巧算星期幾

基姆。拉爾森

基姆擁有計算機學科的博士學位。他對數(shù)據(jù)庫，算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)有著濃厚的興趣。他的聯(lián)系地址是            （原文

為丹麥文－－譯者注） 31，DK－5270，Odense N,Denmark,或發(fā) E-mail 至 :kslarsen@imada.ou.dk。

簡介

布魯斯 施耐爾

“四，六，九，十一，三十天就齊……”兒歌是這么唱的；或許你也曾經(jīng)掰著手指頭翻來覆去地數(shù)，讓趕上單數(shù)的指頭

代表只有30天的短月吧？這樣的口訣對我們是很管用的（我就是念叨著這首傻乎乎的兒歌長大的），可是電腦就沒有這

份“靈感”了。當然，我們可以用一大堆IF－THEN－ELSES的語句或幾個CASE來編寫計算程序，讓它計算某個指定日期是

星期幾。

不過我更喜歡基姆拉爾森在本月的“算法小徑”中為我們帶來的新技巧，因為他的方法另辟蹊徑，從一個全新的方向著

手解決日期計算的問題。其實，并沒有什么數(shù)學公式能算出某個指定日期是星期幾，不過我們可以試著拼湊一個，如果

我們的嘗試成功了，你就能擁有一個易于編程的數(shù)學公式，并能用它自動計算哪天是星期幾了。

順便說一句，如果你已經(jīng)設(shè)計出更巧妙的算法，或是在已有的方法上有了新突破的話，不妨告訴我，我一定洗耳恭聽。

我的聯(lián)系方法是schneier@chinet.com，或 者在DJJ編輯部給我留張便條就行。

你有沒有疑惑過你的電腦怎么就知道今天是星期三呢？就算你的電腦關(guān)機了，你重啟后設(shè)定了新日期，它也能立即知道

這天是星期幾。

在你還是個孩子的時候，你可能見過一種紀錄記錄著年，月，日的表格，只要加上幾個數(shù)字，和它相連的另一張表格就

會告訴你這個日期是星期幾。當然，計算機硬盤的操作系統(tǒng)里也可以加入這樣的計算表。不過有一種簡單的方法可以輕

松地算出某天是星期幾；而且這個方法只占用很少的內(nèi)存空間，而那些只能推算幾百年的表格可就太占地方了。

如果目前你的電腦還不具備推算與日期對應(yīng)的星期數(shù)的功能，現(xiàn)在就不妨在自己的程序中試試下面的公式。

創(chuàng)建公式

首先，我們要用變量D，M和Y來表示日期。比如，1994年3月1日就用“D＝1，M＝3，Y＝4”記錄。我們的目標是讓計算結(jié)

果在0到6之間。0代表星期一，1代表星期二，2代表星期三，依此類推。

1994年3月1日是個星期二，那么“D mod 7(日期變量除以7的余數(shù)）)))”這個公式對于整個三月份都有效。比如3月18日

是星期五，18 mod 7＝4；而4正代表星期五。別忘了，整數(shù)的除法和求模有著密切的關(guān)系。比方說，26除以7商3余5，這

就是說，26除以7商數(shù)取整等于3，而26除以7求模（簡寫為26 mod 7）等于5。以上這些意味著19 mod 7=12 mod 7= 5

mod 7=5。在運算規(guī)則中，負數(shù)求模運算法相似，所以依此類推，-2 mod 7=5, -9 mod 7=5。

在更正式的表達法中，統(tǒng)一用任意整數(shù)n和k表達上述關(guān)系，那么這個過程可以表達為n=qk+r，這里的q和r的取值范圍同

樣是整數(shù)和0。表1中列出了所有月份的變換數(shù)據(jù)（shift information此處試譯為“檔級數(shù)據(jù)”，還請進一步校對－－譯

者注）。為了盡可能地得出規(guī)律，二月被排在最后，同理，一月也是如此。

例1（a）中的公式是仿照表1中的變換數(shù)據(jù)欄所描述的模式而創(chuàng)建的。這個公式中的除法一律是商數(shù)取整。所以得數(shù)是最

接近真正商數(shù)的整數(shù)。表2得出了此功能得出的有趣的數(shù)值。憑直覺，我們不難發(fā)現(xiàn)，當M(代表月份的變量)的值以1為單

位遞增時，2M就成倍增長，而3(M+1)/5就以3/5為增長倍數(shù)。

這正是我們仿制3,2,3,2,3這個重復(fù)格式所需要的（表中右邊的彎括號表明了這一點）。請注意，我們在以7為除數(shù)求模

，那么從6到2的求模結(jié)果就會逐個增加3（順序是6,0,1,2）。

現(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)了適用于逐月向下推算的校正方法，并希望把它加入剛才的嘗試中，就是那個mod7公式。還以1994年3月

1日為例，這個日期的M＝3。請注意，在例1（b）中，8 mod 7＝1，所以當整個公式合并時，必須減去1。在做以7為除數(shù)

求模的運算時，減1和加6是一樣的，因為-1 mod 7=6 mod 7=6。

這樣，例1（c）中的公式就可以計算這一年中剩下的月份了。其實，既然我們把一月和二月排在表1的最后，那么只要我

們把它們看成是十三月和十四月，就能接著推算1995年的前兩個月了。這是因為，雖然它們并不是一個完整的3,2,3,2,3

結(jié)構(gòu)，但恰好可以是這個結(jié)構(gòu)的開始，為了使這個公式更完善，我們還是最好把一月和二月看成是上一年的十三月和十

四月。

加入年份

順著年份向下找，我們觀察到1995年3月1日是星期三。這說明，每增加一年，我們公式的計算結(jié)果就會增加1。這太簡單

了，我們只要簡單地把年份加上去就行了。再提醒你一次，我們必須確保出發(fā)點是正確的。由于1994 mod 7=6，我們在

把Y加入已有的公式時就必須減去6。由此改進的例2(a)就更完善了。

1996年是個閏年，這帶來了我們的下一個問題。這一年的3月1日是星期五，而不是剛才的公式推算出的星期四。所以每

當我們碰上閏年時還得多加上1。判斷閏年的規(guī)則是，能被4整除，并能被100和400同時整除的年份就是閏年。就這樣，

我們在原有的基礎(chǔ)上添加Y/4--Y/100+Y/400。再強調(diào)一下，我們必須從一開始就確保正確。既然(1994/4--

1994/100+1994/400) mod 7=(498--19+4) mod 7=483 mod 7=0,所以就不用再做任何調(diào)整了。這樣，例2(b)就是我們最終

的成果了。這個公式能一直工作下去，除非改變現(xiàn)行的日歷系統(tǒng)。作為示例，讓我們試著推算一下2000年7月4日：

(4+2*3+(7+1)/5+2000+2000/4--2000/100+2000/400) mod 7= (4+14+2000+500--20+5) mod 7=2507 mod 7=1，所以那一

天是星期二。

這個公式還能推算過去的日期；然而計算范圍有限，讓我們看看1752年9月14號這個星期四吧，我們的公式最遠只能推算

到這里了。不過像“1963年11月22日你在哪里”這樣的日常問題中提到的日期還是可以輕松應(yīng)對的：(22+2*11+3

(11+1)/5+1963+1963/4--1963/100+1963/400) mod 7=(22+22+7+1963+490--19+4) mod 7=2489 mod 7=4。那天就是星期

五。

例3例子3是一個C語言程序，按照把這個公式自動推算給定日期是星期幾。

表1：每月變換數(shù)據(jù)

月份         天數(shù)         變換

三月          31            3

四月          30            2

五月          31            3

六月          30            2

七月          31            3

八月          31            3

九月          30            2

十月          31            3

十一月        30            2

十二月        31            3

一月          31            3

二月          28            3

表2：仿制變換數(shù)據(jù)形式的功能。例1中建立的公式可以適用于1994年。例2把這個公式的功能擴展到可以應(yīng)用在不同的年

份進行推算。

例3：用C語言程序表達上述公式