一、歐幾里得公理體系

　　公理化方法淵源于幾何學(xué)，而幾何學(xué)起源于埃及。

　　埃及的尼羅河，幫助人們積累了豐富的幾何知識，但是并沒有組成一門系統(tǒng)的科學(xué)。后來希臘和埃及通商，于是幾何知識漸漸傳入希臘，希臘的許多學(xué)者對這些知識進行了研究，特別是希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得搜集了當時已有的幾何材料，按照邏輯的系統(tǒng)，編成了《幾何原本》（Elements）一書。這本書內(nèi)容豐富，結(jié)構(gòu)嚴謹，對于幾何學(xué) 的發(fā)展和幾何學(xué)的教學(xué)都起了巨大的作用，它被人們贊譽為歷史上的科學(xué)杰作。

　　歐幾里得的《幾何原本》，原說有15卷，經(jīng)后人多方面考證，公認只有13卷，15世紀以后，印刷《幾何原本》的版本甚多，現(xiàn)在一般推希別爾克（Heibrg）與蒙奈(Menge)于1883-1889年的版本為標準版本，下面就據(jù)此版本介紹歐氏幾何公理系統(tǒng)。

　　《幾何原本》13卷的內(nèi)容主要是：

　　第一卷：給出定義、公設(shè)和公理，討論有關(guān)三角形全等、邊角關(guān)系、垂直線、平行線、平行四邊形以及等積問題等定理及其證明。

　　第二卷：討論線段的運算，包括黃金分割定理。

　　第三、四卷：討論圓的性質(zhì)和圓的內(nèi)接、外切多邊形。

　　第五、六卷：討論比例理論和相似多邊形的性質(zhì)。

　　第七、八、九卷：純粹是討論算術(shù)的篇章，包括歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法。

　　第十卷：討論不可公度量的分類和它們的幾何運算，包括整數(shù)開平方的幾何運算。

　　第十一、十二、第十三卷：討論幾何的內(nèi)容。

　　從這個簡單介紹可以看到，目前屬于初等幾何學(xué)的內(nèi)容和方法，基本上都已包括在《幾何原本》中了。它所以能在兩千多年的時間中被長期公認為幾何學(xué)的標準教科書，就在于它的相當嚴密的體系和豐富的內(nèi)容。

　?。ㄒ唬W幾里德公理系統(tǒng)

　　歐幾里得的《幾何原本》，是公理化方法的雛型。歐幾里得從點、線、面等最基本的概念和最簡單的關(guān)系的分析中，提煉出5條公設(shè)和9條公理。由此出發(fā)，運用演繹的方法，并借助于圖形的直觀，把當時所知的幾何學(xué)知識，組成一個有機的整體。

　　具體地說，歐幾里得在《幾何原本》中采用了以下的結(jié)構(gòu)形式。

　　首先，指明了幾何學(xué)的研究對象，即點、線、面等。在第一卷開端給出了23個定義。

　　定義1點是沒有部分的。

　　定義2線有長度而沒有寬度。

　　定義3線的界限是點。

　　定義4直線是這樣的線，它對于它的任何點來說，都是同樣地放置著的。

　　定義5面只有長度和寬度。

　　定義6面的界限是線。

　　定義7平面是這樣的面，它對于它的任何直線來說，都是 同樣地放置著的。

　　接著，介紹關(guān)于角、平角、直角和垂線、鈍角、銳角、圓、圓周和中心、直徑、半圓、直線形、三角形、四邊形、多邊形、等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形、直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、正方形、菱形、梯形等15個定義，為節(jié)省篇幅，這里就不一一列出了。最后一條是關(guān)于平行線的定義。

　　定義23平行線是在同一平面上而且向兩側(cè)延長總不相交的直線。

　　其次，歐幾里得把少數(shù)不加數(shù)學(xué)證明而直接采用的命題作為公設(shè)和公理。

　　《幾何原本》中采用的公設(shè)有5條：

　　公設(shè)1從一點到另一點必可引直線。

　　公設(shè)2任一直線均可無限制地延長。

　　公設(shè)3以任一點為中心，任意長線段為半徑可以作圓。

　　公設(shè)4所有直角都相等。

　　公設(shè)5若兩直線與第三直線相交，其一側(cè)的兩個內(nèi)角之和小于兩直角時，則把這兩條直線向該側(cè)充分地延長后一定相交。

　?。ㄕf明 這是著名的第五公設(shè)，它與"直線外一點只能引一條直線與已知直線平行"是等價的，所以又有"平行公設(shè)"之稱。）

　　《幾何原本》中采用的公理有9條：

　　公理1各與同一個第三個量相等的量必相等。

　　公理2相等的量加上相等的量仍為相等的量。

　　公理3相等的量減去相等的量仍為相等的量。

　　公理4不等的量加上相等的量獲不等的量。

　　公理5相等的量的兩倍仍為相等的量。

　　公理6相等的量一半仍為相等的量。

　　公理7能互相重合的量一定是相等的量。

　　公理8整體大于部分。

　　公理9 過任意兩點只能引一直線。

　　最后，歐幾里得從上述公設(shè)和公理出發(fā)，運用演繹方法，把當時所知的幾何學(xué)知識全部推導(dǎo)出來。《幾何原來》中得出的各種幾何命題，即通常所謂的定理，共有467條之多。

　　在歷史上，公設(shè)和公理是有區(qū)別的。一般認為，公理是算術(shù)與幾何所共有的，公設(shè)則僅為幾何學(xué)所有；公理本身是十分自明的，公設(shè)也是不加證明而承認的，但沒有公理那樣自明。現(xiàn)代公 理論者對公設(shè)和公理已不加區(qū)分，概用公理一詞來替代。

　　特別值得注意的是《幾何原本》第一卷有48個命題敘述了三角形全等的條件、垂線、外角定理、三角形的邊角不 等關(guān)系等，但是從命題27開始敘述平行理論，而從命題29起才用到第五公設(shè)。

　　命題27如果一直線和兩條直線相交，所成的內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。

　　命題28如果一直線和兩條直線相交，所成的同位角相等，那么這兩條直線平行。

　　命題29如果一條直線與兩條平行直線相交，那么所成的內(nèi)錯角相等，同位角相等，同旁內(nèi)角之和等于二直角。

　　非常有趣的是，對第五公設(shè)是否獨立的研究導(dǎo)致了非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，由于第五公設(shè)在內(nèi)容和陳述上的復(fù)雜和累贅，加之它在《原本》的前28個定理的證明中并未用到，引起古代學(xué)者們的 懷疑：第五公設(shè)是不是多余的，它能不能從其他公設(shè)、公理邏輯地推導(dǎo)出來？甚至認為，歐幾里得之所以 把它當作公設(shè)，只是因為他未能給出這一命題的證明，以致學(xué)者們紛紛致力于證明第五公設(shè)。在歐幾里得 以后的兩千多年時間里，幾乎難以發(fā)現(xiàn)一個沒有試證過第五公設(shè)的大數(shù)學(xué)家。

　　所有這些證明，一般都利用了直覺性，都不加證明地承認了 某個與第五公設(shè)等價的命題，例如，在銳角一邊上的垂直線和傾斜線永遠相交；通過角內(nèi)的每個點至少可以作 一條直線與其兩邊相交；平面上不相交的直線不能無限制地彼此遠離；至少存在兩個相似的三角形，等等。

　　直到1826年俄國幾何學(xué)家羅巴切夫斯基（N.I.Lobachevsky，1792~1856）發(fā)現(xiàn)非歐幾何--羅氏幾何為止， 才肯定了第五公設(shè)與歐氏系統(tǒng)的其余公理是獨立無關(guān)的。

　　應(yīng)當指出，獨立地發(fā)現(xiàn)羅氏幾何的還有大數(shù)學(xué)家高斯（K.F.Gauss，德，1777~1855）和匈牙利青年大學(xué)生波約（J.Bolyai，1802~1860）。但是，高斯由于害怕學(xué)術(shù)界頑固守舊 勢力的攻擊而始終不敢公開發(fā)表自己的研究結(jié)果。

　?。ǘ臄?shù)學(xué)教育的角度看，歐幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)是串聯(lián)型而不是放射型的，《幾何原本》的每一節(jié)都那么重要，一節(jié)學(xué)不好，繼續(xù)前進的路就斷了，更令人頭痛的是它沒有提供一套強有力的、通用 的解題方法。主要解題工具是三角形的全等和相似，而許多幾何圖形中不包含全等或相似三角形，因此往往 要作輔助線，從而幾何被公認為難學(xué)的一門課程。

　?。ㄈW幾里得的邏輯結(jié)構(gòu)與整個數(shù)學(xué)大系統(tǒng)匹配得不好：它既不以小學(xué)所學(xué)的幾何知識為發(fā)展的基礎(chǔ)， 又不以代數(shù)知識為工具，更沒有為解析幾何和高等數(shù)學(xué)的出現(xiàn)打下伏筆。

　　這些當然不能責(zé)怪歐幾里得，因為當時還不知道實數(shù)、三角法、代數(shù)里的字母運算以及極端重要的0，解析法和向量一直到十七世紀和十九世紀才出現(xiàn)。慚愧的是我們后人往往習(xí)慣于介紹這些方法，把它們分段拼湊在一起，卻不關(guān)心將這些方法融合在一起，怎樣才能使廣大中學(xué)生更容易地繼承古人給我們創(chuàng)造的珍貴遺產(chǎn)，這正是《初等幾何研究》所應(yīng)承擔的課題。