【原】物理學(xué)中的坐標(biāo)變換

cosmos2062 2025-06-13 發(fā)布于廣東

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物理學(xué)中的坐標(biāo)變換都是正交變換。

在物理學(xué)中，我們經(jīng)常要在不同的坐標(biāo)系中討論同一個(gè)問題。在不同的坐標(biāo)系中，一個(gè)物理量或者一個(gè)物理方程，往往會(huì)有不同的表述形式，這就牽涉到這些表述形式在不同的坐標(biāo)系之間的變換規(guī)則。最基本的變換規(guī)則是，一個(gè)空間點(diǎn)的位置矢量在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)之間的變換關(guān)系。

設(shè)想在兩個(gè)不同的坐標(biāo)系中討論同一個(gè)物理問題，這樣，空間中同一個(gè)點(diǎn)就有兩組坐標(biāo)。由于兩組坐標(biāo)都屬于同一個(gè)空間點(diǎn)，因此，它們之間必定存在一個(gè)確定的函數(shù) (變換) 關(guān)系： $\begin{equation}\notag x'_k=x'_k(x_i)\ ,\ i,k=1,2,3 \end{equation}$ 由此可以得到坐標(biāo)微分之間的變換關(guān)系： $\begin{equation}\notag {\rm d}x'_k=\sum_{i=1}^3\frac{\partial x'_k}{\partial x_i}{\rm d}x_i=\sum_{i=1}^3R_{ki}{\rm d}x_i \end{equation}$ 顯然，這是一個(gè)線性變換，其中 $R_{ki}$ 被稱為變換矩陣。

按照幾何學(xué)的要求，坐標(biāo)變換不應(yīng)該改變相鄰兩點(diǎn)之間的距離。在上述兩個(gè)相互變換的坐標(biāo)系中，對(duì)帶撇的坐標(biāo)系，兩個(gè)點(diǎn)之間的距離的平方為： $\begin{equation}\notag {\rm d}s'^2=\sum_{k=1}^3{\rm d}x'_k{\rm d}x'_k \end{equation}$ 實(shí)施坐標(biāo)變換后，這個(gè)物理量按以下方式變換 $\begin{align} {\rm d}s'^2&=\sum_{k,m,n=1}^3R_{km}{\rm d}x_mR_{kn}{\rm d}x_n\notag\\ &=\sum_{k,m,n=1}^3R_{km}R_{kn}{\rm d}x_m{\rm d}x_n\notag\\ \end{align}$ 另一方面，對(duì)不帶撇的坐標(biāo)系，同樣這兩個(gè)點(diǎn)的距離的平方又可以寫成這樣： $\begin{equation}\notag {\rm d}s^2=\sum_{n=1}^3{\rm d}x_n{\rm d}x_n \end{equation}$ 由于兩個(gè)點(diǎn)之間的距離不應(yīng)與所選擇的坐標(biāo)系有關(guān)，因此，在兩個(gè)坐標(biāo)系中算出的距離必須相等： $\begin{equation}\notag \sum_{k,m,n=1}^3R_{km}R_{kn}{\rm d}x_m{\rm d}x_n=\sum_{n=1}^3{\rm d}x_n{\rm d}x_n \end{equation}$ 這個(gè)要求導(dǎo)致變換矩陣應(yīng)該具有如下性質(zhì)： $\begin{equation}\notag \sum_{k=1}^3R_{km}R_{kn}=\delta_{mn} \end{equation}$ 這個(gè)等式也可以用矩陣的形式簡(jiǎn)寫成 $\mathbf{R}^T\mathbf{R}=\mathbf{I}$ 。這顯示，變換矩陣的轉(zhuǎn)置就是它的逆： $\mathbf{R}^T=\mathbf{R}^{-1}$ 。我們把具有上述性質(zhì)的矩陣稱為正交矩陣，把對(duì)應(yīng)的變換稱為正交變換。由此看來，物理學(xué)中的坐標(biāo)變換都是正交變換。

坐標(biāo)變換最簡(jiǎn)單的例子是坐標(biāo)系的平移變換： $\begin{equation}\notag x'_k=x_k-X_k\ ,\ k=1,2,3 \end{equation}$ 如下左圖綠色的實(shí)線坐標(biāo)系和虛線坐標(biāo)系之間的關(guān)系，其中 $X_k$ 是任意一個(gè)常矢量的三個(gè)分量。對(duì)應(yīng)于坐標(biāo)平移變換的變換矩陣 $\begin{equation}\notag R_{ki}=\frac{\partial x'_k}{\partial x_i}=\delta_{ki} \end{equation}$ 顯然，這是一個(gè)單位矩陣，也是一個(gè)正交矩陣。因此，坐標(biāo)平移變換是正交變換。

一個(gè)不太復(fù)雜的例子是坐標(biāo)系繞極軸轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，如上右圖所示，稱之為坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換。在這個(gè)變換中，對(duì)任意一個(gè)空間點(diǎn)的坐標(biāo)，沿極軸方向的分量不變，與極軸垂直的兩個(gè)分量按以下方式變換： $\begin{align} x'&=x\cos\phi+y\sin\phi\notag\\ y'&=-x\sin\phi+y\cos\phi\notag\\ \end{align}$ 坐標(biāo)的微分則按以下方式變換： $\begin{align} {\rm d}x'&=\cos\phi{\rm d}x+y\sin\phi{\rm d}y\notag\\ {\rm d}y'&=-\sin\phi{\rm d}x+\cos\phi{\rm d}y\notag\\ \end{align}$ 由此得到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣： $\begin{equation}\notag \mathbf{R}= \left( \begin{array}{*{20}{c}} \cos\phi&\sin\phi&0\\ -\sin\phi&\cos\phi&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \end{equation}$ 容易證明，這也是一個(gè)正交矩陣，這件事情就交給大家去完成吧。

既然坐標(biāo)平移變換和坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換都是正交變換，那么，由這兩個(gè)變換首尾相接連續(xù)實(shí)施構(gòu)成的變換 (如上左圖兩個(gè)實(shí)線坐標(biāo)系之間的關(guān)系) 也是正交變換。請(qǐng)大家寫出這個(gè)變換的變換矩陣，并證明它是一個(gè)正交矩陣。