中考復(fù)習(xí)之函數(shù)與一元二次方程

知識(shí)考點(diǎn)：

1、理解二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系；

2、會(huì)結(jié)合方程根的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式，判定拋物線與軸的交點(diǎn)情況；

3、會(huì)利用韋達(dá)定理解決有關(guān)二次函數(shù)的問題。

精典例題：

【例1】已拋物線（為實(shí)數(shù)）。

（1）為何值時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)？

（2）如果拋物線與軸相交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為2，求該拋物線的解析式。

分析：拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，將問題轉(zhuǎn)化為求一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根應(yīng)滿足的條件。

略解：（1）由已知有，解得且

     （2）由得C（0，－1）

又∵[來源:學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]

∴

∴或

∴或

【例2】已知拋物線。

（1）求證：不論為任何實(shí)數(shù)，拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且這兩個(gè)點(diǎn)都在軸的正半軸上；

（2）設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于B、C兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC的面積為48平方單位時(shí)，求的值。

（3）在（2）的條件下，以BC為直徑作⊙M，問⊙M是否經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)P？

解析：（1），由，可得證。

（2）

         ＝

又∵

  ∴

  解得或（舍去）

  ∴

（3），頂點(diǎn)（5，－9），

     ∵

     ∴⊙M不經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)P。

評(píng)注：二次函數(shù)與二次方程有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，因此，善于促成二次函數(shù)問題與二次方程問題的相互轉(zhuǎn)化，是解相關(guān)問題的常用技巧。

探索與創(chuàng)新：

【問題】如圖，拋物線，其中、、分別是△ABC的∠A、∠B、∠C的對(duì)邊。

（1）求證：該拋物線與軸必有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）設(shè)有直線與拋物線交于點(diǎn)E、F，與軸交于點(diǎn)M，拋物線與軸交于點(diǎn)N，若拋物線的對(duì)稱軸為，△MNE與△MNF的面積之比為5∶1，求證：△ABC是等邊三角形；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)拋物線與軸交于點(diǎn)P、Q，問是否存在過P、Q兩點(diǎn)且與軸相切的圓？若存在這樣的圓，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

解析：（1）

          ∵，

          ∴

（2）由得

     由得：

     設(shè)E（，），F（，），那么：，

     由∶＝5∶1得：

     ∴或

     由知應(yīng)舍去。

     由解得

     ∴，即

     ∴ 或（舍去）

     ∴ 

     ∴△ABC是等邊三角形。

（3），即

     ∴或（舍去）[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K]

     ∴，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸是，與軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為P（，0），Q（，0）

設(shè)過P、Q兩點(diǎn)的圓與軸的切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），由切割線定理有：

    ∴

    故所求圓的圓心坐標(biāo)為（2，－1）或（2，1）

評(píng)注：本題（1）（2）問與函數(shù)圖像無關(guān)，而第（3）問需要用前兩問的結(jié)論，解題時(shí)千萬要認(rèn)真分析前因后果。同時(shí)，如果后一問的解答需要前一問的結(jié)論時(shí)，盡管前一問沒有解答出來，倘能會(huì)用前一題的結(jié)論來解答后一問題，也是得分的一種策略。

跟蹤訓(xùn)練：

一、選擇題：

1、已知拋物線與軸兩交點(diǎn)在軸同側(cè)，它們的距離的平方等于，則的值為（    ）[來源:學(xué)?？啤＞W(wǎng)]

    A、－2            B、12            C、24              D、－2或24[來源:Z_xx_k.Com]

2、已知二次函數(shù)（≠0）與一次函數(shù)（≠0）的圖像交于點(diǎn)A（－2，4），B（8，2），如圖所示，則能使成立的的取值范圍是（   ）

    A、      B、      C、        D、或

          [來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]

3、如圖，拋物線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，則下列關(guān)系：①；②；③；④其中正確的有（    ）

    A、4個(gè)              B、3個(gè)              C、2個(gè)            D、1個(gè)

4、設(shè)函數(shù)的圖像如圖所示，它與軸交于A、B兩點(diǎn)，線段OA與OB的比為1∶3，則的值為（    ）

    A、或2            B、              C、1                D、2

二、填空題：

1、已知拋物線與軸交于兩點(diǎn)A（，0），B（，0），且，則＝          。

2、拋物線與軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（，0），B（，0），且，則的值為          。

3、若拋物線交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C，且∠ACB＝900，則＝          。

4、已知二次函數(shù)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為、，則對(duì)于下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③方程＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、；④，；⑤，其中所有正確的結(jié)論是                  （只填寫順號(hào)）。

三、解答題：

1、已知二次函數(shù)（≠0）的圖像過點(diǎn)E（2，3），對(duì)稱軸為，它的圖像與軸交于兩點(diǎn)A（，0），B（，0），且，。

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

（2）在（1）中拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△POA的面積等于△EOB的面積？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

2、已知拋物線與軸交于點(diǎn)A（，0），B（，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，且，，若點(diǎn)A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)D。

（1）求過點(diǎn)C、B、D的拋物線解析式；

（2）若P是（1）中所求拋物線的頂點(diǎn)，H是這條拋物線上異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)，且△HBD與△CBD的面積相等，求直線PH的解析式；

3、已知拋物線交軸于點(diǎn)A（，0），B（，0）兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C，且，。

（1）求拋物線的解析式；

（2）在軸的下方是否存在著拋物線上的點(diǎn)，使∠APB為銳角、鈍角，若存在，求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由。

參考答案

一、選擇題：CDBD

二、填空題：

1、2；2、；3、3；4、①③④

三、解答題：

1、（1）；（2）存在，P（，－9）或（，－9）

2、（1）；（2）

3、（1）；（2）當(dāng)時(shí)∠APB為銳角，當(dāng)或時(shí)∠APB為鈍角。