如果給定一個數組，要你求里面所有數的和，一般都會想到累加。但是當那個數組很大的時候，累加就顯得太耗時了，時間復雜度為O(n)，并且采用累加的方法還有一個局限，那就是，當修改掉數組中的元素后，仍然要你求數組中某段元素的和，就顯得麻煩了。所以我們就要用到樹狀數組，他的時間復雜度為O（lgn），相比之下就快得多。下面就講一下什么是樹狀數組：

         一般講到樹狀數組都會少不了下面這個圖：

         下面來分析一下上面那個圖看能得出什么規(guī)律：

         據圖可知：c1=a1，c2=a1 a2，c3=a3，c4=a1 a2 a3 a4，c5=a5，c6=a5 a6，c7=a7，c8=a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8，c9=a9，c10=a9 a10，c11=a11........c16=a1 a2 a3 a4 a5 ....... a16。

         分析上面的幾組式子可知，當 i 為奇數時，ci=ai ；當 i 為偶數時，就要看 i 的因子中最多有二的多少次冪，例如，6 的因子中有 2 的一次冪，等于 2 ，所以 c6=a5 a6（由六向前數兩個數的和），4 的因子中有 2 的兩次冪，等于 4 ，所以 c4=a1 a2 a3 a4（由四向前數四個數的和）。

        （一）有公式：cn=a(n-a^k 1) ......... an（其中 k 為 n 的二進制表示中從右往左數的 0 的個數）。

         那么，如何求 a^k 呢？求法如下：

         lowbit（）的返回值就是 2^k 次方的值。

         求出來 2^k 之后，數組 c 的值就都出來了，接下來我們要求數組中所有元素的和。

         （二）求數組的和的算法如下：

         （1）首先，令sum=0，轉向第二步；

         （2）接下來判斷，如果 n>0 的話，就令sum=sum cn轉向第三步，否則的話，終止算法，返回 sum 的值；

         （3）n=n - lowbit（n）（將n的二進制表示的最后一個零刪掉），回第二步。

          代碼實現：

         （三）當數組中的元素有變更時，樹狀數組就發(fā)揮它的優(yōu)勢了，算法如下（修改為給某個節(jié)點 i 加上 x ）：

         （1）當 i<=n 時，執(zhí)行下一步；否則的話，算法結束;

         （2）ci=ci x ，i=i lowbit（i）（在 i 的二進制表示的最后加零），返回第一步。

          代碼實現：