 段廣猛：江蘇宿遷人，現(xiàn)任教于高郵市贊化學(xué)校，已在《中國(guó)數(shù)學(xué)教育》等雜志發(fā)表多篇論文，喜愛(ài)寫(xiě)作，愿與各位同仁分享、交流。 旋轉(zhuǎn)那些事 在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)，按某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)。  例1 如圖，∠BAD=∠C=90°，AE⊥BC，E為BC上的一點(diǎn),且AB=AD，AE=5．求四邊形ABCD的面積 思路：條件DA=DC，為“旋轉(zhuǎn)”奠定了基礎(chǔ)，將線(xiàn)段AB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，四邊形ADCB可轉(zhuǎn)化為正方形，即可解決問(wèn)題 解法：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，得△ADE≌△CDF，通過(guò)添加輔助線(xiàn)達(dá)到了“旋轉(zhuǎn)”的目的  “旋轉(zhuǎn)一拖二” 如左圖，等腰△ABC繞著點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度至△AB`C`位置，易知△ABC≌△AB`C`（即旋轉(zhuǎn)后的圖形與旋轉(zhuǎn)前的圖形全等）；如右圖，若連接BB`、CC`，易證明△ABB`≌△ACC`（SAS）  這就是傳說(shuō)中的“旋轉(zhuǎn)一拖二”，即等腰三角形旋轉(zhuǎn)之后會(huì)有兩個(gè)全等三角形，尤其是第二個(gè)全等往往是解題的關(guān)鍵．值得注意的是，結(jié)合“8字形”，可以進(jìn)一步證明∠BDC=∠BAC 特例（1）共頂點(diǎn)的雙等邊三角形模型 如圖，△ABC和△AB`C`都是等邊三角形（AB繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至AC位置、AB`繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)60°至AC`位置，易知△ABB`≌△ACC`（SAS）  特例（2）共頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型 △ABC和△AB`C`都是等腰直角三角形（AB繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AC位置、AB`繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)90°至AC`位置），易知△ABB`≌△ACC`（SAS）  例2 如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)P是弧BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）， 求證：PA=PB+PC．  解法一（截長(zhǎng)） 如左圖，在PA上截取PQ=PB， 易證∠BPA=∠CPA=60°， 這樣△PBQ為等邊三角形，由“共頂點(diǎn)雙等邊三角形模型”易證△ABQ≌△CBP(SAS)，故PC=QA， 所以PA=PQ+QA=PB+PC，得證 解法二（補(bǔ)短） 如右圖，延長(zhǎng)CP至點(diǎn)Q，使PQ=PB， 易證∠BPQ=60°，這樣△PBQ為等邊三角形，由“共頂點(diǎn)雙等邊三角形模型”易證△ABP≌△CBQ(SAS)，故PA=QC，所以PA=QC=QP+PC=PB+PC，得證  總而言之，上述兩種解法若用旋轉(zhuǎn)的眼光來(lái)看，就是繞著旋轉(zhuǎn)中心B按順時(shí)針或逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60度，這樣BA與BC必然重合（這是由BA=BC產(chǎn)生的結(jié)果）。BP則旋轉(zhuǎn)60至BQ位置，構(gòu)造出“共頂點(diǎn)雙等邊三角形模型”，得出全等，解決問(wèn)題。 進(jìn)一步，如果運(yùn)用“旋轉(zhuǎn)”的觀點(diǎn)，本例還可以得到如下更加豐富的解法  規(guī)律總結(jié) “某頂點(diǎn)處有兩條相等的線(xiàn)段”為旋轉(zhuǎn)提供了可能，可繞該頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造出“共頂點(diǎn)的雙等腰三角形模型”，借助“旋轉(zhuǎn)一拖二”，得到全等，解決問(wèn)題．上述規(guī)律可簡(jiǎn)記為“等線(xiàn)段、共頂點(diǎn)；造旋轉(zhuǎn)、一拖二”。 變式（1） 變式（2） 其它基于“旋轉(zhuǎn)”的幾何模型 正方形“半角(45度)模型” 四邊形中“半角模型” 等腰直角三角形中“半角(45度)模型” 對(duì)角互補(bǔ)模型（1） 對(duì)角互補(bǔ)模型（2） 對(duì)角互補(bǔ)模型（3） 對(duì)角互補(bǔ)模型（4） 小結(jié)： 當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí)，可以把圖形的某部分繞其鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置，將分散的條件相對(duì)集中起來(lái)，從而解決問(wèn)題．因?yàn)檎叫?、等腰（直角）三角形、等邊三角形具備邊長(zhǎng)相等這一特征，所以在這些圖形中，常用旋轉(zhuǎn)變換．即當(dāng)某頂點(diǎn)處存在相等的兩條線(xiàn)段時(shí)，可以將此頂點(diǎn)出發(fā)的第三條線(xiàn)段進(jìn)行相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)，可順轉(zhuǎn)也可逆轉(zhuǎn)，構(gòu)造出“手拉手模型”，從而解決問(wèn)題． 草根思考 看得出這是段老師用心之作，筆者看后也為段老師的“鉆研精神”所折服，然而由于文章很長(zhǎng)，難于全文刊出故只能忍痛做一擇要。 有些想法提出供大家參考： 1.筆者認(rèn)為可以用“圖形運(yùn)動(dòng)”的眼光添加輔助線(xiàn)，但不宜用“圖形運(yùn)動(dòng)”敘述輔助線(xiàn)； 2.模型很多，多到其實(shí)我已經(jīng)是摘“要”刊出，然而能不能進(jìn)一步總結(jié)出這些模型的共性，學(xué)習(xí)的過(guò)程就是先把書(shū)從薄讀厚，再由厚讀薄的過(guò)程，例如本篇，等線(xiàn)段是旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)，對(duì)角互補(bǔ)是三點(diǎn)共線(xiàn)的基礎(chǔ)，旋轉(zhuǎn)的目的是聚合條件構(gòu)造新的特殊三角形，不知筆者的總結(jié)是否能體現(xiàn)段老師的想法； 3.學(xué)生通過(guò)這個(gè)過(guò)程最重要學(xué)到的是什么？筆者認(rèn)為模型重要，段老師分析問(wèn)題、研究問(wèn)題的策略更重要！題目紛繁復(fù)雜，如何從題海中尋求題與題之間的聯(lián)系，抽象出其內(nèi)核的幾何模型，這正是學(xué)生所缺少的。所以筆者建議，給予學(xué)生一些類(lèi)題，示范總結(jié)基本模型的方法，引領(lǐng)學(xué)生自己總結(jié)，并由教師進(jìn)行升華，學(xué)生從中的收獲也許比模型本身更重要吧… 公眾號(hào)：廣猛文摘 |
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