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卡西 遼寧師范大學 梁宗巨 卡西(al-Kāshī，Ghiyāth al-Dīn Jamshīd Mas’ūd) 亦稱卡尚尼(al-Kāshānī)，生于卡尚(Kāshān，今屬伊朗)；1429年6月22日卒于撒馬爾罕(Samarkand，CanMapkaHд，今屬烏茲別克)．天文學、數(shù)學． 卡西的生年沒有確實的記載，他的活動最早見于文獻的是1406年6月2日，當時他在家鄉(xiāng)觀測一次月食．卡西是阿拉伯國家中世紀最后的一位著名天文學家和數(shù)學家，人們常以他的卒年為這個時代的終結． 14世紀末葉，中亞細亞的跛子帖木兒(Timur the Lame或Tamburlaine，1336—1405，成吉思汗的后裔)建立了帖木兒帝國，定都撒馬爾罕．他的孫子烏魯伯格(Ulugh Bēg， 1394—1449)是一個科學家，精通天文，而且是科學、藝術的倡導者與保護人，1417—1420年，他在撒馬爾罕創(chuàng)辦了一所高級的教授科學(包括天文學)和神學的學?！R德拉撒(madrasa)．大約4年之后，又籌建一座三層樓的天文臺，招聘一批科學家在那里工作，使撒馬爾罕成為東方最重要的科學中心．1447年，烏魯伯格繼承王位成為蘇丹，進一步加強學術活動，可惜兩年后被刺死，他倡導的事業(yè)隨之而衰落． 卡西的科學生涯是和烏魯伯格息息相關的．他曾是一個醫(yī)生，但他渴望從事天文與數(shù)學的研究．在長期貧困與徬徨之后，終于在撒馬爾罕找到一個穩(wěn)定而又榮耀的職位，即在烏魯伯格的宮邸協(xié)助策劃開展科學工作．卡西何時到撒馬爾罕已不可考，只知道在1424年他曾和烏魯伯格討論過有關天文臺的規(guī)劃．參加討論的還有卡迪·扎達·魯米(Qādī zāda al-Rumī)和另一個來自卡尚的穆因丁(Mu'in al-Dīn)．有的書將魯米和卡西混淆了，以為是同一個人．其實卡西是第一任臺長，卡西去世后，魯米繼任第二任臺長． 卡西積極參加天文臺的修建和儀器的裝備，成為烏魯伯格的得力助手和合作者．在給父親的一封信中，卡西極務贊揚烏魯伯格的數(shù)學才能，說他有淵博的知識，組織活動能力也很強．卡西還強調當時討論科學問題的自由空氣，沒有這種空氣，科學的進步是不可能的． 烏魯伯格對待學者很寬厚，他諒解卡西對宮廷禮儀的疏忽，以及缺乏良好的生活習慣．在《烏魯伯格歷》(Ulugh Bēg's zīj)的序中，烏魯伯格提到卡西的死，說“他是一位杰出的科學家，是世界上最出色的學者之一，通曉古代科學，并推動其發(fā)展，他能解決最因難的問題”． 在撒馬爾罕期間，卡西的學識已臻成熟，連續(xù)完成了他一生中最有價值的著作．1424年7月寫成《圓周論》(Risāla al-muhītīyya,The treatise on the circumference)，得到當時世界上最精確的圓周率值．1427年3月2日完成《算術之鑰》(Miftāh alhisāb , The key of arithmetic)，這是一本初等數(shù)學的百科全書，題獻給烏魯伯格．上述二書已由蘇聯(lián)的羅森菲爾德(Б．A．Poэенфельд)等從阿拉伯文譯成俄文．另一本《論弦與正弦》(Risāla al-watar wa'l-jaib, The treatise on the chord and sine)給出sin1°的精確值，未記日期，但初稿顯然寫在《算術之鑰》之前，因《算術之鑰》的序言中提到它．卡西的另一項任務是參與制定《烏魯伯格歷》，這是一部討論天文、歷法的書，包括星表和數(shù)學用表．卡西肯定投入巨大的精力并做出了貢獻．不過在他生前只完成開頭的理論部分，這部歷法在卡西死后很多年才由他的后繼者完成． 圓周率的計算 圓周率π的研究，在一定程度上反映這個地區(qū)或時代的數(shù)學水平．我國祖沖之在公元462年算出π的8位可靠數(shù)字： 3.1415926＜π＜3.1415927． 直到1424年，卡西才打破這個世界記錄． 他所用的方法仍然是求出圓內接與外切正多邊形的周長．從正6邊形開始，每次邊數(shù)加倍，這一點和阿基米德、劉徽相同，但計算過程各有特點． 卡西首先根據(jù)歐幾里得幾何證明一個幾何命題，然后導出所需要的計算公式．為簡單起見，下面用現(xiàn)代三角法來說明他所用的公式． 如圖，設AB=d=2r是圓的直徑，r表半徑．an，cn是內接于圓的直 又∠BAD=∠DAC=β．則 cn=dcos2β， cn+1=dcosβ． 即 如已知cn，通過此式即可得cn+1.an可通過勾股定理，由cn算出： 設an是內接正多邊形的一邊，那么an+1就是邊數(shù)加倍的內接正多邊形的一邊． 這樣算出一系列的cn(n＝3·2n)，一直算到n=28，即 3·228=805306368 邊，得到 及 的值．a28乘以邊數(shù)3·228，便是圓內接正3·228邊形的周長．類似地，可以求出外切正3·228邊形的周長．最后取二者的算術平均來作圓周長的近似值，用60進分數(shù)表示出來(取r=1)： 6°16'59"28Ⅲ1Ⅳ34Ⅴ51Ⅵ46Ⅶ14Ⅷ50Ⅸ 此處借用60進角度的表示法，6°表示6是整數(shù)，后面是60進分數(shù)． 卡西在《圓周論》的第8節(jié)中又將此值改寫成10進分數(shù)(即小數(shù)) 6.2831853071795865． 除以直徑2，即得圓周率 π=3.14159265358979325． 它有17位準確數(shù)字，打破了祖沖之保持了900多年的世界記錄． 1596年，L．V．柯倫(Ceulen)用內接及外切正60·233(=515 396 075 520)邊形算出小數(shù)后20位，才打破了卡西保持一百多年的記錄． 值得注意的是，這里出現(xiàn)了10進小數(shù)的記數(shù)法．在伊斯蘭國家，這不是最早的．5個世紀以前，烏格利迪西(al-Uqlīdisī)已認識到小數(shù)的優(yōu)越性，并在書中使用．不過未被后人所接受(文獻［14］，p．481)．最先系統(tǒng)地介紹小數(shù)的，一般認為還是卡西．他在另一本重要著作《算術之鑰》中進一步闡述小數(shù)的理論，指出小數(shù)與60進分數(shù)互化的方法． 中國自古以來就用10進記數(shù)法，所以小數(shù)的應用也很早．劉徽注《九章算術》(公元263年)，在“少廣”章開方術下面的注中就提到小數(shù)(雖然未有現(xiàn)代的符號和名稱)，比西方早千余年．有理由猜想阿拉伯國家的10進小數(shù)是中國傳過去的(文獻[9]，p.268)． sin1°的計算 卡西在數(shù)值計算方面的另一項成果是給出sin1°的精確值，記載在他的《弦與正弦論》一書中．在他之前，艾布瓦發(fā)(Abu’l-Wafā)及伊本尤努斯(Ibn Yūnus)曾研究過這一問題，但結果不夠精確． 11世紀時，伊斯蘭數(shù)學家已知三等分角問題導致一個三次方程 ax=b＋x3． 比魯尼(al-Bīrūnī)曾利用這一類方程近似地作出正九邊形，但方法已失傳．卡西則創(chuàng)設一種求方程近似根的迭代法．設方程 有一個很小的根，忽略其3次冪，令第1近似值為 卡西的方法，用現(xiàn)代三角的術語來說，是先求出sin 72°，sin60°足夠精確的值，再利用sin12°=sin(72°-60°)及半角公式算出sin 3°，根據(jù)三倍角公式有 Sin 3°=3 sin1°-4sin31°， 記x=sin1°，則 卡西定半徑為60，使用60進記數(shù)法．在實際計算中并不是逐個求出x2，x3，…而是找到每一個的修正值．最后的結果是 1°2'49"43Ⅲ11Ⅳ14Ⅴ44Ⅵ16Ⅶ26Ⅷ17Ⅸ， 相當于半徑為1時的10進小數(shù) 0.017452406437283510 前16位數(shù)字都是準確的，最后一位數(shù)才出現(xiàn)誤差． 后來卡迪·扎達·魯米著《論sin 1°的求法》(Risāla fi抇ljayb，Treatise on the determination of sin1°)，闡述卡西的方法．魯米的孫子米林·切萊比(Mīrīm Chelebi)進一步改進其法，使計算步驟減少，可更快地求出具有要求精確度的近似值．這是中世紀代數(shù)方面最突出的成就之一．數(shù)學史家H．漢克爾(Hankel，1839—1873)評論道：“其精巧與優(yōu)美不亞于西方韋達以后的近似計算．” 《算術之鑰》 《算術之鑰》是卡西著作中篇幅最大的，它幾乎網(wǎng)羅了當時的全部數(shù)學知識，堪稱一部初等數(shù)學大全．它除了滿足一般學生的需要外，對于從事實際工作的讀者，如天文學家、測量員、建筑師、商人等也有幫助．其內容包括算術、代數(shù)與幾何．書名的本身就表明作者把算術看作解決一切問題的鑰匙，只要這問題能化作計算．卡西給算術下的定義是：“一種科學，它可以借助已知量去尋求未知量的數(shù)值”．此書表達清晰，結構精良，方法實用，故深受讀者歡迎，被用作手冊傳誦數(shù)百年之久． 《算術之鑰》共分5卷，內容分別是：卷1，整數(shù)的算術；卷2，分數(shù)的算術；卷3，天文學家的計算法；卷4，平面與立體圖形的度量；卷5，用代數(shù)方法及雙試位法解題． 在第1卷中卡西詳細介紹了整數(shù)開方的一般方法．根的整數(shù)部分用類似秦九韶法[西方稱魯菲尼(Ruffini)-霍納(Horner)法]來求得．如果是不盡根， 分數(shù)部分按公式 求出其近似值． 在書中卡西沒有使用符號和公式，一切計算都是用文字敘述的．在闡明開方法的同時，還作出二項式系數(shù)的表，即帕斯卡三角形(或賈憲三角形)，寫到(a+b)n展開式n=9時的系數(shù)．在卡西之前，阿拉伯國家已有不止一個人造過這個三角形，如凱拉吉(al－Karajī)、奧馬海亞姆(Omar Khayyam)、納西爾丁(Nasīrad－Dīn al－Tūsī)等．不過都沒有留傳下來． 這一卷第5節(jié)還舉出一個開5次方的實例：求 N=44240899506197 的5次方根．根的整數(shù)部分是a=536，以此作第1近似值．第2近似值按下式來計算： 分母是用二項展開式來算的．最后結果是 第2，3卷闡述了10進分數(shù)(小數(shù))，建立了一套和60進制并列的運算法則，兩者可以互換．不懂天文學60進制的人也容易掌握小數(shù)方法，因此很快傳播開來，對伊斯蘭國家及歐洲都產生了深遠的影響．卡西詳細敘述了有限小數(shù)，但未涉及循環(huán)小數(shù)．他創(chuàng)用特殊的小數(shù)記號，有時用一豎來分隔整數(shù)與小數(shù)部分，有時又用不同的顏色來區(qū)別． 第4卷是幾何學，討論了各種平面及立體圖形的定義、性質及量度方法． 第5卷很重要，它給出一次到四次方程的解法．11—12世紀時，奧馬海亞姆曾用圓錐曲線去解3次方程．4次方程在卡西之前只是偶然出現(xiàn)過，而卡西則全面地加以分類研究．有時他還用“雙試位法”來解． 13—14世紀，中亞細亞地區(qū)和中國交往頻繁．成吉思汗之孫旭烈兀(Hulagu，1219—1265) 1256年進攻伊朗高原， 1258年占領巴格達，建立伊兒汗國．他從中國帶了一些學者到伊朗去，在他的宮廷中和當?shù)氐膶W者一起從事研究工作．在這之前，文化已有零星的交流．因此阿拉伯的天文學家頗知中國的學術．10進記數(shù)法、整數(shù)的開方、高次方程的數(shù)值解法以及賈憲三角形等等都是中國數(shù)學的精華．卡西《算術之鑰》的許多內容和中國算法如出一轍，受到中國的影響是可以肯定的．當然不排除卡西本人的創(chuàng)造發(fā)明． 天文歷法著作 早在1407年，卡西就寫成《天的階梯》(The stairway of heaven)，論述天體的距離與大?。钟?416年寫成《觀象儀器》(Treatise on… observational instruments)，介紹了包括渾儀(armillary sphere)在內的8種天文儀器的溝造，其中有些是卡西的獨創(chuàng)．他還修訂了納西爾丁領導下制定的《伊兒汗歷》(Ilkhānī Zīj)，寫成《修正的伊兒汗歷》(Khāqānī Zīj)．在緒論中，他詳細描述了平均月球運動及近點月(anomalistic)運動，這是以他三次在卡尚的月食觀測以及在托勒密《天文學大成》中的三次月食記載為依據(jù)的．這本歷法羅列了各種歷法：伊斯蘭教的陰歷，波斯的陽歷，希臘-敘利亞歷，奧馬海亞姆改良的陽歷，中國-維吾爾歷，最后是伊兒汗歷．書中載有60進每隔l′的4位正弦和正切表．還有黃道坐標與赤道坐標互化的表，以及有關日、月、行星、恒星的好幾種表．地理方面，給出516個點的經緯度． 卡西還發(fā)明一種“天象盤”(plate of heavens)，形狀像“星盤”(astrolabe)，可以確定行星的黃經、黃緯、留(station)、逆行(retrogradation)以及到地球的距離等，記在《天象盤構造方法》(Nuzha al－h(huán)adāiq…，On the method of construction of theinstrument called plate of heavens，1416)中． |
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來自： l1hf > 《數(shù)學家》
