命名與源起

“t”，是偉大的Fisher為之取的名字。Fisher最早將這一分布命名為“Student's distribution”，并以“t”為之標(biāo)記。

Student，則是William Sealy Gosset（戈塞特）的筆名。他當(dāng)年在愛爾蘭都柏林的一家酒廠工作，設(shè)計了一種后來被稱為t檢驗的方法來評價酒的質(zhì)量。因為行業(yè)機密，酒廠不允許他的工作內(nèi)容外泄，所以當(dāng)他后來將其發(fā)表到至今仍十分著名的一本雜志《Biometrika》時，就署了student的筆名。所以現(xiàn)在很多人知道student，知道t，卻不知道Gosset。（相對而言，我們常說的正態(tài)分布，在國外更多的被稱為高斯分布……高斯~泉下有知的話，說不定會打出V字手勢~歐耶?。?/p>

看懂概率密度圖

這一點對于初學(xué)者尤為重要，相信還是有不少人對正態(tài)分布或者t分布的曲線沒有確切的理解。

首先，我們看一下頻率分布直方圖，histogram：

上圖，最關(guān)鍵的就是橫軸了，柱高，即，對于橫軸上每一個點，發(fā)生的頻次。圖中橫軸為4處，次數(shù)最多，大約12次；依次類推，橫坐標(biāo)為10處，發(fā)生1次……

我們做單變量的探索性數(shù)據(jù)分析，最喜歡做柱狀圖了，或者再額外繪制一條Density曲線于其上（見下圖）。很容易就可以看出數(shù)據(jù)的分布（集中趨勢、離散趨勢），圖中，數(shù)據(jù)大多集中在4左右（均數(shù)、眾數(shù)），有一點點右偏態(tài)，但基本還是正態(tài)分布。

下圖，手繪曲線，即密度曲線，英文全稱Probability Density Function/Curve。實際上是對上面柱狀圖的一個平滑，但它的縱坐標(biāo)變?yōu)榱烁怕?/span>，區(qū)別于柱狀圖的頻次。但理解起來意義差不多。

以下，我們就用Density曲線來講解T分布的特征。

T分布的可視化

我們平常說的t分布，都是指小樣本的分布。但其實正態(tài)分布，可以算作t分布的特例。也就是說，t分布，在大小樣本中都是通用的。

之前有讀者問過：“是不是樣本量大于30或者大于50，就不能用t分布了呀”？

完全不是這樣的！t分布，大小通吃！具體且看下文分解。

相對于正態(tài)分布，t分布額外多了一個參數(shù)，自由度。自由度 = n - 1。我們先看幾個例子，主觀感受一下t分布。

= 1 ：紅色為t分布；藍(lán)色為正態(tài)分布。

= 2 ：紅色 = 2，高于 = 1 的綠色，低于正態(tài)分布。

= 3 ：紅色 = 3，高于 = 1，2 的綠色，低于正態(tài)分布。

= 10 ：紅色 = 10，高于 = 1~9的綠色，低于正態(tài)分布。

可見，隨著樣本量n / 自由度的增加，t分布越來越接近正態(tài)分布。正態(tài)分布，可以看做只是t分布的一個特例而已。

以上部分大家大概都學(xué)過的，相信大多數(shù)讀者都會了解。但這里，讓我們回到我們的標(biāo)題（不是標(biāo)題黨）：溫良寬厚。

大家仔細(xì)比較一下下圖。t分布（紅色）雖然也是鐘型曲線，但是中間較低、兩側(cè)尾巴卻很高。

這就是t分布的優(yōu)勢！這個特征相當(dāng)重要，百年來，t分布就指著這個特征活著的！

比較一下上圖兩條曲線，我用這樣一個詞，“寬厚”，來形容t分布曲線的特征。是不是比正態(tài)分布曲線更寬?。渴遣皇?span>比正態(tài)分布曲線更厚呢？

大家都說重要的事要重復(fù)三遍，我們再重復(fù)一下，樣本量越小（自由度越?。?，t分布的尾部越高。

尾部的高度，有十分重要的統(tǒng)計學(xué)意義。

我們來比較一下下圖中的兩條曲線。這兩條曲線同樣都是對圖中底部6個黑色點（數(shù)值）進行分布擬合。

我們首先看一下那條矮的、正態(tài)分布的曲線。我們前面說過，正態(tài)分布的曲線不具備“寬厚”的特征。它的尾部很低，尾部與橫軸之間高度很“狹窄”。也就是說，正態(tài)分布不能夠容忍它長長的尾部出現(xiàn)大概率的事件（圖中橫軸值為15處一圓點出現(xiàn)概率為六分之一），所以正態(tài)分布就很無奈地，將這一點納入它的胸膛而非留在尾部。于是乎，惡果就出現(xiàn)了：圖中正態(tài)分布的均數(shù)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了大多數(shù)點所在的位置，標(biāo)準(zhǔn)差也極大。總之，與我們所期待的很不一致。

再看一下那條高高的t分布曲線。我們前面說過了，t分布“溫良寬厚”，它的尾巴很高（本圖中不明顯，參見上面自由度為1,2,3時所對應(yīng)的圖片），高高的長尾讓它有“容人的雅量”。所以，這條t分布的曲線，很好的捕捉到了數(shù)據(jù)點的集中趨勢（橫坐標(biāo)：0附近）和離散趨勢（標(biāo)準(zhǔn)差：只是那條正態(tài)分布曲線標(biāo)準(zhǔn)差的四分之一）。

這也是T分布盛行的原因，即T分布被廣泛應(yīng)用于小樣本假設(shè)檢驗的原因。雖然是很小的樣本，但是，卻強大到可以輕松的排除異常值的干擾，準(zhǔn)確把握住數(shù)據(jù)的特征（集中趨勢和離散趨勢）！

準(zhǔn)確捕捉變量的集中趨勢和離散趨勢在統(tǒng)計中有極為重要的意義，幾句話難以說清，簡單舉幾個栗子：

1. 研究樣本量的估計量更小。熟悉樣本量計算的朋友也知道，標(biāo)準(zhǔn)差是樣本量計算的一個重要參數(shù)。上例中，我們t分布的標(biāo)準(zhǔn)差只是正態(tài)分布的四分之一，那么我們計算所需的樣本量也會極大的減少（只需原來的16分之一），極大地降低研究經(jīng)費和工作量！（關(guān)注“醫(yī)學(xué)統(tǒng)計分析精粹”，回復(fù)關(guān)鍵詞“樣本量”，可以看到很handy的樣本量計算工具哦?。?/p>

2. 我們縮小了標(biāo)準(zhǔn)差，熟悉假設(shè)檢驗（將在后續(xù)“看圖說話”系列文章中出現(xiàn)）的朋友也不難看出，如此，我們更容易得到一個有意義的P值！
   

3. 點估計更準(zhǔn)確。如果我們需要根據(jù)一個小樣本數(shù)據(jù)來估計學(xué)生的平均身高。那么使用正態(tài)分布來擬合，很容易就受到離群異常值的影響而得到錯誤的估計。

4. 回歸中應(yīng)用t分布，可以得到更穩(wěn)健的估計量（β值或OR值），這也是我們實現(xiàn)“穩(wěn)健回歸”的一個重要手段。
   

通過下面一幅圖，我們鞏固一下t分布的“寬厚”：

與正態(tài)分布曲線（矮胖）比較，t分布以其高高的尾部（本圖中不明顯，參見上面自由度為1,2,3時所對應(yīng)的圖片），容忍了在橫軸為9處的異常值，得到了更穩(wěn)健的集中趨勢估計值（均值1.11）和更緊湊的離散趨勢估計值（標(biāo)準(zhǔn)差差0.15，又是正態(tài)分布的四分之一）。要知道，我們?nèi)绻麊螁蜗胪ㄟ^增加樣本量來將標(biāo)準(zhǔn)誤（假設(shè)檢驗中使用的參數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差除以自由度的平方根）縮減到四分之一，需要16倍的樣本量！可見，t分布當(dāng)真是威力無窮！

PS：上述兩幅圖中的t分布曲線并不是頻率學(xué)派應(yīng)用t分布的常規(guī)套路（更像是貝葉斯學(xué)派的用法）。細(xì)心者可以發(fā)現(xiàn)，我們使用的t分布的自由度明顯低于n - 1的自由度計算方法。這里的自由度是根據(jù)最大似然法估計出來的，用以更恰當(dāng)?shù)財M合數(shù)據(jù)的分布。雖然這與我們平時的用法不同，但小編覺得，這一點點不同不僅無傷大雅，反而更有利于大家深入理解t分布的特征——溫良寬厚。

掌握了T分布溫良寬厚的特征，將會對本號后續(xù)介紹的假設(shè)檢驗和T檢驗有更深入透徹的理解，期待后續(xù)文章，記得關(guān)注小號呀！

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