|
0.999……等于1么？
無限循環(huán)數(shù)如何相加才能得到一個有限數(shù)的和？ 這是芝諾悖論后又一個困擾著諸多數(shù)學(xué)家們的難題。在芝諾悖論中，一個人如果要過街，他首先走完總程的1/2，接著走完剩下1/2的1/2，以此類推，無窮盡也。幾個月前有一個視頻認(rèn)為： 1 + 2 + 3 + ….的和為-1/12，一時間被瘋狂轉(zhuǎn)載，網(wǎng)絡(luò)上頓時掀起熱烈討論。
不過說到無窮數(shù)謎，大多數(shù)人第一次遇到的就是：0.999……無限重復(fù)下去，最后會等于1么？ 從魔獸世界游戲中的留言板到安·德蘭論壇，大家對這個問題的爭論非?；鸨?。對于芝諾悖論，大多數(shù)人都覺得題中人最后會到達(dá)街對過?？赏瑯拥那樾畏诺窖h(huán)小數(shù)里，直覺就會告訴你0.999……怎么也不會等于1啊。光是看就知道0.999……比1小，但是差的卻不多……大家都認(rèn)為0.999……這個數(shù)只是不斷接近目標(biāo)，卻永遠(yuǎn)也不會達(dá)到。 不過，他們的老師(包括我在內(nèi))，會說：錯，0.999……就是1。 想要說服人們站到我這邊，我就要用下面的方法： 眾所周知， 0.33333……=1/3 兩邊同時乘以3得到0.999… = 3 / 3 = 1 如果這還不足以讓你動搖，試試把0.999…乘上10，也就是將小數(shù)點(diǎn)向右挪了一位，所以我們得到了 10 x (0.999…) = 9.999… 現(xiàn)在把兩邊的煩人小數(shù)都去掉，我們在等式兩邊同時減去0.999…… 10 x (0.999…) - 1 x (0.999…) = 9.999… - 0.999….. 得到了9 x (0.999…) = 9. 什么數(shù)乘以9會等于9？自然是1。 對于大部分人，這種證明方法就足夠了。但是老實(shí)說，這套證明體系缺了點(diǎn)什么，也沒有真正解決0.999……=1的不確定。事實(shí)上這種手段只是用了些代數(shù)上的小把戲，你不會真的以為1/3=0.333……吧？ 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …? 省略號在這里的意思是相加過程會永遠(yuǎn)持續(xù)下去，每次相加的數(shù)字大小都是上一次的兩倍。這么大的和毋庸置疑應(yīng)該是無窮大了。但是你試試乘以2，會發(fā)生什么？ 2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ….) = 2 + 4 + 8 + 16 + … 好像和原來的和差不多，只是(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)前面多了個1，所以(2 + 4 + 8 + 16 + …)比(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)小1，換句話說： 2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) - 1 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1 相減得到： 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1 將越來越大的數(shù)字相加無限次，結(jié)果卻等于-1？ 更瘋狂了來了，求下列無窮和： 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … 有人會這樣理解： (1-1) + (1-1) + (1-1) + … = 0 + 0 + 0 + … 除了上面這種和為0的觀點(diǎn)，還有一種理念認(rèn)為應(yīng)該這樣看待算式： 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - … = 1 – 0 – 0 – 0 … 結(jié)果和為1，到底是0還是1？還是“一半時間是0，一半時間是1？”最后的值是多少取決于你停在那里，但是無窮和是不會停的！ 先不要著急下結(jié)論，我們先假設(shè)T是這個神秘的和： T = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … 兩邊同時取負(fù) -T = -1 + 1 - 1 + 1 - … 我們注意到右邊剛好是T-1，也就是說： -T = -1 + 1 - 1 + 1 - … = T - 1 所以 -T = T - 1,這個方程只有當(dāng)T=1/2時才有解。一個由許多整數(shù)相加的無窮和到最后竟然神奇地出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)解？ 你是不是還是覺得沒有道理？但是包括意大利數(shù)學(xué)家格蘭迪在內(nèi)的一些人表示1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …最后會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)解，許多時候，人們將1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …稱為格蘭迪級數(shù)。在1703年發(fā)表的一份文章中，格蘭迪認(rèn)為這個發(fā)散級數(shù)的和應(yīng)為1/2，這個不可思議的結(jié)論也代表了宇宙從無到有的造物過程，許多當(dāng)時的著名數(shù)學(xué)家，包括萊布尼茨和歐拉都贊同格蘭迪的計算，不過不包括他的證明過程。 實(shí)際上，0.999……之謎的答案還需要更深入的探索。你無須勉強(qiáng)同意我的代數(shù)解法，你完全可以堅(jiān)持認(rèn)為0.999…不等于1，而等于1減去一個無窮小的數(shù)。既然說到這里，0.333……同樣不等于1/3，同樣差無窮小的那么一點(diǎn)點(diǎn)。要證明這點(diǎn)需要一點(diǎn)力氣，不過也不是做不到。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，非標(biāo)準(zhǔn)分析這門學(xué)科就是專門研究這種數(shù)字問題的。非標(biāo)準(zhǔn)分析理論由亞伯拉罕·羅賓遜在20世紀(jì)中期創(chuàng)立，也正是非標(biāo)準(zhǔn)分析的出現(xiàn)，人們才終于搞清楚了無窮數(shù)的概念。要研究無窮數(shù)，你不僅要研究無窮小數(shù)，還要研究無窮大數(shù)。 好吧，回到我們的問題上來，0.999… 到底是什么？是1么？還是比1小無窮小的數(shù)？ 現(xiàn)在揭曉正確答案：0.999……可以表達(dá)為： 這又是什么意思？其實(shí)看著讓人厭煩的省略號才是真正的問題所在。如果我們有100堆東西，我們還是可以數(shù)得出具體數(shù)量。但是無窮多我們要怎么辦？問題變得不一樣了。真實(shí)世界絕不可能出現(xiàn)無窮多的“堆”。那么無窮和的數(shù)學(xué)值又是什么？答案是——除非我們給于一個值，否則不存在這樣一個值。法國數(shù)學(xué)家柯西提出了這個偉大創(chuàng)新理念，他在19世紀(jì)20年代將極限這個概念引入了微積分。 偉大數(shù)學(xué)家哈代在《發(fā)散級數(shù)》一書中很好的解釋了這個問題：
隨著你0.9 + 0.09 + 0.009 + …不斷相加下去，最后的值會越來越接近1。最后這個無窮和會隨著無窮的相加，最終到達(dá)1，并且永遠(yuǎn)留在1的位置。哈代則認(rèn)為，這個無窮數(shù)應(yīng)該被簡單地定義為1，他也花了一番功夫證明這樣定義不會造成其它地方出現(xiàn)什么大矛盾。 對于格蘭迪級數(shù)1 - 1 + 1 - 1 + …，柯西的理論不管用了。用Lindsay Lohan的名言說就是：極限不存在！ 崇尚柯西解法的挪威數(shù)學(xué)家Niels Henrik Abel在1828年寫道：“發(fā)散級數(shù)是惡魔發(fā)明出的東西， 任何基于發(fā)散級數(shù)的證明都是自取其辱。”而哈代的觀點(diǎn)(也是我們今天的觀點(diǎn))更為寬容。對于某些發(fā)散級數(shù)，我們可以賦值，對于另一些發(fā)散級數(shù)，我們則不應(yīng)該賦值?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)家會說如果要對格蘭迪級數(shù)賦予一個值，那么就應(yīng)該是1/2，因?yàn)樵谒嘘P(guān)于無窮和的理論中，但凡能夠引起一些注意的，要么認(rèn)為這個級數(shù)的值為1/2，要么像柯西一樣拒絕賦值。1+2+3+4……這個級數(shù)的情況也很相似，這是一個發(fā)散級數(shù)，柯西會說這個級數(shù)沒有值。但是如果真的要給這個級數(shù)一個值的話，-1/12可能是最好的選擇。 0.999…這個問題之所以能引起如此大的爭論，因?yàn)樗c我們的直覺不符。我們希望任何一個無窮級數(shù)都恰好能夠符合運(yùn)算操作，所以好像0.999……需要等于1。另一方面，我們希望每個數(shù)字都有一串唯一的小數(shù)位數(shù)表示，這就與同樣一個數(shù)既可以用1表示，也可以用0.999…表示相矛盾。兩種愿望無法共存，所以必須舍棄其中一個?？挛饔锚?dú)一無二的十進(jìn)制展開打開了一扇解決這個問題的窗戶，在提出后的2個世紀(jì)里，這種解法的價值得到了充分證明。 雖然英語有時候使用兩種不同字母串(例如，兩個單詞)來表示世界中一樣相同東西的兩種同義詞，但是我們并沒有因此產(chǎn)生任何困擾。同樣的，兩種不同的數(shù)字串表示同一個數(shù)字也不是什么天塌下來的事情。 0.999……等于1么？沒錯，0.999……確實(shí)等于1。前提是我們大家一致同意這個不斷重復(fù)的無窮小數(shù)的意思就是1。 |
|
|
來自： 書香居人 > 《科學(xué)探索》
