【課標要求】

【知識梳理】

1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.

3.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.

①的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；

相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.

4.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.

5.求拋物線的頂點、對稱軸的方法

（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.

 （2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.

 （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.

6.拋物線中，的作用

（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).

（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.

 當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點; ②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負半軸.

 以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則 .

7.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

（3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.

12.直線與拋物線的交點

（1）軸與拋物線得交點為(0, ).

（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).

（3）拋物線與軸的交點

二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標、，是對應一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：

      ①有兩個交點拋物線與軸相交；

      ②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；

      ③沒有交點拋物線與軸相離.

（4）平行于軸的直線與拋物線的交點

同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為，則橫坐標是的兩個實數(shù)根.

（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組 的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; ②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.

（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故

【能力訓練】

1．二次函數(shù)y=－x²＋6x－5，當           時， ，且隨的增大而減小。

2.拋物線的頂點坐標在第三象限，則的值為（    ）

A．  B．  C．    D． ．

3．拋物線y=x²－2x＋3的對稱軸是直線（  ）

  A．x =2   B．x =－2   C．x =－1  D．x =1    

4． 二次函數(shù)y=x²+2x－7的函數(shù)值是8，那么對應的x的值是（  ）

    A．3    B．5    C．－3和5  D．3和－5    

5．拋物線y=x²－x的頂點坐標是（  ）

6．二次函數(shù) 的圖象，如圖1－2－40所示，根據(jù)圖象可得a、b、c與0的大小關系是（  ）

    A．a＞0，b＜0，c＜0   B．a＞0，b＞0，c＞0

    C．a＜0，b＜0，c＜0   D．a＜0，b＞0，c＜0    

7．小敏在今年的校運動會跳遠比賽中跳出了滿意一跳，函數(shù)h=3．5 t－4．9 t²(t的單位s；h中的單位：m）可以描述他跳躍時重心高度的變化．如圖，則他起跳后到重心最高時所用的時間是（   ）

   A．0．71s   B．0.70s  C．0.63s   D．0．36s

8．已知拋物線的解析式為y=－（x—2）²＋l，則拋物線的頂點坐標是（  ）

   A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）

9．若二次函數(shù)y=x²－x與y=－x²+k的圖象的頂點重合，則下列結(jié)論不正確的是（  ）

   A．這兩個函數(shù)圖象有相同的對稱軸

   B．這兩個函數(shù)圖象的開口方向相反

   C．方程－x²+k=0沒有實數(shù)根

   D．二次函數(shù)y=－x²＋k的最大值為

10．拋物線y=x² +2x－3與x軸的交點的個數(shù)有（  ）

    A．0個     B．1個    C．2個    D．3個

11．拋物線y=（x—l）² +2的對稱軸是（  ）

    A．直線x=－1        B．直線x=1  C．直線x=2          D．直線x=2

12．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則在“①  a＜0，②b＞0，③c＜ 0，④b²－4ac＞0”中，正確的判斷是（  ）

A、①②③④  B、④   C、①②③   D、①④

13．已知二次函數(shù)(a≠0）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=－2時，x的值只能取0．其中正確的個數(shù)是（  ）

    A．l個     B．2個   C．3個    D．4個

14．如圖，拋物線的頂點P的坐標是（1，－3），則此拋物線對應的二次函數(shù)有（）

　　A．最大值1    B．最小值－3     C．最大值－3   D．最小值1

　　15．用列表法畫二次函數(shù)的圖象時先列一個表，當表中對自變量x的值以相等間隔的值增加時，函數(shù)y所對應的值依次為：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一個值不正確，這個不正確的值是（   ）

　　A．506    B．380    C．274    D．182

　　16．將二次函數(shù)y=x²－4x+ 6化為 y=(x—h)²+k的形式：y=___________

　　17．把二次函數(shù)y=x²－4x+5化成y=(x—h)²+k的形式：y=___________

　　18．若二次函數(shù)y=x²－4x+c的圖象與x軸沒有交點，其中c為整數(shù)，則c=__

_________________（只要求寫一個）．

　　19．拋物線y=(x－1)²+3的頂點坐標是____________．

　　20．二次函數(shù)y=x²－2x－3與x軸兩交點之間的距離為_________.

　　21. 已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三點，

（1）       求拋物線的解析式和頂點M的坐標，并在給定的直角坐標系中畫出這條拋物線。

（2）       若點（x₀,y₀）在拋物線上，且0≤x₀≤4,試寫出y₀的取值范圍。

　　22．華聯(lián)商場以每件30元購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)每天的銷售量（件）與每件的銷售價（元）滿足一次函數(shù)y=162－3x；

（1）寫出商場每天的銷售利潤（元）與每件的銷售價（元）的函數(shù)關系式；

（2）如果商場要想獲得最大利潤，每件商品的銷售價定為多少為最合適？最大銷售利潤為多少？

23．某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過程．下面的二次函數(shù)圖像（部分）刻畫了該公司年初以來累積利潤s（萬元）與銷售時間t（月）之間的關系（即前t個月的利潤總和s與t之間的關系）．

　　根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問題：

?。?span>1）求累積利潤s（萬元）與時間t（月）之間的函數(shù)關系式；

?。?span>2）求截止到幾月末公司累積利潤可達到30萬元；

?。?span>3）求第8個月公司所獲利潤是多少萬元？

　　24．如圖，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時水面AB的寬是20米，如果水位上升3米時，水面CD的寬為10米，

　?。?span>1）建立如圖所示的直角坐標系，求此拋物線的解析式；

　?。?span>2）現(xiàn)有一輛載有救援物質(zhì)的貨車從甲地出發(fā)，要經(jīng)過此橋開往乙地，已知甲地到此橋千米，（橋長忽略不計）貨車以每小時40千米的速度開往乙地，當行駛到1小時時，忽然接到緊急通知，前方連降大雨，造成水位以每小時米的速度持續(xù)上漲，（貨車接到通知時水位在CD處），當水位達到橋拱最高點O時，禁止車輛通行；試問：汽車按原來速度行駛，能否安全通過此橋？若能，請說明理由；若不能，要使貨車安全通過此橋，速度應超過多少千米？

　　25.已知直線y＝－2x＋b(b≠0)與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為y＝x²－(b＋10)x＋c.

　　⑴若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線y＝－2x＋b上，試確定這條拋物線的解析式；

　?、七^點B作直線BC⊥AB交x軸于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線y＝－2x＋b的解析式.

　　26．已知拋物線y=(1-m)x²+4x-3開口向下，與x軸交于A(x₁,0)和B(x₂,0)兩點，其中x_l<x₂．

　　(1)求m的取值范圍；

　　(2)若x₁²+ x₂²=10，求拋物線的解析式，并在給出的直角坐標系中畫出這條拋物線；

　　27．如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，A( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=2.

　?。?span>1）求點B的坐標；

　?。?span>2）求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；

　　（3）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點P，使得S_△PBD=S_梯形ABCD。若存在，請求出該點坐標，若不存在，請說明理由.

　　28．數(shù)學活動小組接受學校的一項任務：在緊靠圍墻的空地上，利用圍墻及一段長為6０米的木柵欄圍成一塊生物園地，請設計一個方案使生物園的面積盡可能大。

(1)活動小組提交如圖的方案。設靠墻的一邊長為 x 米，則不靠墻的一邊長為(60－2x)米，面積y= (60－2x) x米²．當x=15時，y_最大值 =450米²。

(2)機靈的小明想：如果改變生物園的形狀，圍成的面積會更大嗎？請你幫小明設計兩個方案，要求畫出圖形，算出面積大??；并找出面積最大的方案．