負 數(shù)

中國人同樣毫不費力就得到了負數(shù)的概念。前面已經(jīng)說過，大概早在西漢時期（公元前二世紀），他們就已用赤籌表示正系數(shù)，用黑籌表示負系數(shù)。加外一種方法是用三角形截面的算籌表示正數(shù)，矩形截面的算籌表示負數(shù)。宋代代數(shù)學家是熟悉這種正負號的法則的。例如1299年的《算學啟蒙》就敘述過。當然，丟番都（275年）曾把具有負數(shù)解的方程說成是“荒唐的東西”，中國人同樣也不考慮負解。在歐洲，第一部圓滿論述負數(shù)的著作是1545年卡但（Jerome Cardan）的《大法》（Ars Magna）。宋代的代數(shù)學家用兩種方法表示負數(shù)：一種是把它們寫成或印成黑色，以別于赤色的正數(shù)；另一種是在負數(shù)的最右一位數(shù)字上打一斜杠，這種做法也許來源于劉徽注中所說的用斜放的籌碼表示負數(shù)的古法。中國人對于求負數(shù)的平方根的問題似乎未曾留意過，雖然印度人（如大雄和巴斯卡拉）已覺察到這個問題。不過，復數(shù)和虛數(shù)的意義，在文藝復興以膠，更確切地說即在十七世紀末以前，在歐洲也確實并末被人們所理解。

自從公元前4世紀，中國數(shù)學家就已經(jīng)了解負數(shù)和零的概念了。公元1世紀的《九章算術》說“正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之?！保ㄟ@段話的大意是“減法：遇到同符號數(shù)字應相減其數(shù)值，遇到異符號數(shù)字應相加其數(shù)值，零減正數(shù)的差是負數(shù)，零減負數(shù)的差是正數(shù)?！保┮陨衔淖掷锏摹盁o入”通常被數(shù)學歷史家認為是零的概念。《維基百科》

虛 數(shù)

物理學家戴森（1923-  ）所斷言的“物理學家用數(shù)學材料來建構理論”如果說通過實驗與觀察來控制的想象力是物理學家不可缺少的工具，那么，大多數(shù)情形中這種想象力在其中發(fā)揮作用的框架就是數(shù)學。關于一個純數(shù)學概念變得對科學極為有用的例子，是數(shù)學系統(tǒng)擴充為包括“虛”數(shù)  及它的倍數(shù)的情形，這種數(shù)最初是16世紀在解代數(shù)方程的過程中作為“不可能的”量出現(xiàn)的。（比如，方程χ²+1＝0的解是χ＝±1。在發(fā)明虛數(shù)以前，這個方程認為無解。）佛蘭芒數(shù)學家吉拉德（1590-1633）最先明確地將這類方程的解看成是可以接受的解。我們今天稱之為“虛”數(shù)的名稱，是哲學家兼數(shù)學家笛卡爾（1590-1633）取的。然而，是通過“數(shù)學王子”高斯（1777-1855）的努力，才使得它們完全被人們重視。（即使是作為代數(shù)方程之解的負數(shù)的概念，也是到15世紀才出現(xiàn)的，而且一開始也難以為人們所接受。）由“實”數(shù)與“虛”之和構成的數(shù)，如3+5i，現(xiàn)在被稱為“復數(shù)”；在“復數(shù)”3+5i中，3被稱作“實”部，5是“虛”部。

雖然虛數(shù)概念出現(xiàn)于代數(shù)學中，但它已經(jīng)成為其他數(shù)學分支的一個不可缺少的部分，而且在許多科學領域中也逐漸被認為是一個很有用的概念。20世紀20年代量子力學的誕生，顯示了這一概論強大的生命力；復數(shù)系統(tǒng)是該理論的一個基本組成部分，沒有它們量子理論的表述將是難以想象的。

《探求萬物之理——混沌、夸克與拉普拉斯妖》羅杰·G·牛頓 著 李香蓮 譯

 上海科技教育出版社  2008年8月第1版

進位制/位置計數(shù)法

進位制/位置計數(shù)法是一種記數(shù)方式，故亦稱進位記數(shù)法/位值計數(shù)法，可以用有限的數(shù)字符號代表所有的數(shù)值?？墒褂脭?shù)字符號的數(shù)目稱為基數(shù)或底數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制。現(xiàn)在最常用的是十進進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù)。

對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進靈數(shù)57，可以用二進制表示為111001，也可以用五進制表示為212，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

在10進位的位置計數(shù)法中有10個數(shù)字(0 - 9)，數(shù)字

. 

在16進位的位置計數(shù)法中有16個數(shù)字(0–9 和 A–F)，數(shù)字

(這里用單一的字符B表示數(shù)字11)

全序關系

全序關系、即在數(shù)學中，集合 X 上的全序、線性序、簡單序，或(非嚴格)排序是在 X 上的反對稱的、傳遞的和完全的任何二元關系。這意味著如果我們把這種關系指示為 ≤ 則下列陳述對于 X 中的所有 a, b 和 c 成立:

如果 a ≤ b 且 b ≤ a 則 a = b (反對稱性)

如果 a ≤ b 且 b ≤ c 則 a ≤ c (傳遞性)

a ≤ b 或 b ≤ a (完全性)

配對了在其上相關的全序的集合叫做全序集合、線序集合、簡單序集合或鏈。鏈還常用來描述某個偏序的全序子集，比如在佐恩引理中。

關系的完全性性質可以如下這樣描述: 在集合中的任何一對元素在這個關系下都是相互可比較的。

注意完全性條件蘊涵了自反性，就是說，a ≤ a。因此全序也是偏序，就是說，自反的、反對稱的和傳遞的二元關系。全序也可以定義為“全部”的偏序，就是滿足“完全性”條件的偏序。

[{a∨b,a∧b}={a,b}對于所有 a, b。

我們寫 a ≤ b 當且僅當 ?？傻贸鋈蚣鲜欠峙涓?。

全序集合形成了偏序集合的范疇的全子范疇，通過是關于這些次序的映射的態(tài)射，比如，映射 f 使得如果 a ≤ b 則 f(a) ≤ f(b)。

在兩個全序集合間的關于兩個次序的雙射映射是在這個范疇內的同構。

嚴格全序

對于每個(非嚴格)全序 ≤ 都一個一個相關聯(lián)的非對稱(因此反自反)的叫做嚴格全序的關系 <，它可以等價的以兩種方式定義:

a < b 當且僅當 a ≤ b 且 a ≠ b

a < b 當且僅當 ?(b ≤ a) (就是說 < 是 ≤ 的補關系的逆關系)

性質:

關系是傳遞的: a < b 且 b < c 蘊涵 a < c。

關系是三分的: a < b, b < a 和 a = b 中精確的一個是真的。

關系是嚴格弱序，這里關聯(lián)的等價是等同性。

我們可以其他方式工作，選擇 < 為三分二元關系；則全序 ≤ 可等價的以兩種方式來定義:

a ≤ b 當且僅當 a < b 或 a = b

a ≤ b 當且僅當 ?(b < a)

還有兩個關聯(lián)的次序是補關系 ≥ 和 >，它們一起構成四元組 {<, >, ≤, ≥}。

我們可以通過這四個關系中任何一個定義或解釋集合全序的方式；符號蘊涵了我們談論的是非嚴格的還是嚴格全序。

例子：

字母表的字母按標準字典次序排序，比如 A < B < C 等等。

全序集合的任何子集，帶有在整個集合上次序的限制。

所有的兩個元素都是可比較的任何偏序集合 X (就是說，如果 a,b 是 X 的成員，則 a≤b 或 b≤a 中的一個為真或二者都是真)。

基數(shù)或序數(shù)(更強的說良序)的任何集合。

如果 X 是任何集合而 f 是從 X 到一個全序集合的單射函數(shù)，則 f 引發(fā) X 上的全序，通過設立 x1 < x2 當且僅當 f(x1) < f(x2)。

在用一個序數(shù)索引的那些全序集合的笛卡爾積的一個集合上的詞典序自身是全序。例如，按字母表排序的字的任何集合是全序的，可看做通過向字母表增加空格符號(并定義空格小于任何字母)形成的集合的可數(shù)個復件的笛卡爾積的子集。

自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集和實數(shù)集用平常的小于(<)或大于(>)關系排序都是全序的。它們都可以被證實是帶有特定性質的全序集合的唯一的(在同構內)最小實例(全序 A 是帶有特定性質的最小的，如果只要 B 有這個性質，就有從 A 到 B 的子集的一個序同構):

自然數(shù)集是最小的沒有上界的全序集合。

整數(shù)集是最小的沒有上界也沒有下界的全序集合。

有理數(shù)集是最小的沒有上界或沒有下界的全序集合，它在 (a, b) 對于所有 a < b 是非空的意義上是密集的。

實數(shù)集是最小的無界連通的全序集合。

二進制

二進制是逢2進位的進位制。0、1是基本算符?，F(xiàn)代的電子計算機技術全部采用的是二進制，因為它只使用0、1兩個數(shù)字符號，非常簡單方便，易于用電子方式實現(xiàn)。

運算規(guī)則

四則運算

加法：00＋00＝00，00＋01＝01，01＋00＝01，01＋01＝10

減法：0－0＝0，1－0＝1，1－1＝0，10－1＝1

乘法：0×0＝0，0×1＝0，1×0＝0，1×1＝1

除法：0÷1＝0，1÷1＝1

拈加法

不同進位數(shù)轉換

十進數(shù)轉成二進數(shù)

整數(shù)部分，把十進制轉成二進制一直分解至商數(shù)為1。從最底左邊數(shù)字開始讀，之后讀右邊的數(shù)字，從下讀到上。 小數(shù)部分，則用其乘2，取其整數(shù)部分的結果，再用計算后的小數(shù)部分依此重復計算，算到小數(shù)部分全為0為止，之后讀所有計算后整數(shù)部分的數(shù)字，從下讀到上。

郭書春在《古代世界數(shù)學泰斗劉徽》一書指出：“事實是，萊布尼茲先發(fā)明了二進制，后來才看到傳教士帶回的宋代學者重新編排的《周易》八卦，并發(fā)現(xiàn)八卦可以用他的二進制來解釋。”梁宗巨在《數(shù)學歷史典故》一書對這一歷史公案進行了更加詳盡的考證。                                 

附：戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年－1716年），德國哲學家、數(shù)學家。

附：另一種說法,李約瑟在《中國科學技術史· 第二卷 科學思想史》第十章附論“《易經(jīng)》和萊布尼茨的二進制算術”中對二進制的起源進行了考證。          

波粒二象性

波粒二象性（英語：Wave-particle duality）是微觀粒子的基本屬性之一。指微觀粒子有時顯示出波動性（這時粒子性不顯著），有時又顯示出粒子性（這時波動性不顯著），在不同條件下分別表現(xiàn)為波動和粒子的性質。一切微觀粒子都具有波粒二象性。

 

在經(jīng)典力學中，研究對象總是被明確區(qū)分為“純”波動和“純”粒子。前者的典型例子是光，后者則組成了我們常說的“物質”。公元1905年，愛因斯坦提出了光電效應的光量子解釋，人們開始意識到光波同時具有波和粒子的雙重性質。公元1924年，德布羅意提出“物質波”假說，認為“一切物質”和光一樣都具有波粒二象性。根據(jù)這一假說，在“一切物質”的范圍之內的電子也會具有干涉和衍射（繞射）等波動現(xiàn)象，這被后來的戴維森-革末實驗所證實。

“波”和“粒子”的數(shù)學關系

物質的粒子性由能量 E 和動量 p 刻畫，波的特征則由頻率 ν 和波長 λ 表達，這兩組物理量由普朗克常數(shù) h 所聯(lián)系。

歷 史

托馬斯·楊（Thomas Young）對光的干涉的實驗研究, 1803年.在十九世紀末，日臻成熟的原子論逐漸盛行，根據(jù)原子理論的看法，物質都是由微小的粒子——原子構成。比如原本被認為是一種流體的電，由約瑟夫·湯姆孫的陰極射線實驗證明是由被稱為電子的粒子所組成。因此，人們認為大多數(shù)的物質是由粒子所組成。而與此同時，波被認為是物質的另一種存在方式。波動論已經(jīng)被相當深入地研究，包括干涉和衍射等現(xiàn)象。由于光在托馬斯·楊的雙縫實驗中，以及夫瑯禾費衍射中所展現(xiàn)的特性，明顯地說明它是一種波動。

不過在二十世紀來臨之時，這個觀點面臨了一些挑戰(zhàn)。1905年，由阿爾伯特·愛因斯坦研究的光電效應展示了光粒子性的一面。隨后，電子衍射被預言和證實了。這又展現(xiàn)了原來被認為是粒子的電子波動性的一面。

這個波與粒子的困擾終于在二十世紀初由量子力學的建立所解決，即所謂波粒二象性。他提供了一個理論框架，使得任何物質在一定的環(huán)境下都能夠表現(xiàn)出這兩種性質。量子力學認為自然界所有的粒子，如光子、電子或是原子，都能用一個微分方程，如薛定諤方程來描述。這個方程的解即為波函數(shù)，它描述了粒子的狀態(tài)。波函數(shù)具有疊加性，即，它們能夠像波一樣互相干涉和衍射。同時，波函數(shù)也被解釋為描述粒子出現(xiàn)在特定位置的機率幅。這樣，粒子性和波動性就統(tǒng)一在同一個解釋中。

之所以在日常生活中觀察不到物體的波動性，是因為他們皆質量太大，導致德布羅意波長比可觀察的限度要小很多，因此可能發(fā)生波動性質的尺度在日常生活經(jīng)驗范圍之外。這也是為什么經(jīng)典力學能夠令人滿意地解釋“自然現(xiàn)象”。反之，對于基本粒子來說，它們的質量和尺度決定了它們的行為主要是由量子力學所描述的，因而與我們所習慣的圖景相差甚遠。

惠更斯和牛頓，早期光理論

最早的綜合光理論是由克里斯蒂安·惠更斯所發(fā)展的，他提出了一個光的波動理論，解釋了光波如何形成波前，直線傳播。該理論也能很好地解釋折射現(xiàn)象。但是，該理論在另一些方面遇見了困難。因而它很快就被艾薩克·牛頓的粒子理論所超越。牛頓認為光是由微小粒子所組成，這樣他能夠很自然地解釋反射現(xiàn)象。并且，他也能稍顯麻煩地解釋透鏡的折射現(xiàn)象，以及通過三棱鏡將陽光分解為彩虹。

由于牛頓無與倫比的學術地位，他的理論在一個多世紀內無人敢于挑戰(zhàn)，而惠更斯的理論則漸漸為人淡忘。直到十九世紀初衍射現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)，光的波動理論才重新得到承認。而光的波動性與粒子性的爭論從未平息。

費涅爾、麥克斯韋和楊

十九世紀早期由托馬斯·楊和奧古斯丁·簡·菲涅耳所演示的雙縫實驗為惠更斯的理論提供了實驗依據(jù)：這些實驗顯示，當光穿過網(wǎng)格時，可以觀察到一個干涉樣式，與水波的干涉行為十分相似。并且，通過這些樣式可以計算出光的波長。詹姆斯·克拉克·麥克斯韋在世紀末葉給出了一組方程，揭示了電磁波的性質。而方程得到的結果，電磁波的傳播速度就是光速，這使得光作為電磁波的解釋被人廣泛接受，而惠更斯的理論也得到了重新認可。

愛因斯坦和光子

1905年，愛因斯坦對光電效應提出了一個理論，解決了之前光的波動理論所無法解釋的這個實驗現(xiàn)象。他引入了光子，一個攜帶光能的量子的概念。

E=hv

在光電效應中，人們觀察到將一束光線照射在某些金屬上會在電路中產(chǎn)生一定的電流?？梢酝茢嗍枪鈱⒔饘僦械碾娮哟虺?，使得它們流動。然而，人們同時觀察到，對于某些材料，即使一束微弱的藍光也能產(chǎn)生電流，但是無論多么強的紅光都無法在其中引出電流。根據(jù)波動理論，光強對應于它所攜帶的能量，因而強光一定能提供更強的能量將電子擊出。然而事實與預期的恰巧相反。

愛因斯坦將其解釋為量子化效應：電子被光子擊出金屬，每一個光子都帶有一部分能量E，這份能量對應于光的頻率ν：

這里h是普朗克常數(shù)（6.626 x 10-34 J s）。光束的顏色決定于光子的頻率，而光強則決定于光子的數(shù)量。由于量子化效應，每個電子只能整份地接受光子的能量，因此，只有高頻率的光子（藍光，而非紅光）才有能力將電子擊出。

愛因斯坦因為他的光電效應理論獲得了1921年諾貝爾物理學獎。

德布羅意及德布羅意波

1924年，路易·德布羅意構造了德布羅意假說，聲稱所有的物質都有類波的屬性。他將這個波長λ和動量p聯(lián)系為：

這是對愛因斯坦等式的一般化，因為光子的動量為p = E / c（c為真空中的光速），而λ = c / ν。

德布羅意的方程三年后通過兩個獨立的電子散射實驗被證實于電子（具有靜止質量）身上。在阿伯丁大學，喬治·佩吉特·湯姆孫將一束電子穿過薄金屬片，并且觀察到了預期中的干涉樣式。在貝爾實驗室，克林頓·戴維森和雷斯特·革末將他們的實驗電子束穿過一個晶體。

德布羅意于1929年因為這個假設獲得了諾貝爾物理學獎。湯姆孫和戴維森因為他們的實驗工作共享了1937年諾貝爾物理學獎。

數(shù)學歸納法

數(shù)學歸納法（Mathematical Induction，通常簡稱為MI）是一種數(shù)學證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數(shù)范圍內成立。除了自然數(shù)以外，廣義上的數(shù)學歸納法也可以用于證明一般良基結構，例如：集合論中的樹。這種廣義的數(shù)學歸納法應用于數(shù)學邏輯和計算機科學領域，稱作結構歸納法。

雖然數(shù)學歸納法名字中有“歸納”，但是數(shù)學歸納法并不是不嚴謹?shù)臍w納推理法，它是屬于完全嚴謹?shù)难堇[推理法。

附：[演繹定理]在數(shù)理邏輯中，演繹定理聲稱如果公式 F 演繹自 E，則蘊涵 E → F 是可證明的(就是或它可以自空集推導出來)。用符號表示，如果E ├ F ，則├ E → F。

演繹定理是元定理: 在給定的理論中使用它來演繹證明，但它不是這個理論自身的一個定理。

[演繹推理]在傳統(tǒng)的亞里士多德邏輯中，演繹推理(英語：deductive reasoning）是“結論，可從叫做前提的已知事實，“必然的”得出的推理”。如果前提為真，則結論必然為真。這區(qū)別于溯因推理和歸納推理，它們的前提可以預測出高概率的結論，但是不確保結論為真。

“演繹推理”還可以定義為結論在普遍性上不大于前提的推理，或“結論在確定性上，同前提一樣”的推理。

場線（磁力線）

場線是由矢量場和初始點設定的軌跡。在空間里，矢量場在每一個位置，都設定了一個方向。只要按照矢量場在每一個位置所指的方向來追蹤路徑，就可以素描出正確的場線。更精確地說，場線在每一個位置的切線必須平行于矢量場在那一個位置的方向。

在空間內，由于，伴隨著每一個點的矢量，組合起來，構成了矢量場，場線可以說是一個專為矢量場精心打造的顯像工具，能夠清楚地顯示出矢量場在每一個位置的方向。假若矢量場描述的是一個速度場，則場線跟隨的是流體的流線。在磁鐵的四周灑散鐵粉，可以清楚地顯示出磁場的磁場線。靜電荷的場線稱為電場線，從正電荷往外擴散，朝著負電荷聚集。

對于一個矢量場，假若我們能夠完整地描述其所有的場線，那么，這矢量場在每一個位置的方向已完全地被設定了。為了同時表示出矢量場的大小值，我們必須控制場線的數(shù)量，促使場線在任意位置的密度等于矢量場在那位置的大小值。

場線的圖案能夠用來表達某些重要的矢量微積分概念。場線從某一個區(qū)域的往外擴散或往內聚斂可以表達散度。場線的螺旋圖案可以表達旋度。

雖然大多數(shù)時候，場線只是一個數(shù)學建構，在某些狀況，場線具有實際的物理意義。例如，在等離子體物理學里，處于同一條場線的電子或離子會強烈地相互作用；而處于不同場線的粒子，通常不會相互作用。

     

封閉系統(tǒng)

在熱力學之中，封閉系統(tǒng)是指一個只與外界交換能量（作功或熱量）而不交換質量的系統(tǒng)。假如一個只擁有一種粒子（原子或分子）的系統(tǒng)進行化學反應時，過程中所有種類的粒子都可以被生成或破壞。但是，封閉系統(tǒng)內的元素原子數(shù)目將會守恒。

在量子力學中，封閉系統(tǒng)等同于孤立系統(tǒng)。而只與外界交換能量的系統(tǒng)會被視為開放系統(tǒng)。

孤立系統(tǒng)：系統(tǒng)完全不與外界交換能量或質量。

開放系統(tǒng)：系統(tǒng)與外界交換能量與質量。

鏡像世界

現(xiàn)實世界中發(fā)生的每件事情，在某個特定的鏡像世界中都有著與其對應的東西，且以我們的經(jīng)驗并行的方式而存在。但這種鏡像是一種反射，即原來的東西的一種變換。在一塊鏡子中，這種變換是左右反演的形式，看著鏡子，會發(fā)現(xiàn)一個左右反演的三維像在鏡子遠端“活靈活現(xiàn)”。而我們知道這并不是真的。在這種鏡子中的像不是實在的。與阿麗思（卡羅爾小說《阿麗思鏡中奇遇記》中主人公）不同，我們不能那么輕而易舉地滑進玻璃屏障。而其他鏡子能提供更確實的反射。另一類反演是黑白照相底片，其中光照之處變暗，反之明亮。底片是個真正的鏡像，在物體和像之間是一一對應的?？墒?，如果下片和負片疊合在一起，兩種像就會彼此抵消，所有的信息就會丟失。

有許多其他鏡子，真實的和隱喻的，都是通過對應物的純粹對照來給出反射的深度。在我們這個紛亂的世界中，我們視野所及似乎常常是由一些相互間大相徑庭的事物所表征的——晝和夜、夏和冬即是這樣。這些懸殊的東西可以彼此看作鏡像。而與實時反射的鏡子不同的是，這些懸殊的東西可以出現(xiàn)在不同的時間的不同的地點。白天總是跟隨夜晚，一個不眠之夜的不適不久就會被遺忘。夏天總是跟隨冬天，而時間尺度卻不相同……像卡羅爾這種隨意杜撰的故事是引人入勝的，因為它們是現(xiàn)實世界的伴你。在現(xiàn)實世界的鏡像中，感覺和邏輯可以顛倒過來，事情會變得新奇陌生。對阿麗思的鏡子，鏡面反演把左變成右，把右變成左。左和右是由旋轉的思想緊密地聯(lián)系起來的——鏡子中一個向右旋轉（即順時針方向）反映真實的逆進針方向的一個旋轉。實際上，鏡子中的像看碟起來是“錯的”，因為我們大腦把它解釋為一個180°的旋轉，如果我用右手拿一個物體，在鏡像中看起來卻是左手拿著該物體。而如果我們直到鏡子后面并面對來時的方向，這個物體仍牢牢地拿在右手中，從鏡子中看時，一只釧會很不相同，盡管它是逆時針方向走動的，卻持準確的時間。通過左右鏡像反射，時間依然不變。

《反物質-——世界的終極鏡像· 第二章》戈登·弗雷德著 江向東 黃艷華譯 上?？平坛霭嫔?span lang="EN-US"> 2002年12月第一版