數(shù)學(xué)分析主要始于對(duì)無窮、數(shù)學(xué)序列的研究，而由于力學(xué)對(duì)運(yùn)動(dòng)物體的研究的需求，又極大地促進(jìn)了微積分的發(fā)展。但與無窮序列有關(guān)的想法極為古老，例如阿基米德時(shí)期產(chǎn)生了無窮序列的直觀想法、找出極限情況等分析萌芽。

幾何靈感

拋物線弓形區(qū)域的面積是阿基米德最優(yōu)美的成果之一。所謂“拋物線弓形區(qū)域”，就是在拋物線上任取不同的兩點(diǎn)，然后連接作為弦，那么該弦與拋物線將圍成的便一個(gè)弓形區(qū)域。關(guān)于該該弓形區(qū)域的面積計(jì)算，阿基米德是這樣考慮的：

首先，過弦的中點(diǎn)，作一條與拋物線對(duì)稱軸平行的直線，該直線與拋物線的交點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)確定一個(gè)三角形。如果該三角形的面積為S，明顯地三角形內(nèi)接于拋物線，弓形面積一定大于S。

其次，因?yàn)橛袃蓚€(gè)小弓形未被三角形覆蓋，阿基米德用同樣的方法，在小弓形中分別加了兩個(gè)小三角形，而且巧妙地證明，兩個(gè)小三角形的面積之和必定為。

此時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生四個(gè)更小的弓形，繼續(xù)上面的過程，阿基米德又加了4個(gè)小三角形，其面積和為。另外，阿基米德清楚地證明：不斷地添加越來越小的三角形時(shí)，每次新添加的小三角形的總面積都是前面的總面積的。

精確計(jì)算

在19世紀(jì)之前，曲線之下的面積一直被認(rèn)為是個(gè)確定的值。而阿基米德計(jì)算出了拋物線開口朝下時(shí)，所確定的數(shù)值，即拋物線弓形面積。但絕非任意曲線下都有一個(gè)明確的面積，在卡爾·弗里德里?！じ咚沟臅r(shí)代之前，數(shù)學(xué)家只研究了其下具有明確面積的曲線?；蛟S是因?yàn)槠涮^直觀，數(shù)學(xué)家在使用無窮序列計(jì)算面積時(shí)，很少有懷疑。

就像阿基米德，計(jì)算拋物線弓形面積，其幾何的直覺足以讓人相信

定義了一個(gè)確定的數(shù)值。而對(duì)這一數(shù)值的計(jì)算，可采用如下的方法：因?yàn)?/p>

所以

兩個(gè)等式相減，可得3x=4，于是。

阿基米德得到

但對(duì)于建立在無窮序列思想上的任何結(jié)果，他總是小心翼翼。所以，阿基米德用窮舉法論證了答案的可靠性。盡管阿基米德的證明沒有依賴無窮序列，但把一個(gè)圖形切割成越來越小的圖形的思想，是千真萬確的，這在阿基米德的著作《方法論》中有詳細(xì)的解釋。

杠桿原理

關(guān)于拋物線弓形面積計(jì)算，阿基米德還給出了另外的一種方法，阿基米德說過“給我一個(gè)支點(diǎn)，我能撬起整個(gè)地球”，你能想到，阿基米德用“杠桿原理”計(jì)算了拋物線弓形面積嗎？請(qǐng)參考專欄《大師啟示錄》。

專欄

數(shù)學(xué)大師啟示錄