推導(dǎo)勒讓德方程的正則解的具體形式。

利用冪級(jí)數(shù)的方法已經(jīng)求出了勒讓德方程在  的鄰域的第一個(gè)冪級(jí)數(shù)解：級(jí)數(shù)中各個(gè)冪次的系數(shù)滿(mǎn)足如下遞推關(guān)系：有了常微分方程的第一個(gè)解，就可以通過(guò)積分的方法求它的第二個(gè)解了。

對(duì)勒讓德方程，它的第一個(gè)系數(shù)根據(jù)求第二個(gè)解的方法，對(duì)這個(gè)系數(shù)做不定積分：就可以得到方程的第二個(gè)解：顯然，解的一般表達(dá)式依賴(lài)于參數(shù)  ，要進(jìn)一步求出兩個(gè)正則解的具體形式，必須指定一個(gè)確定的參數(shù)。下面來(lái)看幾個(gè)具體的實(shí)例。

對(duì)  ，從第一個(gè)解的系數(shù)的遞推關(guān)系容易得到，除了  外，其余系數(shù)都等于零。于是，方程的第一個(gè)解  。由此可以得到方程的第二個(gè)解：公式中  是一個(gè)任意積分常數(shù)。

對(duì)  ，由遞推關(guān)系可以得到  ，其余系數(shù)都等于零。由此得到方程的第一個(gè)解  。有了第一個(gè)解，通過(guò)積分就得到第二個(gè)解：公式中  是一個(gè)任意積分常數(shù)。

對(duì)  ，由遞推關(guān)系可以得到其余系數(shù)都等于零。由此得到方程的第一個(gè)解：將這個(gè)第一解代入積分公式，就可以求出第二個(gè)正則解：公式中  是一個(gè)任意積分常數(shù)。

顯然，對(duì)  的情況，第二解中的積分并不是一個(gè)容易得到結(jié)果的積分運(yùn)算，把它們的結(jié)果算出來(lái)，可以測(cè)試你在積分運(yùn)算上的功力。