內(nèi)容提要：本文以《平行四邊形的性質(zhì)》的兩種教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂教學(xué)實(shí)踐為例，對(duì)兩節(jié)課教學(xué)中的“探索平行四邊形性質(zhì)”和“尋找證明思路”環(huán)節(jié)分別進(jìn)行比較分析，從中發(fā)現(xiàn)教學(xué)設(shè)計(jì)與學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平間的差異，進(jìn)而把握學(xué)生真實(shí)的認(rèn)知起點(diǎn)，豐富教師的教學(xué)知識(shí)，提高課堂教學(xué)的有效性．

關(guān)鍵詞：平行四邊形的性質(zhì)、教學(xué)案例分析

文中設(shè)計(jì)的教學(xué)內(nèi)容選自人教版新課標(biāo)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)八上第十九章的第一課時(shí)，其主要內(nèi)容是平行四邊形的概念及平行四邊形的邊、角的相關(guān)性質(zhì)．文中描述的案例是基于這兩節(jié)課的課堂教學(xué)錄像和現(xiàn)場(chǎng)觀摩，案例描述力爭(zhēng)全面反應(yīng)課堂教學(xué)的真實(shí)場(chǎng)景．

　　一、探索平行四邊形性質(zhì)的過(guò)程比較

　　教師甲的教學(xué)片段：

在明晰了平行四邊形概念后，通過(guò)大屏幕，教師呈現(xiàn)了這樣的問(wèn)題和要求：

猜一猜：邊之間……？   角之間……？

            畫(huà)一畫(huà)：在格點(diǎn)紙上畫(huà)一個(gè)平行四邊形.

            量一量：度量一下，與你的猜想一致嗎？

接著，教師說(shuō)道：“看誰(shuí)探究能力最棒．在格點(diǎn)紙上畫(huà)一畫(huà)，看誰(shuí)的動(dòng)作不迅速．”

在教師指令發(fā)出近半分鐘后，一部分學(xué)生才動(dòng)手畫(huà)圖，但仍有少許學(xué)生只是在看，若有所思，沒(méi)有動(dòng)手畫(huà)圖．

大約一分鐘后，教師看到部分同學(xué)已經(jīng)畫(huà)完圖，于是，讓同學(xué)們互相討論一下，但學(xué)生的討論并不熱烈．教師再一次督促到：“看看你們彼此間的發(fā)現(xiàn)是否一樣．”學(xué)生們的反應(yīng)仍不積極．

接下來(lái)，教師問(wèn)道：“有結(jié)論的同學(xué)請(qǐng)舉手．”教師的話音未落，同學(xué)都迅速的把手舉了起來(lái)，無(wú)論是剛才動(dòng)手畫(huà)的，還是一直沒(méi)有動(dòng)手的．

學(xué)生甲回答：“平行四邊形一組鄰邊的和等于另一組鄰邊的和，一組鄰角的度數(shù)和等于另一組鄰角的度數(shù)和．”通過(guò)錄像觀察，這位同學(xué)是一直沒(méi)有動(dòng)筆畫(huà)圖的學(xué)生之一．

聽(tīng)到學(xué)生甲的回答后，教師進(jìn)一步提示說(shuō)，（把）這個(gè)相等關(guān)系再進(jìn)一步（回）到兩個(gè)角之間的關(guān)系上來(lái)．

這時(shí)學(xué)生乙回答道：“平行四邊形的對(duì)邊和對(duì)角都是相等的．”

教師又問(wèn)道：“大家還有沒(méi)有其他的發(fā)現(xiàn).”

學(xué)生丙回答：“且鄰角互補(bǔ)．”

聽(tīng)到同學(xué)們的猜想后，教師板書(shū)：邊，對(duì)邊相等；角，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)．

至此，學(xué)生完成了猜想過(guò)程．

　　教師乙的教學(xué)片段：

　　同教師甲一樣，首先教師乙明晰了平行四邊形概念．然后，通過(guò)大屏幕，呈現(xiàn)了這樣的問(wèn)題：

平行四邊形的邊還存在什么關(guān)系？

平行四邊形的角還存在什么關(guān)系？

　　在學(xué)生觀看大屏幕上的問(wèn)題后，教師發(fā)出了這樣的指令：“請(qǐng)同學(xué)們拿出紙筆根據(jù)平行四邊形的定義畫(huà)一個(gè)平行四邊形，且測(cè)量?jī)蓷l邊的長(zhǎng)度及四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)并填好表格．”

　　按照教師的要求，學(xué)生開(kāi)始畫(huà)圖．這一過(guò)程用了近九分鐘．看到大家基本完成教師指定的任務(wù)后，教師讓學(xué)生之間進(jìn)行交流，聲音不大．在此基礎(chǔ)上，教師又讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)他們都得到了什么結(jié)論．看到?jīng)]有人舉手，教師點(diǎn)了三個(gè)同學(xué)的名字，這三位同學(xué)所給出的結(jié)論相同：平行四邊形的兩組對(duì)邊相等；平行四邊形的兩組對(duì)角相等．

　　得出結(jié)論后，教師又問(wèn)道：“剛才看到有的同學(xué)測(cè)量的兩條邊不等，什么原因？”

　　學(xué)生齊聲回答：“測(cè)量誤差．”教師進(jìn)一步補(bǔ)充說(shuō)，是因?yàn)槲覀儺?huà)圖工具不夠精準(zhǔn)，才導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果的誤差．

　　緊接著，教師又利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)功能再一次驗(yàn)證上述猜想．至此，教學(xué)完成了歸納猜想環(huán)節(jié)．

　　教學(xué)過(guò)程比較與分析

比較甲乙兩位教師的教學(xué)過(guò)程，在獲得猜想這一環(huán)節(jié)的程序設(shè)計(jì)上基本相同，即先讓學(xué)生動(dòng)手一個(gè)平行四邊形，在此基礎(chǔ)上，教師再以極具提示性的問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生觀察邊與邊之間、角與角之間的又怎樣的關(guān)系．對(duì)于這樣的設(shè)計(jì)學(xué)生又會(huì)作出怎樣的反應(yīng)呢？

如果仔細(xì)分析學(xué)生在這一環(huán)節(jié)的課堂行為表現(xiàn)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)教師提出的動(dòng)手畫(huà)圖和測(cè)量的要求，學(xué)生動(dòng)手遲緩，似乎有些不愿意“配合”的情緒，甚至有些同學(xué)動(dòng)手活動(dòng)不屑一顧，但從猜想的結(jié)果看，學(xué)生的態(tài)度并沒(méi)有影響他們作出合理的猜想．

為什么學(xué)生反應(yīng)冷淡，甚至不愿意“配合”？為什么這種態(tài)度并沒(méi)有影響他們做出正確猜想？究其原因可能有如下兩個(gè)方面：一是早在小學(xué)階段學(xué)生就已經(jīng)探究過(guò)有關(guān)平行四邊形的性質(zhì)，掌握了這些結(jié)論：對(duì)邊相等，對(duì)角相等．下圖是人教版全日制義務(wù)教育實(shí)驗(yàn)教科書(shū)小學(xué)四年級(jí)上冊(cè)中的相關(guān)內(nèi)容．

不難看出，在小學(xué)四年級(jí)已經(jīng)對(duì)平行四邊形的特征進(jìn)行了探索，其過(guò)程和以上兩位教師的設(shè)計(jì)基本相同．可見(jiàn)，這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)更多地重復(fù)了小學(xué)的探究活動(dòng)，因此，探究活動(dòng)認(rèn)知需求低于學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，從而導(dǎo)致學(xué)生不愿意參與探究活動(dòng)的現(xiàn)象．

二是學(xué)生現(xiàn)有的觀察能力和空間想象能力已經(jīng)達(dá)到無(wú)需動(dòng)手畫(huà)圖和測(cè)量就能夠得出合理猜想的程度．如果再考慮到學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)觀察學(xué)生完全可以獲得正確猜想．事實(shí)上，在教師甲的教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，雖然學(xué)生對(duì)動(dòng)手畫(huà)圖表現(xiàn)得不夠積極，但當(dāng)教師甲問(wèn)道有什么發(fā)現(xiàn)時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生都迅速的舉手示意，表明他們對(duì)結(jié)論早已了然于胸在心．特別是第一個(gè)回答問(wèn)題的學(xué)生甲，雖然他一直沒(méi)有參與動(dòng)手畫(huà)圖的過(guò)程，但卻發(fā)現(xiàn)了“平行四邊形一組鄰邊的和等于另一組鄰邊的和，一組鄰角的度數(shù)和等于另一組鄰角的度數(shù)和．”這是對(duì)原有相關(guān)知識(shí)—“對(duì)邊相等”和“對(duì)角相等”的拓展．

此外，在教師乙的教學(xué)中，當(dāng)教師問(wèn)及測(cè)量中出現(xiàn)對(duì)邊不等的原因時(shí)，學(xué)生群答道：測(cè)量誤差．這說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)完全認(rèn)同觀察得出的結(jié)論，進(jìn)而才能反思測(cè)量結(jié)果的精確性問(wèn)題．這再一次說(shuō)明，觀察在猜想過(guò)程中起決定性的作用，或者說(shuō)猜想可以基于觀察完成的．

　　二、探索“證明思路”的過(guò)程比較

　　教師甲教學(xué)片斷：

　　在學(xué)生給出猜想后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將所畫(huà)的平行四邊形剪下來(lái)，并旋轉(zhuǎn)180°，然后再填補(bǔ)到原來(lái)的空隙中，以此再一次驗(yàn)證猜想的正確性．此外，老師還用動(dòng)畫(huà)的形式演示了平行四邊形旋轉(zhuǎn)和填補(bǔ)的過(guò)程．

接著，教師問(wèn)道：“大家還有沒(méi)有其它的辦法（驗(yàn)證你的猜想嗎）？”這時(shí)學(xué)生乙回答說(shuō)：“沿對(duì)角線剪開(kāi)了，然后把其中的一部分旋轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)正好與另一部分重合，就有了兩組對(duì)邊相等，有一組對(duì)角相等，然后三角形另外兩個(gè)角相等則相加的和也相等，說(shuō)明另一組對(duì)角相等．”

聽(tīng)到學(xué)生甲的回答后，教師追問(wèn)道：“兩個(gè)三角形什么關(guān)系？”

該學(xué)生立即回應(yīng)說(shuō)：“全等．”

教師繼續(xù)問(wèn)道，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角什么關(guān)系？學(xué)生說(shuō)，相等．

至此，教師進(jìn)行了總結(jié)，平行四邊形沿對(duì)角線剪開(kāi)，我們就得到了兩個(gè)全等的三角形．對(duì)于平行四邊形的問(wèn)題，我們可以連接一條對(duì)角線，就可以將平行四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題來(lái)研究，這也是我們處理平行四邊形的問(wèn)題常用的手段和方法．

　　教師乙教學(xué)片段：

　　在發(fā)現(xiàn)了平行四邊形的上述性質(zhì)后，教師說(shuō)道：“是不是所有的平行四邊形都具有這樣的性質(zhì)呢？我們必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的驗(yàn)證．”接著，老師邊說(shuō)邊通過(guò)大屏幕出示了下面的問(wèn)題：

　　你能利用你所學(xué)的知識(shí)證明上述結(jié)論嗎？

　　沒(méi)等學(xué)生做出反應(yīng)，教師指著黑板上的平行四邊形繼續(xù)說(shuō)：“結(jié)合這個(gè)圖形我們說(shuō)一下已知和求證．”稍過(guò)片刻，教師點(diǎn)名讓一位同學(xué)回答這個(gè)問(wèn)題．學(xué)生準(zhǔn)確指出已知條件是四邊形ABCD是平行四邊形；分別求證的是AB=CD,AD=BC；∠A=∠C，∠B=∠D．緊接著，老師把已知和求證呈現(xiàn)在大屏幕上．

　　接下來(lái)，教師指著圖形問(wèn)道：“大家現(xiàn)在思考一下，這道題是讓我們證明什么相等？”學(xué)生們大聲回答：“對(duì)邊相等．”教師解釋道：“對(duì)邊相等就是線段相等”．然后繼續(xù)說(shuō)道：“大家回憶一下，前邊我們學(xué)過(guò)證明線段相等、角相等的方法，我們通常用什么（方法）？”學(xué)生馬上回答：“全等三角形”．

老師繼續(xù)問(wèn)：“還有什么方法呢？”沒(méi)等學(xué)生回答，教師緊接著提示道：“當(dāng)這兩條線段在兩個(gè)三角形里的時(shí)候，我們用全等三角形來(lái)證明．當(dāng)這兩條線段在同一個(gè)三角形里，我們用什么方法來(lái)證明？”教師一邊用手在空中描繪一個(gè)等腰三角形，一邊拖長(zhǎng)音提示道：“等……”．學(xué)生馬上回應(yīng)道：“等角對(duì)等邊．”

接下來(lái)，教師指著屏幕上的圖形問(wèn)道：“我們現(xiàn)在要證明的線段相等是在同一個(gè)三角形里嗎？”學(xué)生回答說(shuō)不在．教師又問(wèn)道：“那我們想什么辦法呀？”學(xué)生回答：“放在兩個(gè)三角形里．”教師指著圖形追問(wèn)道：“平行四邊形里怎么出現(xiàn)三角形?。?#8221;“作輔助線，連接AC（對(duì)角線）”學(xué)生們大聲群答．

教師進(jìn)一步補(bǔ)充說(shuō)道：“也就是說(shuō)我們把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形的問(wèn)題來(lái)解決了．”

　　教學(xué)過(guò)程比較與分析：

　　證明平行四邊形的性質(zhì)是這一節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容，尋求證明思路是證明活動(dòng)的第一步，也是發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題和邏輯推理能力的絕好機(jī)會(huì)．怎樣引導(dǎo)學(xué)生對(duì)其證明，從哪里開(kāi)始尋求證明的思路，是通過(guò)動(dòng)手活動(dòng)發(fā)現(xiàn)證明思路，還是借助于數(shù)學(xué)認(rèn)知策略，通過(guò)邏輯推理發(fā)現(xiàn)證明思路？

在教師甲的教學(xué)片斷中，我們可以看到，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生尋找其他驗(yàn)證猜想的方法，教師讓學(xué)生不僅再一次驗(yàn)證猜想，同時(shí)又可以發(fā)現(xiàn)證明的思路，即連接平行四邊形的一條對(duì)角線，把平行四邊形分成兩個(gè)全等的三角形．這種引出證明思路的方法酷似“三角形內(nèi)角和定理“證明思路的引出過(guò)程，但此一時(shí)非彼一時(shí)，對(duì)于時(shí)處八年級(jí)下學(xué)期的學(xué)生來(lái)說(shuō)，需要通過(guò)動(dòng)手剪拼的過(guò)程發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？

從知識(shí)發(fā)生和教材編排的順序看，在學(xué)習(xí)四邊形這一章之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形和三角形全等的知識(shí)，這說(shuō)明，學(xué)生不僅已經(jīng)掌握了與三角形和三角形全等的相關(guān)知識(shí)，而其還掌握了證明線段相等、角相等的數(shù)學(xué)認(rèn)知策略，即通過(guò)三角形全等，或利用等腰三角形的性質(zhì)，證明線段相等和角相等．這就是說(shuō)，涉及到線段相等和角相等的問(wèn)題，學(xué)生能夠想到借助于“等角對(duì)等邊”或“三角形全等”的策略加以解決．

事實(shí)上，在教師乙的教學(xué)片斷中我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)教師讓大家回顧證明線段相等、角相等有哪些方法時(shí)，學(xué)生馬上回答說(shuō)：“全等三角形”．當(dāng)教師問(wèn)道，圖中沒(méi)有兩個(gè)三角形怎么辦時(shí)，學(xué)生群答道，作輔助線，即連接對(duì)角線．

由此可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)解決線段相等、角相等的數(shù)學(xué)策略掌握的已經(jīng)十分嫻熟，因此，在尋找證明的思路時(shí)，完全不必通過(guò)動(dòng)手活動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決的方法，而應(yīng)該直接應(yīng)用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)認(rèn)知策略，在數(shù)學(xué)推理的層面上探求證明思路．

　　三、啟示

　　1.學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計(jì)要處在鄰近發(fā)展區(qū)內(nèi)

從課上學(xué)生的反應(yīng)看，之所以學(xué)生對(duì)動(dòng)手操作不感興趣，是教學(xué)設(shè)計(jì)對(duì)學(xué)生的要求遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知發(fā)展水平，強(qiáng)行把學(xué)生的思維活動(dòng)降低到動(dòng)手的水平．

　　2.數(shù)學(xué)思想方法不能貼標(biāo)簽

數(shù)學(xué)思想方法，既誕生于問(wèn)題解決的過(guò)程中，又應(yīng)用于解決問(wèn)題的過(guò)程中，是指導(dǎo)問(wèn)題解決的重要策略，因此，作為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的策略，數(shù)學(xué)思想方法常常出現(xiàn)在問(wèn)題解決的始點(diǎn)或初始階段．

轉(zhuǎn)化的思想是從局部轉(zhuǎn)化到總體，比如由線段相等的證明──三角形全等──平行四邊形；還是由總體轉(zhuǎn)化為部分，比如多邊形內(nèi)角和──三角形內(nèi)角和，要具體問(wèn)題具體分析，要從學(xué)生解決問(wèn)題過(guò)程中的思維起點(diǎn)加以分析，從中了解指導(dǎo)思維活動(dòng)的具體思想方法，以此確定思想方法究竟在什么時(shí)候發(fā)生了，并對(duì)問(wèn)題解決產(chǎn)生影響．

　　3.“同課異構(gòu)”有助于提升我們對(duì)掌握學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

所謂同課異構(gòu)是指針對(duì)同一課題有意識(shí)地設(shè)計(jì)不同教學(xué)方案，以期發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律．事實(shí)上，在日常教學(xué)中，當(dāng)教師按照預(yù)定的教學(xué)設(shè)計(jì)施教后，總會(huì)有所反思，并對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行某些改進(jìn)，這在一定程度上也是一種同課異構(gòu)的做法，不同的是，同課異構(gòu)是在課前有意識(shí)地進(jìn)行不同設(shè)計(jì)，以便對(duì)比研究．由此可見(jiàn)，同課異構(gòu)是一種積極主動(dòng)探索和解決教學(xué)困惑，發(fā)現(xiàn)學(xué)生知識(shí)規(guī)律的有效方法和途徑．正如本文的研究方法，通過(guò)對(duì)兩節(jié)同課異構(gòu)的課進(jìn)行對(duì)比分析，我們看到學(xué)生原有認(rèn)知水平，找到學(xué)生不愿意參與教學(xué)過(guò)程的原因，從而豐富了教師的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)．