生命游戲》，看到其中的現(xiàn)象，都會(huì)感到非常震撼。那些簡單的規(guī)則和分布式系統(tǒng)竟能表現(xiàn)出如此復(fù)雜的行為，讓人不禁產(chǎn)生懷疑：也許我們所謂的計(jì)算在最基本的層面上是簡單的，但當(dāng)你轉(zhuǎn)向更高層次的抽象，站在更遠(yuǎn)的視角去看，你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)比最初規(guī)則更加復(fù)雜、更加有趣和美麗的東西。

我們的科學(xué)直覺曾經(jīng)認(rèn)為這些簡單的規(guī)則不可能產(chǎn)生如此復(fù)雜性和美麗。我不確定是否有人能夠給出一個(gè)明確的答案，或者關(guān)于“為什么復(fù)雜性會(huì)從簡單事物中涌現(xiàn)”的模型。這是一個(gè)“為什么”的問題，而不是“怎樣”的問題。每個(gè)“為什么”問題最終會(huì)有一個(gè)答案，可能并非嚴(yán)格的答案，而是一個(gè)近似的，像量子力學(xué)那樣，99%的準(zhǔn)確度就能描述清楚。但也許在100年后，或者明年，某個(gè)人會(huì)提出不同的見解，突然改變我們的視角。

當(dāng)我們談到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，我們談?wù)摰氖怯?xùn)練數(shù)據(jù)和其他東西，例如你喂給程序一些圖片，嘗試找到一個(gè)優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來判斷這是一只狗還是一只貓。但有時(shí)，程序并沒有一個(gè)明確的答案。你該怎么辦呢？其實(shí)我不知道現(xiàn)代的人工智能是否已經(jīng)意識(shí)到這個(gè)問題，事實(shí)上，有時(shí)你會(huì)有一張圖片，你無法確定它到底是什么。從一個(gè)角度看它是一只兔子，從另一個(gè)角度看它是一只鴨子。如果神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要區(qū)分兔子和鴨子，那么它該如何處理呢？這個(gè)問題的簡單解決方法是：給出一個(gè)概率，比如這是一只鴨子的概率，這是一只兔子的概率。這是一個(gè)不錯(cuò)的辦法，但我還想說，對(duì)于每一張這樣的圖片，我的思維會(huì)立刻有某種解讀，但沒有一個(gè)“固定的百分比”。

因?yàn)槲抑榔渌丝赡軙?huì)從不同的角度看待它，我就會(huì)不斷地思考、努力睜大眼睛，嘗試從不同的視角去觀察。有時(shí)我能立刻看到，然后在兩種視角之間迅速切換，而有時(shí)對(duì)于某些圖片，我需要花一些時(shí)間才能看出不同的角度。因此，從這個(gè)角度來看，即使存在這些概率，它們也是主觀的。有些人會(huì)立刻以一種方式看到它，而其他人則可能從另一種方式看。我認(rèn)為沒有人能夠完全解釋這個(gè)問題，無論是心理學(xué)家、神經(jīng)科學(xué)家還是哲學(xué)家。

作為一個(gè)科學(xué)的思維者，盡管我說過不應(yīng)該追求解釋，給神秘主義留點(diǎn)空間，但我還是希望能夠得到一個(gè)理論，一個(gè)解釋。最接近的解釋是尼爾斯·玻爾的互補(bǔ)性原理，類似于粒子和波的關(guān)系，展示了不同的觀察方式。從某個(gè)角度看，另一面就會(huì)被遮蔽。就像月亮的另一面，我們只能看到月亮的這一面，無法看到另一面，但這并不意味著月亮不存在另一面，它仍然是月亮。問題在于我們無法完全理解整體，這正是互補(bǔ)性。量子力學(xué)告訴我們，我們的物理現(xiàn)實(shí)并不是確定的，它有多種不同的理解方式，我們應(yīng)該接受這一點(diǎn)。

順便提一下，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的討論中，我想強(qiáng)調(diào)的是，最終人類是建立在人類之上的。例如，ChatGPT 就是通過人類反饋的強(qiáng)化學(xué)習(xí)來訓(xùn)練的，實(shí)際上是通過一組人類來教導(dǎo)這些網(wǎng)絡(luò)，這往往是人們忽視的一點(diǎn)。我時(shí)常思考，標(biāo)注數(shù)據(jù)并將數(shù)據(jù)輸入網(wǎng)絡(luò)的人，他們每個(gè)人都有自己的人生經(jīng)歷，帶著他們的偏見，喜歡一些東西，排斥其他東西。這些偏見可能悄悄地滲透到背后，甚至他們自己也未必意識(shí)到。這正是你提到的一個(gè)重要問題，在我看來，這不是缺陷，而是特性。

當(dāng)我們討論計(jì)算問題時(shí)，潛在的假設(shè)是，我們的意識(shí)能夠完全控制我們的內(nèi)心世界，但我們都知道事實(shí)并非如此。每個(gè)人都見過一些表現(xiàn)出破壞性傾向的人，顯然他們做了一些對(duì)自己有害的事，我們中的很多人也有過類似的經(jīng)歷，這是人性的一部分。在過去100年里，分析心理學(xué)的研究已強(qiáng)烈證明了卡爾·榮格所說的“個(gè)人無意識(shí)”和“集體無意識(shí)”的存在，這些潛藏在背后的想法能夠激發(fā)我們強(qiáng)烈的情感，推動(dòng)我們以某種方式行動(dòng)，盡管我們并不完全理解它們。因此，如果我們接受這一點(diǎn)，命題便是：無論我們的行為看起來多么中立、多么正義、多么意識(shí)清晰，它們背后總有一些我們未曾意識(shí)到的心理因素，這種觀點(diǎn)就顯得尤為有趣。