2009年上海市春考數(shù)學(xué)壓軸題（第20題）賞析

撰文/大罕

    2009年上海市春考第20題如下：

   20.設(shè)函數(shù)f_n(θ)=sinθ+(-1)ⁿcosθ, 0≤θ≤π/4，其中n為正整數(shù).

     ⑴判斷函數(shù)f₁(θ)、f₃(θ)的單調(diào)性，并就f₁(θ)的情形證明你的結(jié)論；

     ⑵證明：2f₆(θ)-f₄(θ)＝(cos⁴θ-sin⁴θ)(cos²θ-sin²θ)；

     ⑶對于任意給定的正整數(shù)n，求函數(shù)f_n(θ)的最大值和最小值.

   講評：

    作為春考的壓軸題，第20題設(shè)置了三個小題，難度逐漸加大，到了第⑶小題，其難度是夠大的。

    關(guān)于第⑴小題.

    僅就判斷單調(diào)性而言，只需計算得f₁(0)<f₁(π/4) 和f₃(0)<f₃(π/4)，便知f₁(θ)、f₃(θ)在[0,π/4]上均為單調(diào)遞增的函數(shù).

    就f₁(θ)的情形證明它的單調(diào)遞增，可用兩種方法:

    方法一:f₁(θ)=sinθ-cosθ=√2sin(θ-π/4)，由圖像可知, f₁(θ)在[0,π/4]上單調(diào)遞增.

    方法二:任取0≤θ₁<θ₂≤π/4,注意到sinθ和cosθ在[0,π/4]上分別是增函數(shù)和減函數(shù),即sinθ₁<sinθ₂和cosθ₂<cosθ₁，

    ∴ f₁(θ₁)-f₁(θ₂)=(sinθ₁-sinθ₂)+(cosθ₂-cosθ₁)<0,于是f₁(θ)在[0,π/4]上單調(diào)遞增.

    關(guān)于第⑵小題.

    本題即證明如下三角等式：

    2(sin⁶θ+cos⁶θ)-( sin⁴θ+cos⁴θ)=(cos⁴θ-sin⁴θ)(cos²θ-sin²θ).

    多次運用公式sin²θ+cos²θ＝1,等式左邊＝2(sin²θ+cos²θ) (sin⁴θ- sin²θcos²θ+cos⁴θ) -( sin⁴θ+cos⁴θ)=1-sin²2θ=cos²2θ，而等式右邊＝(cos²θ- sin²θ)²= cos²2θ,

    ∴ 2f₆(θ)-f₄(θ)＝(cos⁴θ-sin⁴θ)(cos²θ-sin²θ).

    關(guān)于第⑶小題.

    單獨看第⑴⑵小題，感覺無甚新意，甚至有點失望，難道這就是壓軸題么？

    其實，這兩道小題除了本身具有考查功能以外，同時也是為第⑶小題的急劇爬坡作出鋪墊.（注意：這是出題人的“慣用伎倆”,也是善意提醒.）

    對于任意給定的正整數(shù)n，如何求函數(shù)f_n(θ)的最大值和最小值呢？

    第⑴小題暗示，解題思路上可以從函數(shù)的單調(diào)性加以考慮.這是思想方法的提醒.

    第⑵小題暗示，解題途徑上可以仿照這里的模式加以變形.這是解題技巧的提醒.