基本概念 

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 

公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個(gè)點(diǎn)的公共直線。 

公理3： 過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 

推論1: 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 

推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。 

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。 

公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。 

等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。 

空間兩直線的位置關(guān)系：

空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面 

1、按是否共面可分為兩類： 

（1）共面： 平行、 相交 

（2）異面： 

異面直線的定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。 

異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。 

兩異面直線所成的角：范圍為 ( 0°，90° ) esp.空間向量法 

兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條) esp.空間向量法 

2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類： 

（1）有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)——相交直線；（2）沒有公共點(diǎn)—— 平行或異面 

直線和平面的位置關(guān)系： 

直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行 

①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 

②直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角。 

esp.空間向量法(找平面的法向量) 

規(guī)定：a、直線與平面垂直時(shí)，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角 

由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°] 

最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角 

三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直 

esp.直線和平面垂直 

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個(gè)平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面。 

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。 

直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 

③直線和平面平行——沒有公共點(diǎn) 

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說這條直線和這個(gè)平面平行。 

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。 

直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。 

兩個(gè)平面的位置關(guān)系： 

（1）兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點(diǎn) 

（2）兩個(gè)平面的位置關(guān)系： 

兩個(gè)平面平行-----沒有公共點(diǎn)； 兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線。 

a、平行 

兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。 

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。 

b、相交 

二面角 

（1） 半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。 

（2） 二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°] 

（3） 二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。 

（4） 二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 

（5） 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。 

（6） 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。 

esp. 兩平面垂直 

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直。記為 ⊥ 

兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 

Attention： 

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系） 

多面體 

棱柱 

棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每?jī)蓚€(gè)四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。 

棱柱的性質(zhì) 

（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形 

（2）兩個(gè)底面與平行于底面的截面是全等的多邊形 

（3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對(duì)角面）是平行四邊形 

棱錐 

棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐 

棱錐的性質(zhì)： 

（1） 側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形 

（2） 平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方 

正棱錐 

正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。 

正棱錐的性質(zhì)： 

（1）各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。 

（3） 多個(gè)特殊的直角三角形 

esp： 

a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。 

b、四面體中有三對(duì)異面直線，若有兩對(duì)互相垂直，則可得第三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。 

直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng) 時(shí)， ；    

當(dāng) 時(shí)， ； 

當(dāng) 時(shí)， 不存在。

②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：  

注意下面四點(diǎn)：

(1)當(dāng) 時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；

(2)k與P₁、P₂的順序無關(guān)；

(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

（3）直線方程

①點(diǎn)斜式： 直線斜率k，且過點(diǎn)

注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，k=0，直線的方程是y=y₁。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因

l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x₁，所以它的方程是x=x₁。

②斜截式： ，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b

③兩點(diǎn)式： （ ）直線兩點(diǎn) ，

④截矩式：

其中直線 與 軸交于點(diǎn) ,與 軸交于點(diǎn) ,即 與 軸、 軸的截距分別為 。

⑤一般式： （A，B不全為0）

注意：1各式的適用范圍   

 2特殊的方程如：平行于x軸的直線： （b為常數(shù)）；  

 平行于y軸的直線： （a為常數(shù)）；

（4）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

（一）平行直線系

平行于已知直線 （ 是不全為0的常數(shù)）的直線系： （C為常數(shù)）

（二）垂直直線系

垂直于已知直線 （ 是不全為0的常數(shù)）的直線系： （C為常數(shù)）

（三）過定點(diǎn)的直線系

① 斜率為k的直線系： ，直線過定點(diǎn) ；

② 過兩條直線 ， 的交點(diǎn)的直線系方程為

（ 為參數(shù)），其中直線 不在直線系中。

（5）兩直線平行與垂直

當(dāng) ， 時(shí)，

；

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

（6）兩條直線的交點(diǎn)

  相交

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組 的一組解。

方程組無解  ；          方程組有無數(shù)解 與 重合

（7）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè) 是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，

則  

（8）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn) 到直線 的距離

（9）兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

圓的方程

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程 ，圓心 ，半徑為r；

（2）一般方程

當(dāng) 時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為 ，半徑為

當(dāng) 時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；  當(dāng) 時(shí)，方程不表示任何圖形。

（3）求圓方程的方法：

一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，

需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。

直線與圓的位置關(guān)系

直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：

（1）設(shè)直線 ，圓 ，圓心 到l的距離為 ，則有 ； ；

（2）過圓外一點(diǎn)的切線：①k不存在，驗(yàn)證是否成立②k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】

(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓(x-a)²+(y-b)²=r²，圓上一點(diǎn)為(x₀，y₀)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x₀-a)(x-a)+(y₀-b)(y-b)= r²

圓與圓的位置關(guān)系

通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

設(shè)圓 ，

兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。

當(dāng) 時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條；

當(dāng) 時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當(dāng) 時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當(dāng) 時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線；

當(dāng) 時(shí)，兩圓內(nèi)含；   當(dāng) 時(shí)，為同心圓。

注意：已知圓上兩點(diǎn)，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點(diǎn)共線

      圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點(diǎn)