周三的工作室活動，讓我深受啟發(fā)。無論是劉德武老師的課例，還是各位同仁的發(fā)言，都使我對自己有了更深刻的認識，對數(shù)形結合的思想理解的不夠透徹，運用的也不夠自如。于是，我便走進了有關數(shù)形結合思想的世界，以便提高自己的知識水平。

一、有效教學與數(shù)形結合思想的辯證關系，有數(shù)學思想的教學才有效。有效教學是方法，知識是載體，數(shù)學思想的建立是根本目的。

1、教師遵循一定的教育、教學規(guī)律，以盡可能少的時間、精力、教學設施的投入，取得盡可能多的教學效果，這就是有效教學。簡言之，就是要提高課堂教學效率。有效教學通過“分析、處理、探索、解決”等數(shù)學手段和工具，以學科知識的理解、掌握為載體，通過引導、扶持、點撥，實現(xiàn)知識、空間觀念、數(shù)學思想的建構。

2、數(shù)學思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系反映到人們的意識之中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結果，它是對數(shù)學事實與理論經(jīng)過概括后產(chǎn)生的本質(zhì)認識。數(shù)學思想比一般的數(shù)學概念更抽象、更概括，也更本質(zhì)、更深刻。

任何教學方法都是在一定的教學思想指導下進行的。各種教學方法無不體現(xiàn)著一定的數(shù)學思想。數(shù)學思想、數(shù)學方法、解題技巧、解題過程是教育教學的四個重要方面。無論是數(shù)學概念的建立、數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，還是數(shù)學問題的解決，乃至整個“數(shù)學大廈”的構建，其核心在于數(shù)學思想的培養(yǎng)和建立。所以，數(shù)學教師一定要高度重視數(shù)學思想的教學。

德國數(shù)學家希爾伯特曾說過：“問題是數(shù)學的心臟，方法是數(shù)學的行為，思想是數(shù)學的靈魂”。

3、數(shù)形結合思想位居常用的15種數(shù)學思想之首，可使教學問題化難為易，化繁為簡。深入地理解、探討數(shù)形結合的方法是我們實施有效教學的最有希望的策略之一。

這15種數(shù)學思想包括：

1）、 數(shù)形結合思想；

2）、函數(shù)思想；

3）、分類討論思想；

4）、方程思想；

5）、整體思想；

6）、轉(zhuǎn)化思想；

7）、隱含條件思想；

8）、類比思想；

9）、建模思想；

10）、化歸思想；

11）、歸納推理思想；

以及概率統(tǒng)計等數(shù)學思想。

著名數(shù)學家華羅庚先生在談到數(shù)形結合的好處時曾作詩贊美：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠聯(lián)系莫分離?！?/p>

3、數(shù)形結合思想在數(shù)學內(nèi)容上的體現(xiàn)。

1）、符號化思想：體現(xiàn)在圖形、算籌、數(shù)字、字母、公式等；

2)、方程的解集、不等式的認識、應用題求解等；

3)、圖形種類、數(shù)的分類及文氏圖演繹；

4)、由形到數(shù)及由數(shù)到形的轉(zhuǎn)換、互通；

5)、位置與方向、數(shù)對的點與坐標的對應關系等。

數(shù)形結合符合人類認識自然，認識世界的客觀規(guī)律。人自有生命以來，睜開眼第一件事，是朦朧地看到周圍的混沌世界。他的眼里只有形，這時，他是不識數(shù)的。十年磨一劍，揮手三千年，人類對數(shù)的認識起源于形，發(fā)展于形，得利于形，數(shù)形結合成為學習的永遠的依賴，我們就要遵循先形后數(shù)的認識規(guī)律。

二、數(shù)形結合思想的有效培養(yǎng)中存在的問題。

由于學生思維的發(fā)展所必須遵循的客觀規(guī)律，決定了學生在數(shù)形結合的學習中必然面臨著許多問題。

1、數(shù)形結合知識本身的難度。從純知識的角度看，學生對數(shù)形結合的知識掌握和方法使用不外乎兩個方面：一是根據(jù)圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)。二是根據(jù)數(shù)或式轉(zhuǎn)化成圖形。他們對“由形及數(shù)”看圖寫數(shù)類題的掌握程度，遠遠高于“由數(shù)及形”看數(shù)作圖類的題。在固定的常規(guī)思維模式下,出現(xiàn)順向思維易,逆向思維難，照搬模仿易,加工創(chuàng)新難的一貫性問題。這也是許多學生為什么看圖列式比看式作圖作得好的原因所在。

2、學生思想上固有的依賴性。在優(yōu)越、安逸的生活中，現(xiàn)在的孩子常常養(yǎng)成等、靠、要的習慣，學習中同樣得以表現(xiàn)。對老師的作圖的依賴性特強，情愿空著手看老師作圖，動口不動手。這樣是不能學好數(shù)形結合知識的，更談不上有效了。

3、前期沒有適當?shù)膱D形基礎知識作鋪墊，成為后期數(shù)形結合學習的制約。

4、作圖時不能規(guī)范操作。學生在平時的作業(yè)中，不論是從形到數(shù)，還是從數(shù)到形，因為不規(guī)范操作而帶來認識上的誤區(qū)，影響了學習的效率。譬如，畫圖不用鉛筆，不用尺子或其它的工具，只是一味地想當然作圖。

5、老師的要求不到位。對于數(shù)形結合的思想，老師一般認為沒有算理算法重要。在無意識的情況下，忽視了數(shù)形結合思想，降低或不作要求。目標不明，則動力不足。

6、教師的越殂代皰和急功近利。緊張而有限的上課時間里，老師的教學任務重，因而以講代練，以數(shù)代形，非得在一個個問題上講多、講透不可，很少訓練學生的數(shù)形結合思想和空間想像能力。一心想著學生畫圖的時間，老師可以多講一道題了。以至于代為刀手，越殂代皰。學生作壁上觀，畫得不多，練得不少。但是，形象的、具體的、直觀的事物要比抽象的語言容易記得多。美國圖論學者哈里有一句名言：“千言萬語不及一張圖。”說的就是這種道理。

7、軟硬件不足的問題。借助掛圖，尺子，圓規(guī)上課的年代雖已過時，卻成為我們最經(jīng)?；膬?nèi)容。能隨時隨地利用類似理科實驗室的器材，展示直觀圖形；運用各種教學手段，尤其是大量使用多媒體，“以形助數(shù)”，化抽象為具體，降低學生的思維難度，應該成為教學的重要依靠。電教手段的日常化，數(shù)據(jù)庫的信息化，是老師們急切等待而久未實現(xiàn)的倚重。這些軟、硬件的缺失，將會成為日常有效教學的遺憾，使我校有效教學遭遇到很大的瓶頸。

8、題海戰(zhàn)術對數(shù)形結合等思想的沖擊。

應試教育突出“練”字，題海戰(zhàn)術對數(shù)形結合等思想的沖擊很大。大量的習題訓練能提高分數(shù)誤導了師生和家長?？蓱z的孩子們對作業(yè)浮光掠影，跑馬觀花，哪有過深入思考、舉一反三？大腦的馬達長時間停留在低檔，哪有強勁的動力產(chǎn)生學習的有效、高效呢？

案例1：專家調(diào)查：中國學生計算能力世界第一，但是我們的創(chuàng)造力排名倒數(shù)。這是世界上最不公平的事！我們的小學生6點過起床，7點半到校，中午無休息，晚上的作業(yè)做到9點。外國的孩子為了諾貝爾物理獎、化學獎（沒有奧數(shù)獎哈），卻正在玩積木，玩游戲，玩表演，玩一切充滿樂趣，充滿活力，充滿生機，充滿希望的極具數(shù)學思想的活動。

為什么綿陽的孩子不能像上海的孩子那樣輕松？為什么上海的孩子不能像美國的孩子那樣創(chuàng)造？為什么解放前的“舊社會”西南聯(lián)大出過李政道、楊振寧、鄧稼先等學生，現(xiàn)在的清華也好，復旦也罷，卻培養(yǎng)不出這種人才。我認為，是因為陶行知先生死早了，陶先生在解放的前夜就去世了，后來也就不出人才了。

2009年，中國最大的損失是錢學森先生的逝世。我們在大力宣傳錢老的偉大，也同時在關注他對中國教育的審視。我發(fā)現(xiàn)，錢老先生1955年回國時，他的堂侄錢永健于1952年已出生在紐約；錢老2009年于北京逝世，錢永健先生2008年獲得諾貝爾化學獎，錢學森先生心里怎么想？他若不回國的話，也許他早已不只是中國的錢學森，而是世界人民的錢學森了。有趣的是，錢永健先生在瑞典領獎時曾接受中國媒體采訪，他建議：“中國的年輕人要培養(yǎng)在科學領域的創(chuàng)造力和好奇心。25歲到40歲之間是一個人最富創(chuàng)造力的階段，政府應該制定更加完善的政策，激發(fā)他們的創(chuàng)造力，為他們提供足夠的研究資源，千萬不要用刻板的制度來束縛他們”。他的話也道出了基礎教育的弊病，對我們具有參考作用。因為目前的現(xiàn)狀是，搞應試教育輕車熟路，實施素質(zhì)教育任重而道遠。

三、培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想的有效教學策略。

“空間與圖形”是小學數(shù)學教學中的重要內(nèi)容之一，在以后的學習中體現(xiàn)得更為明顯。數(shù)形結合帶給教學以蓬勃之生命，賦予教學以持續(xù)性的活力，使有效教學的策略更豐富，更清晰。

１、教學回歸生活，以童真喚起興趣，營造樂學的有效教學情境。

著名教育家皮亞杰說過：“兒童是具有主動性的人，所教的東西要能引起兒童的興趣，符合他們的需要，才能有效地促使他的發(fā)展。”在我們的童年的記憶中，好的動畫片和童話書總會給人一種最美好的的印象，那種感覺揮之不去，抹之不滅。新課改教材里各種鮮艷逼真的情境圖，各種平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的美麗圖案，可以讓學生真切地體會到了數(shù)學的美，受到美的熏陶。

案例2 《軸對稱圖形》：課件的音樂聲中，春天的蝴蝶翩翩起舞，夏天的蜻蜓早立桿頭，秋天的楓葉隨風而落。

觀察引入：“我們身邊的世界繽紛多彩，每一樣景物都是一幅畫像，每一樣圖畫都是藝術作品。初步感知：看到這些圖案你有什么感受？這些圖案各不相同，卻有一個共同特征，認真觀察，看誰的眼力最好，最早發(fā)現(xiàn)這個特征?！?/p>

再現(xiàn)臉譜的圖片，以美麗的生活場景引入，激發(fā)學生很快進入積極的學習情感狀態(tài)。初步感知昆蟲、臉譜等軸對稱圖形的外部特點，并形成一定的表象。

同時，在教學中盡可能多地以本地生活中的事物或景物作為例子，讓學生對軸對稱圖形的建構看得見，摸得著。教師創(chuàng)設的問題情景如果能深深地吸引每一個學生，孩子們就會熱情參與、積極動手、踴躍發(fā)言，為后面的教學作了適當?shù)匿佋O。

2、看圖說話，鼓勵多提問；先學后導，作圖更有效。

陶行知先生說過：“創(chuàng)造始于問題”。學生沒將題目讀懂時，他是沒有問題的，這與他沒讀題效果一樣。只有鉆研之后，才會生出“看似絕壁，卻辟小徑”之感。

案例3：天津到濟南的鐵路長357千米。一列快車從天津開出，同時有一列慢車從濟南開出，兩車相向而行，經(jīng)過３小時相遇，快車平均每小時行79千米，慢車平均每小時多少千米？

策略一：讀懂題意，鼓勵多提問。教師把可能出現(xiàn)的問題都要預設清楚：題目意思是什么？哪兩位同學上講臺來表演快慢車的相遇？你們撞上了，車能撞嗎？在中間相遇嗎？能用圖形表示嗎？除了用線段圖，長方形圖，還能用圓柱形的，軌道形的嗎？它們的數(shù)量關系是什么？你用哪種數(shù)量關系解題？還有其它方法嗎？可能出現(xiàn)什么錯誤？怎么改？

策略二：學生圍繞著問題與圖形，反復在數(shù)與形之間輾轉(zhuǎn)，借直觀，解抽象，把一個無從下手的題目具體化。通過匯報，有多種解法，可列出學生容易理解的幾種式子，再結合直觀圖，比較最簡單的一種解題思路。

策略三：學生在老師的引領下，領悟“數(shù)形結合”的數(shù)學思想。利用了列方程解答，例題圖示化。充分利用圖形的直觀性和具體性，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關系，找出解決問題的突破口。畫圖不僅是為了解題，更為重要的是建立圖文并茂的場景圖，讓孩子們的思維體操更準確，更瀟灑。

3、數(shù)形結合，不忘操作。由形到數(shù)是要求，由數(shù)到數(shù)是追求。

案例4：《解方程》新教材第九冊數(shù)學解方程單元，教材設計打破傳統(tǒng)，不再利用數(shù)與數(shù)之間的關系解方程，而是借用天平使學生感悟等式、方程，探求方程兩邊都同加、同減、同乘、同除（0除外）同一個數(shù)，方程兩邊仍然相等的基本性質(zhì)。這種解題方法是發(fā)展的、前瞻的、科學的。

策略一：由形到數(shù)，動手、觀察天平的平衡現(xiàn)象。

我在上這課時，以天平吊足學生胃口，在有形的教學中，學生非常主動地上講臺稱重量，維持平衡，領悟等式，尋求方程。天平對于老師來說，是平時司空見慣的物體，在學生眼里就變得很神奇。其實，他們只知道書上說一枚兩分硬幣就是2克，他們還想知道一根膠棒、一本《雞皮疙瘩》的重量幾何？我們就把時間還給學生，放手一試又如何？

策略二：由數(shù)到形，抽象問題反饋化，稍微后退跳得更遠。

方程具體到應用中學生感覺比較抽象，老師可以引導分組學生在反復操作中理解同時加、減一個數(shù)的目的和依據(jù)。在課堂上，學生對這種解方程方法感到很陌生，同時很新鮮。在他們原有的經(jīng)驗中應該可以用加減法各部分的關系來解，沒想到會有這種方法，他們一定會進行各種探索。在出現(xiàn)種種失誤后，老師再做策略性的引領，予以解決。

策略三：由數(shù)到數(shù)，升華思維。方程單元有意避開了X在減號（除號）后面的題型，但這種方程還是出現(xiàn)得較多。有了天平秤的啟發(fā)，我們可以讓學生作類比，等號兩邊同時加上X，再左右其位，方法就與前面的相同了。我們不能苛求所有的結論都能在有形的空間里操作，學生的思維梯度一旦培養(yǎng)，由數(shù)到數(shù)的轉(zhuǎn)化便不是難事了。

4、“形→數(shù)”、“數(shù)→形”，分階段把握數(shù)形結合知識難度，制定相應的教學策略。

低段學生及圖形建構差的的學生適宜“形→數(shù)”的直觀思維，其教學大多以觀察、操作等活動開始，在感知和積累了大量空間圖形的具體形象及抽象化圖形后，自然過渡到復雜、抽象的圖形學習。

高段的學生適宜“數(shù)→形”、“數(shù)→數(shù)”的抽象思維，因其數(shù)形知識有了一定積累后，幾何直觀圖形感知能力，邏輯思維能力已有一定程度的發(fā)展。他們在觀察、分析、思考題目后，對于簡單的圖，不一定每次都要畫出來。數(shù)量關系式、圖形能用“腦圖”表現(xiàn)出來再好不過，“腦圖”才是我們最美好的追求。

案例5《圓的面積》：  要將一個圓切分成一個近似的長方形，一些老師教學時都會感到困難，孩子們會覺得容易嗎？

我們要做的，就是將數(shù)與形的知識結合起來，降低學生的認知難度，使問題迎刃而解。

對于學習有困難的學生，應視其情況，降低層次，回溯到相應的基礎上再予以教學。梯形的面積不會做，三角形呢？也不會，很好！降低難度，拿一個平行四邊形來，“老師，我還是不會”……太好了，出示長方形，還不會？數(shù)格子……有什么辦法呢？學生的現(xiàn)狀是第一位的，老師會為五年級學生不會做二年級的題而傷心、憤怒嗎？盡管學生的無知是不合理的，卻依然是存在的現(xiàn)實。臨淵羨魚不如退而結網(wǎng)，當堂發(fā)火不如蹲下身來。前提：把他當作你的孩子；原因：發(fā)火是無效的，反效的。

四、多元拓展，鞏固生成數(shù)形結合的有效教學成果。

1、無圖不成書，無圖不成課，多元化地生成思維空間。

有效利用數(shù)學課本中的主題圖，經(jīng)歷數(shù)形結合過程，建構有效課堂。我們念書時的課本特點就是白紙黑字。而新理念下的新教材“一改前非”，許多例題、習題中五彩繽紛的彩頁和插圖，還原和再現(xiàn)了生活化的特點，尤其是數(shù)學實踐課、數(shù)學廣角，為我們上好數(shù)學課提供了方便。能真正做到讓學生動起來，對平面的圖形要學會描繪，對立體的圖景及實物要親自參與觀察、操作，讓視覺、聽覺、觸覺等多種分析器官協(xié)同參與數(shù)形結合的活動，實現(xiàn)并享受數(shù)形結合概念的建模過程將不是奢望。

2、可依靠，不依賴，辯證地發(fā)展數(shù)形思想。

一味地依賴圖形，只重視講授“有形”知識，而不注重滲透數(shù)學思想、方法的教學，或者單純強調(diào)數(shù)學思想和方法，而忽略“有形”知識的教學，都會使教學顯得浮淺、不實、低效。