數(shù)學中使用的一般科學方法（1）
諾依曼說：大多數(shù)最好的數(shù)學靈感來源于經(jīng)驗。 典型事例：用數(shù)學方法發(fā)現(xiàn)海王星。 對觀察得來的數(shù)據(jù)，設想一個思想實驗，看看實驗結(jié)果是否與觀察結(jié)果相符合。 數(shù)學家可分為理論數(shù)學家和實驗數(shù)學家。 費爾馬是理論數(shù)學家。 歐拉是實驗數(shù)學家。 數(shù)學實驗和一般實驗不同。數(shù)學實驗面對的往往是數(shù)據(jù)、圖形、方程之類的思想材料。 思想實驗：根據(jù)研究目的人為地創(chuàng)設、改變和控制某種數(shù)學情景，在有利條件下經(jīng)過思想活動，以研究某種數(shù)學現(xiàn)象和數(shù)學規(guī)律，通過思想實驗，往往會形成一些新的概念，提出一種猜想。 數(shù)學模擬是用計算機模擬。 曼德勃勞依德創(chuàng)立分形理論，他是用計算機造出許多圖形，依靠計算機的實驗以發(fā)現(xiàn)許多數(shù)學性質(zhì)，理解一種數(shù)學構造。 （2） 龐加來說“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)明。” 數(shù)學直覺沒有明確定義，大體上是指對數(shù)學對象中隱含的整體性、次序性、和諧性的領悟，能夠越過邏輯推理而作出種種預見的能力。 數(shù)學的原動力是想象力而不是推理。 （3） 一個完整的數(shù)學工作應有三個部分： 1． 2． 3． 1， 一個優(yōu)秀的數(shù)學家會根據(jù)自己的“數(shù)覺”，運用科學方法，提出好的數(shù)學問題，設定數(shù)學猜想，以便作深入研究。 問題選的好壞，猜想是否合適，是決定數(shù)學創(chuàng)造的關鍵，也是數(shù)學水平得分野。 拉普拉斯說：“在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的工具是歸納與類比?！?br>歸納是個別――一般。 歸納有完全歸納法與不完全歸納法。 猜想有正確的也有不正確的。 一元二次方程可以用根式求得，三次、四次也可以。于是猜想N次方程也一定能用根式求解，然而這一猜想是不正確的。 證明了為了否定這一猜想，伽羅瓦創(chuàng)立了群論，阿貝爾五次及五次以上的方程一般不能用根式求解。 類比 波利亞在《怎樣解題》中說：“類比是一個偉大的引路人?！啊泵慨斃碇侨狈煽空撟C思路時，類比這個方法往往能指引我們前進?！?br>中學數(shù)學中常用的類比 個別到一般的推廣；某種特殊性推廣使用；低維到高維的類比；方法上的類比。 （4） 數(shù)學證明的價值： 1． 2． 數(shù)學的嚴謹性是相對的，絕對嚴格是做不到的。 數(shù)學的證明與其他學科的證實有本質(zhì)的不同，它具有更多形式化的特點，更接近于形式邏輯，有更強的可靠性。 （5） 化歸方法，就是將一個問題A進行變形，使其歸結(jié)為另一個已解決的問題B，既然B已可解決，那么A也可以解決。 化歸的方向是由難到易，化繁為簡。 善于使用化歸法是數(shù)學家思維方式的一個重要的特點。 數(shù)學證明的一般方法有三步： 第一步，憑“數(shù)覺’和經(jīng)驗設計證題的一般思路； 第二步，將問題化歸為較易的或已經(jīng)解決的新問題，并找出化歸的邏輯線索； 第三步，運用邏輯的演繹方法將問題解決過程的邏輯要點寫下來。 9種演繹推理 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． |
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