封面 ｜ 虛數(shù)幻像

“虛數(shù)是神圣精神的美妙庇護(hù)所，幾乎是存在與非存在之間的兩棲動(dòng)物?！?/span>
—— 戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（1646—1716）

大家好，我是科學(xué)羊！

在數(shù)學(xué)的浩瀚星空中，有些公式如星辰璀璨，它們不僅因精巧的構(gòu)造被視作美的化身，也因蘊(yùn)藏深意令人嘆為觀止。而其中最耀眼的一顆，便是歐拉恒等式（Euler's Identity）。

今天，就讓我們從一條公式出發(fā)，深入探索一個(gè)令人意想不到的數(shù)學(xué)奇跡——虛數(shù)的虛數(shù)次冪，i 的 i 次方，竟然是一個(gè)實(shí)數(shù)！

一切從歐拉說起。

1748 年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）出版了他的重要著作《無窮小分析引論》（Introductio in Analysin Infinitorum），這部書在當(dāng)時(shí)堪稱數(shù)學(xué)的開山之作，尤其在復(fù)數(shù)領(lǐng)域奠定了深厚基礎(chǔ)。

歐拉發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極具美感的公式，它將五個(gè)數(shù)學(xué)中最基本且看似無關(guān)的常數(shù)優(yōu)雅地聯(lián)系在一起：

這個(gè)等式幾乎凝聚了數(shù)學(xué)宇宙的精華：

• e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，

• π 是圓周率，

• i 是虛單位，滿足 i^2 = -1，

• 再加上 1 和 0，
  

著名物理學(xué)家費(fèi)曼甚至稱之為“數(shù)學(xué)中的寶石”。

那么，歐拉是怎么推導(dǎo)出這個(gè)神奇的公式的呢？這背后，其實(shí)藏著一連串精妙的數(shù)學(xué)關(guān)系。

我們先來看一看 e 的冪函數(shù)是如何展開的：

這是我們熟悉的 e^x 的泰勒級(jí)數(shù)展開。現(xiàn)在，歐拉做了一件很“離譜”的事：他把 x 替換成了 ix，也就是虛數(shù)和實(shí)數(shù)的乘積。

于是，

不要被符號(hào)嚇到，把它展開你會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)式子開始出現(xiàn)一些“節(jié)奏”：因?yàn)?nbsp;i^2 = -1、i^3 = -i、i^4 = 1……i 的冪次在正負(fù)和虛實(shí)之間循環(huán)。

這就導(dǎo)致整個(gè)式子能被分拆成兩個(gè)部分：

一部分是實(shí)數(shù)項(xiàng)（就是余弦函數(shù)的展開），另一部分是虛數(shù)項(xiàng)（正弦函數(shù)的展開）：

這個(gè)公式，正是著名的歐拉公式（Euler’s Formula）。

而當(dāng) x = π 時(shí)，歐拉公式變?yōu)椋?/span>

也就得出了我們最開始提到的“數(shù)學(xué)界的神跡”：

這不是魔法，是數(shù)學(xué)的力量。

圖 1. 隨 θ 變化的 e^(i θ) 示意圖 

接下來，讓我們進(jìn)入真正讓人“頭皮發(fā)麻”的部分：i 的 i 次方，居然是個(gè)實(shí)數(shù)？！

我們都知道 i 是虛數(shù)，等于 √-1。那么 i 的冪不應(yīng)該也一直是虛數(shù)或者復(fù)數(shù)嗎？

不，我們錯(cuò)了。

我們用歐拉公式來解釋這個(gè)神奇現(xiàn)象。

歐拉公式告訴我們：

如果我們讓 θ = π/2，那么：

這個(gè)結(jié)論很關(guān)鍵，因?yàn)槲覀兛梢苑催^來表示：

那么 i 的 i 次方就是：

天?。∵@個(gè)結(jié)果完全出人意料。

原來，i 的 i 次方竟然是：

這是一個(gè)實(shí)數(shù)！而且是個(gè)無理數(shù)，甚至是個(gè)超越數(shù)（無法用有限的代數(shù)方程表示）。

這個(gè)看似“魔法”的結(jié)果，其實(shí)就是復(fù)數(shù)分析中的基本知識(shí)的自然結(jié)果。

你可能已經(jīng)發(fā)現(xiàn)一個(gè)問題：我們是通過 θ = π/2 推導(dǎo)出 i = e^i*pi/2 的。但實(shí)際上，由于三角函數(shù)是周期性的，θ 也可以是：

這意味著：

從而導(dǎo)致：

也就是說，i 的 i 次方有無數(shù)個(gè)值，但我們一般只取其中的主值，也就是最基本、最自然的那個(gè)：

數(shù)學(xué)世界從來不乏驚喜，而 i^i 是最能體現(xiàn)這一點(diǎn)的一個(gè)結(jié)果：它同時(shí)展現(xiàn)了復(fù)數(shù)的深邃、數(shù)學(xué)的優(yōu)雅以及歐拉洞察力的非凡。

那么，它到底有什么用？

在很多數(shù)學(xué)和物理中，復(fù)數(shù)并不是“想象”出來的玩具，而是真實(shí)世界中不可或缺的工具。比如：

• 在電路中，交流電的相位關(guān)系就通過復(fù)數(shù)描述；

• 在量子力學(xué)中，波函數(shù)的演化必須借助復(fù)數(shù)；

• 在信號(hào)處理和傅里葉變換中，復(fù)數(shù)更是核心工具。

而 i^i 這樣的結(jié)果，雖然看起來像是數(shù)學(xué)家的“炫技”，但它其實(shí)加深了我們對(duì)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)的理解，也啟發(fā)我們?nèi)ブ匦聦徱暋皩?shí)數(shù)”和“虛數(shù)”之間的關(guān)系。

寫在最后

數(shù)學(xué)的魅力，往往就藏在這些出人意料的小角落里。i^i 是一個(gè)微小的公式，卻蘊(yùn)含著巨大的能量。它讓我們知道，虛數(shù)并不虛，它們只是以一種不同的方式存在于我們的世界。

就像歐拉、費(fèi)曼和無數(shù)數(shù)學(xué)家一樣，當(dāng)你第一次發(fā)現(xiàn)虛數(shù)的虛數(shù)次方居然是實(shí)數(shù)時(shí)，內(nèi)心的驚嘆大概只有一句話能形容：

“這也太神了吧！”

祝幸福~ 

#科普 #物理學(xué) #未解之謎