拋物線弓形面積的探討

許興華數(shù)學(xué) 2016-10-26

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我是李文龍，我愛數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)使我快樂

今天我們要探討的是一道初中、高中、大學(xué)都可以研究的一個(gè)課題

拋物線y=-x2+1與x軸交于A和B，與y軸交于C，則拋物線與x軸圍成弓形的面積是（）

初中篇

初中階段的我們還不會(huì)算除了圓以外的曲線形成的面積，只能通過逼近的思想得出一個(gè)大致范圍

我們先在弓形內(nèi)部構(gòu)造出我們可以計(jì)算的最大面積的三角形，也就是下圖的△ABC

很容易算出△ABC的面積是1，顯然弓形的面積比1大

類似的，我們?cè)诠瓮獠繕?gòu)造出我們可以計(jì)算的最小面積的圖形，由于AO=BO=CO=1

因此可以考慮以O(shè)為圓心，1為半徑作半圓，如下圖，這樣半圓的面積是0.5π≈1.57

于是弓形的面積就介于1到1.57之間，如果是選擇題，而且題中給出的選項(xiàng)有且只有一個(gè)滿足我們所逼近的范圍，我們就選它。如果并不是唯一的怎么辦？我們還需要進(jìn)一步的逼近準(zhǔn)確值

我們先說在外部逼近

只畫一個(gè)圓顯然是把弓形的面積放大了許多，而除了圓我們只能計(jì)算線段圍成的面積，還要貼近于拋物線，因此我們考慮作拋物線的切線

如下圖，我們作與AC平行切和拋物線相切的直線DE。設(shè)DE：y=x+b，與拋物線聯(lián)立，令判別式△=0，可以解出b=1.25

這樣就可以算出△DEF的面積約為1.5625

如此以來我們就可以進(jìn)一步的算出弓形面積介于1和1.5625之間。比起做圓來似乎并沒有精進(jìn)很多……

究其原因是：與拋物線相切的直線有無(wú)數(shù)條，憑什么選擇與AC平行的直線來做，如果只是因?yàn)檫@樣好算，這個(gè)理由顯然不能征服小伙伴。接下來我們進(jìn)入高中篇

高中篇

與y=-x2+1相切的直線交坐標(biāo)軸于D和E，求△DOE面積最小值時(shí)的直線解析式

我們假設(shè)直線DE為y=kx+b（k≠0），因?yàn)橄嗲校c拋物線y=-x2+1聯(lián)立可得x2+kx+b-1=0，令△=0，得4b=k2+4，這樣我們就求出k和b的關(guān)系了

然后表示出△DOE的面積

將b替換掉，可列出一個(gè)關(guān)于k的一元代數(shù)式

化簡(jiǎn)可得：

接下來我們單獨(dú)研究

要求M的最值，我們首先對(duì)M求導(dǎo)

令M’=0

通過單調(diào)性分析可知，當(dāng)

時(shí)所求面積最小，也就是我們所求的直線是

這條直線不僅與拋物線相切，而且是所有切線中與坐標(biāo)軸圍成的面積最小，再回歸到文章開頭的那個(gè)問題，不難計(jì)算出下圖的△DEF的面積約等于1.5396

這樣我們就更進(jìn)一步的逼近了我們要求的面積的上界，這個(gè)弓形的面積是在1到1.5396之間

糾結(jié)了這么長(zhǎng)時(shí)間，我們一直在圍繞著上界做文章，那我們能不能再精確一下取值范圍的下界呢？那就要從內(nèi)部的△ABC的面積入手

如下圖，我們算出△ABC面積之后，可以在拋物線上任取一點(diǎn)D，再算△ADC的面積，這樣△ABC和△ADC總的面積就會(huì)更逼近弓形面積，只要你有這個(gè)時(shí)間，你就可以無(wú)限的取三角形，從而無(wú)限的逼近最終的答案

這樣的方法就是窮竭法，熟知數(shù)學(xué)史的朋友們應(yīng)該知道劉徽的割圓術(shù)就是這個(gè)原理，而早在在公元前200多年，阿基米德就用他拿手的窮竭法用一系列三角形的和去逼近拋物線弓形的面積，這些三角形面積構(gòu)成一個(gè)公比為1/4的等比數(shù)列，最后阿基米德用間接法論證了拋物線的面積就等于第一個(gè)三角形面積的4/3倍：這第一個(gè)三角形是以弓形的弦的兩端為兩個(gè)頂點(diǎn)，過弦的中點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的平行線，平行線和拋物線的交點(diǎn)就是第三個(gè)頂點(diǎn)

重要結(jié)論：如下圖，任意拋物線，C是頂點(diǎn)，AB是垂直于對(duì)稱軸的弦，則要無(wú)限與AB圍成弓形的面積就是△ABC面積的4/3倍。

那么我們回歸到本文開頭的題目，答案就出來了，就是4/3≈1.33

可看得出來，我們張牙舞爪的算了半天，離我們的預(yù)期值還是差了16%的誤差，還是差的比較多的。

因此阿基米德的證明方法簡(jiǎn)直就是窮竭法的典范，這為后來微積分的發(fā)現(xiàn)提供了必要條件，要知道微積分是在1700年左右由牛頓和萊布尼茨共同發(fā)明的。與阿基米德整整差了將近兩個(gè)世紀(jì)！這里膜拜阿基米德一波，不愧是數(shù)學(xué)之神！

如果不用微積計(jì)算，即使在20世紀(jì)，解答弓形問題也不容易，即使給出提示以后，這個(gè)窮竭法的計(jì)算弓形的題也是一道很難的題目，這個(gè)題目曾經(jīng)作為1965年我國(guó)的高考數(shù)學(xué)的壓軸題。

最后附上用微積分的證明過程

因?yàn)閽佄锞€平移的過程開口不變，因此我們將拋物線平移至原點(diǎn)處

大學(xué)篇

如圖y=ax2和y=m交于AB兩點(diǎn)，證明AB與拋物線圍成的弓形面積是△AOB面積的4/3倍

通過我們以上的學(xué)習(xí)，相信不同年級(jí)的同學(xué)會(huì)有不同的收獲

初中生學(xué)會(huì)了：逼近思想，拋物線切線求法

高中生學(xué)會(huì)了：利用導(dǎo)數(shù)求最值

大學(xué)生學(xué)會(huì)了：利用積分計(jì)算面積

而且所有人都記住了一個(gè)結(jié)論，就是4/3倍的關(guān)系。以后再遇到類似的題目相信大家會(huì)做的游刃有余。

公眾號(hào)ID：enjoymath

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