楊正家老師《數(shù)學思想方法基礎探究》講座（1）

我心飛揚695 2015-08-28

展開全文

?數(shù)學的概念、定義、定理等等都包含著數(shù)學的思想方法，數(shù)學學習在很大程度上就是思想方法的學習,是思考的學習。

我們的課程，就是對數(shù)學思想方法中一些問題展開分析思考，糾正一些思維的偏差，加強一些思維的深度，拓寬一些思維的聯(lián)系，通過這門課程的學習，希望能夠有助數(shù)學教師于更加透徹理解教材和課程標準，更加透徹理解數(shù)學本身的規(guī)律，進一步有助于數(shù)學教學的改進。

我們的課程形式是以問題的形式來顯示，沒有系統(tǒng)性。但是我非常希望有啟發(fā)性，通過我們課程里面的一些問題的思考、改進，啟發(fā)大家進一步思考，發(fā)現(xiàn)問題，深入研究，提高認識。改進教學——楊正家老師寄語

問題一、比和除是一回事嗎

a∶b和a÷b是同一回事嗎？

我們把除號（÷）拆成一橫（-）和兩個點（∶），所以，除法可以寫成分數(shù)線和比，這就是除的三種不同形式的表示，即a÷b=a∶b=b/a。

但是，有人提出a∶b∶c 是否等同于a÷b÷c。這就產(chǎn)生一件麻煩事情。比如，三種金屬的質量按照1:2:4 的配比制成一種合金。那么1:2:4 的意義是什么？能進一步做怎樣的化簡？

再比如，有沒有這樣的問題，真就可以把連比當成除法來看的。更夸張的問題是，有沒有這樣的表示：a∶b÷c∶d。我們只是提出一些問題，有的時候不一定能夠解決問題。

進一步研究除號（÷）、比號（∶），分數(shù)線的發(fā)展史。詳細的發(fā)展史我們不太清楚，但是知道一些符號產(chǎn)生的背景信息。

現(xiàn)今之除號“÷”稱為雷恩記號（Rahn's notation），是瑞士人J．H．雷恩于1659年出版的一本代數(shù)書中引用為除號。至 1668 年，他這本書之英譯版面世，這記號亦得以流行，沿用至今。萊布尼茲于他的一篇論文《組合的藝術》（ Dissertatio de ArteCombinatoria）內首以比號“∶”表示除，后亦漸通用，至今仍采用。

例號“:”是由17世紀德國數(shù)學家萊布尼茲（1646－1716）所創(chuàng)立的。而這樣的比例號亦曾出現(xiàn)于1760年法國人克雷羅（1713－1765）所出版的書內。比薩的列奧納多，又稱斐波那契（Leonardo Pisano ,Fibonacci, Leonardo Bigollo，1175 年-1250 年），意大利數(shù)學家，西方第一個研究斐波那契數(shù)，并將現(xiàn)代書寫數(shù)和乘數(shù)的位值表示法系統(tǒng)引入歐洲。也是分數(shù)線的創(chuàng)始人。

比（proportion）和連比（continued proportion）。

“比”和“連比”一樣嗎？

比和連比是兩個不同的概念。從意義上看比是表示兩個數(shù)的倍數(shù)關系（或兩個數(shù)相除）。連比是兩個以上數(shù)之間的各自所占的份數(shù)比，它不是以上兩個數(shù)連除的關系。

比和連比中的“項”也是不同的：

從比值上看：比既然表示兩個數(shù)的倍數(shù)關系，當然可以求出比值來，如3∶4的比值是4/3 ；連比不是連除的意思，不可能求出商，當然也就沒有連比值。

如果把兩個比組成連比，必須使第一個比的后項等于第二個比的前項。也就是說，把兩個比組成連比，“中項”必須統(tǒng)一。中項統(tǒng)一后，由于中項數(shù)字的變化，前項與后項的數(shù)字，也要發(fā)生相應的變化。甲和乙的比是3∶4，乙和丙的比是6∶5，甲、乙、丙的連比應該是9∶12∶10。用乘法統(tǒng)一中項，然后再化簡。

連比的項不限于三項，也可能是若干項。連比的一般形式為a1∶a2∶a3∶……an ，當連比的項較多時，各項的名稱以此為例，a1叫做連比的第一項（也叫首項），a2叫連比的第二項，a3叫連比的第三項，…，an叫做連比的第n項（也叫末項）。

至此，我們可以知道，不能簡單地把比號和除號完全等同起來。

由于連比往往不能等同于除法，所以一般不能求出“比值”，所以很多老師都很看重“比”和“比值”的差別，實際也是有一定道理的。

問題二、圓周長公式的推導方法合適嗎？

教材是這樣推導圓的周長公式的。

取幾個不同的圓，用尺量出周長和直徑，相除后猜想比值是一個常數(shù)，把這個常數(shù)規(guī)定為圓周率π，就這樣得到了圓周長公式C=πd。

數(shù)學是要講究準確的，用物理實驗來理解、解釋數(shù)學現(xiàn)象，顯然是非常粗糙的。

所以，為了求電燈泡的體積，只要放到水里泡一下就知道了，還要微積分干什么。

更何況，猜想周長與直徑的商是一個常數(shù)的思想是非常困難的事情。進一步再去探究這個常數(shù)值的時候，這個實驗已經(jīng)變得完全沒有意義了。

比如有人繼續(xù)實驗。

實驗一，用非常精致的尺去度量周長和直徑，再求商；

實驗二，用尺去多次度量周長和直徑，再求平均數(shù)的商；

實驗三，稱出周長和直徑的重量，再求商。

所有以上實驗，從應用來看有實際意義，但是從推導公式來看沒有意義。

所有這樣的實驗對于精度都是控制不了的，所以，這樣求得的商不知道可以精確到幾位有效數(shù)字，看來，實驗的方法是不可取的。但是，我們能夠采用什么方法來解決這個教學問題呢：有探究性、能控制精度、弄明白圓的周長。

如果不是用單側逼近的思想，那么還可以運用“夾逼”的方法，計算半徑為1的圓的內接正n邊形和外切正n邊形的周長“夾逼”的結果。“逼近”的趨勢不是看出來的，而是C3、C4、C5、……逐步求出來的。

了解一下π的研究歷史很有意義。我們一直說劉徽的方法，祖沖之的方法，其實我們并不清楚具體的方法是怎樣的，我們也知道，當代數(shù)學家用級數(shù)求和的方法，借助計算機可以求出圓周率小數(shù)點后面萬億位。

古希臘歐幾里得《幾何原本》（約公元前3世紀初）中提到圓周率是常數(shù)，中國古算書《周脾算經(jīng)》（約公元前2世紀）中有“徑一而周三”的記載，也認為圓周率是常數(shù)。歷史上曾采用過圓周率的多種近似值，早期大都是通過實驗而得到的結果，如古埃及紙草書（約公元前1700）中取 π=(4/3)^4≈3.1605。第一個用科學方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他在《圓的度量》（公元前3世紀）中用圓內接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到3+10/71<π<3+1/7，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法（亦稱古典方法，或阿基米德方法），得出精確到小數(shù)點后兩位的π值。

中國數(shù)學家劉徽在注釋《九章算術》（263年）時只用圓內接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確到兩位小數(shù)的π值，他的方法被后人稱為割圓術。他用割圓術一直算到圓內接正192邊形。

南北朝時代著名數(shù)學家祖沖之進一步得出精確到小數(shù)點后7位的π值（約5世紀下半葉），給出不足近似值3.1415926 和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分數(shù)值，密率113/355和約率7/22。他的輝煌成就比歐洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573 才由德國人奧托得到，1625年發(fā)表于荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。

阿拉伯數(shù)學家卡西在15世紀初求得圓周率17位精確小數(shù)值，打破祖沖之保持近千年的紀錄。

德國數(shù)學家科倫于1596年將π值算到20位小數(shù)值，后投入畢生精力，于1610年算到小數(shù)后35位數(shù)，該數(shù)值被用他的名字稱為魯?shù)婪驍?shù)。

無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種π值表達式紛紛出現(xiàn)，π值計算精度也迅速增加。1706年英國數(shù)學家梅欽計算π值突破100位小數(shù)大關。1873年另一位英國數(shù)學家尚可斯將π值計算到小數(shù)點后707位，可惜他的結果從528位起是錯的。到1948年英國的弗格森和美國的倫奇共同發(fā)表了π的808 位小數(shù)值，成為人工計算圓周率值的最高紀錄。

電子計算機的出現(xiàn)使π值計算有了突飛猛進的發(fā)展。1949年美國馬里蘭州阿伯丁的軍隊彈道研究實驗室首次用計算機（ENIAC）計算π值，一下子就算到2037位小數(shù)，突破了千位數(shù)。1989年美國哥倫比亞大學研究人員用克雷－2型6和IBM－VF型巨型電子計算機計算出π值小數(shù)點后4.8億位數(shù)，后又繼續(xù)算到小數(shù)點后10.1億位數(shù)，創(chuàng)下最新的紀錄。至今，最新紀錄是小數(shù)點后25769.8037億位。