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這篇我們說幾何學(xué)習(xí)

回應(yīng)標(biāo)題：這8個(gè)字是：“位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系”。

抓住這八個(gè)字，破解幾何“玄學(xué)”，做題不說開掛，最起碼很通透。

• 位置關(guān)系是相對(duì)位置：垂直、平行、相交、平移、旋轉(zhuǎn)、坐標(biāo)等。
• 數(shù)量關(guān)系是具體數(shù)值：線段長(zhǎng)度、角度大小、面積、最大最小值、正弦余弦值等等。

• 所有的幾何題都在考察位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系；
• 所有的幾何定理、推論、條件都指向位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系。

搞懂了這點(diǎn)，你就抓住了學(xué)幾何的底層邏輯。

01

考察

所有的幾何題都在考察“位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系”。

做題時(shí)，你先祭出這八個(gè)字，然后再去看題目，整體都清明了。

下面，我們來看2道有代表性的中考?jí)狠S題，通過題目讓你理解得更透徹。

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上面這道題屬于幾何壓軸題。

第一問，求證BE＝EF——數(shù)量關(guān)系。

既然是數(shù)量關(guān)系，我們就要調(diào)出跟數(shù)量關(guān)系有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。

全等三角形、三角函數(shù)、等角對(duì)等邊、等邊三角形、角平分線上的點(diǎn)、正方形、菱形、線段中點(diǎn)……

看一下圖中的BE和EF，它們：

• 在一個(gè)三角形中——△BEF，我們可以證明等角對(duì)等邊。
• 分別在兩個(gè)三角形中——△DEF和△ABE，我們可以證明全等。

哪個(gè)可行一些？

直覺上全等更靠譜，因?yàn)榱庑未砹撕芏嘞嗟汝P(guān)系，包括角度和邊。

于是，我們就順著這個(gè)思路想。

觀察，△ABE≌△EFD似乎不可能，單看圖片就不全等。

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那我們?cè)僭囋嚨冉菍?duì)等邊。

再觀察圖片，△BEC跟△DEC看起來全等，這樣∠EDC=∠EBC.

那我們證明∠EDC等于∠EFC就可以了。

怎么證明呢？再看看證明角度相等的數(shù)量關(guān)系知識(shí)：

平行線、對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角、三角形外角、相似、全等……

好，找到了，三角形外角。

且看下面的證明步驟

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注意：我們找了兩次才找對(duì)思路，不過一開始【方向】我們是有的。

有方向后就試，一次不行兩次，在紙上演算。

不要慌，高手也是這么做題的，沒有誰一開始就能做對(duì)，那些做的比較快的，是依靠反應(yīng)速度和知識(shí)的熟練度。

這些都是可以練的，只要你夠努力。

好，接著再看第二問，寫出函數(shù)表達(dá)式。

其實(shí)這還是數(shù)量關(guān)系——y代表面積，x表面是時(shí)間，但它代表了CE的長(zhǎng)度。

好，既然是數(shù)量關(guān)系，調(diào)出面積這個(gè)數(shù)量關(guān)系知識(shí)點(diǎn)：

• S△BEF=y=?BF×h。
• BF=BC+CF,
• BC已知，CF？

CF，我們要觀察一下圖形，直觀上，△ABE≌△CFD,那么CF等于AE——求CF還是數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)在這里用全等。

那么，既然CF=AE,我們就可以把CF用x表達(dá)出來。

h是高，高從E點(diǎn)往BF作垂線——高的值，也是數(shù)量關(guān)系。

一個(gè)線段的值，怎么表示？調(diào)出幾何結(jié)論中求線段的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)：

勾股定理、正弦余弦、等積變換、軸對(duì)稱、坐標(biāo)、弦長(zhǎng)公式……

我們選一選：作EG⊥BF后，在△EGC中，∠ECG=60°，很顯然用正弦比較方便。

那我們就可以整理思路來作證明，并把表達(dá)式寫出來了。

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好，再來，看第三問。

DF最短。

前面說了DF=DE，DF最短就是DE最短。

DE什么時(shí)候最短？——最短最長(zhǎng)看似是數(shù)量關(guān)系，其實(shí)是位置關(guān)系。

也就是說，動(dòng)點(diǎn)在什么位置，跟已知線段形成什么關(guān)系，才能最短。

我們調(diào)出相關(guān)知識(shí)：

兩點(diǎn)之間線段最短、圓的切線、平行線之間的距離、垂線段最短……

選一選，【垂線段最短】，也就是DE⊥AC時(shí)最短。

好，思路來了，我們就整理一下，寫寫過程。

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你看，是不是數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系的考察？

同時(shí)，你從數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系出發(fā)，也能很快理清思路——注意，前提是你對(duì)知識(shí)點(diǎn)很熟悉。

好，下面我們?cè)倏匆坏缐狠S題。

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第一問，我們先不看題目要求什么。

看一下題干，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)好多位置關(guān)系。

相交、旋轉(zhuǎn)、頂點(diǎn)、坐標(biāo)軸——這些展現(xiàn)的都是位置關(guān)系。

y1的對(duì)稱軸是x=-1.它又跟x軸相交于A、B兩點(diǎn)，AB=4.

看位置，A、B分別在對(duì)稱軸兩邊，那么A、B的坐標(biāo)我們就可以寫出來了。

注意，坐標(biāo)就是位置，小學(xué)四年級(jí)剛引入坐標(biāo)的時(shí)候，就是用位置引入的。

四年級(jí)數(shù)學(xué)：為什么數(shù)對(duì)先寫列，再寫行？

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知道了這點(diǎn)，我們就可以把點(diǎn)帶入，寫表達(dá)式了。

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y2的表達(dá)式，我們還是利用位置關(guān)系。

• 旋轉(zhuǎn)之后，它與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)我們依然可以表達(dá)出來。

• D點(diǎn)的坐標(biāo)我們也能根據(jù)中心對(duì)稱這個(gè)位置關(guān)系表達(dá)出來。

然后把這些點(diǎn)帶入，就能算出表達(dá)式。

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不能說這一題純粹在考察位置關(guān)系，但可以說：

第一問是結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)來考察你對(duì)坐標(biāo)系里位置關(guān)系的理解。

我們?cè)倏吹诙枴?/p>

求FM+MN+DN的最小值，我們上面說過，最小值是位置關(guān)系的問題——在什么位置，長(zhǎng)度最小。

我們調(diào)出與【線段相加值最小】相關(guān)的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)：

三角形（三邊關(guān)系）、費(fèi)馬點(diǎn)、對(duì)稱、三點(diǎn)共線……

分析：

利用對(duì)稱讓這幾點(diǎn)共線，可行——通常最小值問題，都這么解決。

好，我們看MN=2，是定值，只要FM+DN最小就行。

• 要想讓FND共線，最起碼讓它們接在一起——位置關(guān)系。
• 要接在一起，怎么辦？平移——位置關(guān)系。
• 平移之后要做D的對(duì)稱點(diǎn)，讓它們來到異側(cè)或同側(cè)，從而在一條線上——位置關(guān)系。

知道了這些，我們就可以開始寫答案了。

（這種方法我在下面這篇文章中寫的比較詳細(xì)，大家可以去看看。）

對(duì)稱是思維，將軍飲馬是技巧：要抓思維，而不是沉迷于技巧

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你看，利用位置關(guān)系，結(jié)合數(shù)量關(guān)系的算法（兩點(diǎn)之間直線的距離公式），得到了我們要的答案。

即便在二次函數(shù)大題中，依然在考察數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

我們的舉例就到這里。

下面我們來到第二部分，學(xué)習(xí)。

02

學(xué)習(xí)

剛才可以說我們講的是輸出端——試卷題目在考察數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系。

現(xiàn)在我們說學(xué)習(xí)——輸入端，也逃不開這8個(gè)字。

想想，從小學(xué)開始接觸幾何，我們都在學(xué)位置和數(shù)量。

• 數(shù)量：三角形的角度、等腰三角形、四邊形的四邊；
• 位置：四邊形對(duì)邊關(guān)系、平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱。

初中我們學(xué)：

• 數(shù)量：全等、相似、角度、四邊形的邊、角平分線、等腰……
• 位置：中心對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、平移、坐標(biāo)軸、中位線、垂直、垂直平分線、相交……

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可以說幾何就是位置關(guān)系+數(shù)量關(guān)系。

你在學(xué)習(xí)的時(shí)候分分類。

比如學(xué)到全等：

• 你知道全等能證明角相等，邊相等，這是數(shù)量關(guān)系。等到考試的時(shí)候，你看到求證相等，就把這部分知識(shí)調(diào)出來。
• 然后，你就有方向了。
• 有方向后多試試，答案就出來了——有時(shí)候根本不需要你試很多，需要試很多的都是稍難一些的題目。
• 稍難一些的題目有方向后，最多也就試三次，不要怕。

等于說，我要求：

• 你在輸入端按照【數(shù)量關(guān)系+位置關(guān)系】整理知識(shí)點(diǎn)；
• 在輸出端看題目是在考察哪種關(guān)系，你調(diào)出相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)。

第一部分我在演示，第二部分做一下說明和要求。

到這兒，你明白了吧？

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• 帶著這八個(gè)字學(xué)習(xí)，條理清晰；
• 帶著這八個(gè)字考試，思路明了。

這就是我標(biāo)題說的：送你8字真言，專治幾何“頭痛癥”。

不僅初中適用，高中也適用。

到這兒閉環(huán)了。

好，這篇我就說到這里。

關(guān)于初中知識(shí)點(diǎn)，哪些是數(shù)量關(guān)系，那些是位置關(guān)系，我就不總結(jié)了。

你去總結(jié)。

或者你也可以利用AI，不用高級(jí)的deepseek，就豆包和kimi就行。

你給指令：初中幾何，證明線段相等，可以利用哪些知識(shí)點(diǎn)，請(qǐng)列舉。

下面一大堆就出來了，你打印出來，背一背，理解一下。

然后再做幾道題試試。

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請(qǐng)注意：

很多時(shí)候你知道要用全等，但你并不會(huì)很容易證明全等，這就需要你去觀察，去想。

根據(jù)你需要的，找條件——這時(shí)候就像拿著放大鏡破案的偵探了。

別急，這種方法，我也寫過文章。

好，本文結(jié)束，謝謝閱讀。