集合是什么？通俗地說它是一些元素組成的集體，是一些確定而又可分的“物”的集體。集合并不指具體的“物”，而是由物的集體所組成的新對象。20世紀以來的研究表明，不僅微積分的基礎—實數(shù)理論奠定在集合論的基礎上，而且各種復雜的數(shù)學概念都可以用“集合”概念定義出來，而各種數(shù)學理論又都可以“嵌入”集合論之內。因此，集合論就成了全部數(shù)學的基礎，而且有力地促進了各個數(shù)學分支的發(fā)展?，F(xiàn)代數(shù)學幾乎所有的分支都會用到集合這個概念。

19世紀60年代起，法國數(shù)學家康托爾承擔了這一工作，他清楚地看到以往數(shù)學基礎中的問題，都與無窮集合有關。康托爾的集合論的建立，不僅是數(shù)學發(fā)展史上一座高聳的里程碑，甚至還是人類思維發(fā)展史上的一座里程碑。它標志著人類經過幾千年的努力，終于基本上弄清了無限的性質，找到了制服無限“妖怪”的法寶。蘇聯(lián)著名數(shù)學家柯爾莫戈洛夫說：“康托爾的不朽功績在于向無限冒險邁進?！钡聡鴶?shù)學大師伯特贊揚康托爾的理論是“數(shù)學思想最驚人的產物，在純粹理性的范疇中人類活動最美的表現(xiàn)之一”。

然而事情并非總是順利的。1900年左右，正當康托爾的思想逐漸被人接受，并成功地把集合論應用到了許多別的數(shù)學領域中去，大家認為數(shù)學的“絕對嚴格性”有了保證的時候，一系列完全沒有想到的邏輯矛盾，在集合論的邊緣被發(fā)現(xiàn)了。開始，人們并不直接稱之為矛盾，而是只把它們看成數(shù)學中的奇特現(xiàn)象。1903年英國哲學家兼數(shù)學家羅素（Russell,B.A.W,1872—1970）提出了一個悖論，“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果說是，即包含自身，屬于這個集合，那么它就不包含自身；如果說否，它不包含自身，那么它理應是這個集合的元素，即包含自身。

可能有人看不懂羅素悖論，沒關系，羅素本人就用通俗的“理發(fā)師悖論”作了比喻；理發(fā)師自稱，他給所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不給任何自己刮胡子的人刮胡子。試問理發(fā)師該不該給自己刮胡子？如果他從來不給自己刮胡子，就屬于“自己不刮胡子的人”。根據(jù)他的自稱，他就應該給自己刮胡子，但是，一旦他給自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。還是根據(jù)他的自稱，他就不應該給自己刮胡子。所以不管理發(fā)師的胡子由誰來刮，都會產生矛盾。羅素悖論以其簡單、明確震動了整個西方數(shù)學界和邏輯學界，邏輯學家費雷格收到羅素的信之后，在他剛要出版的《算術基礎法則》第二卷末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了。當這本書等待付印的時候，羅素先生的一封信把我置于這種境地?！备ダ赘駥α_素悖論的迅速反應是驚恐地感到：“算術開始受難?！?/p>

數(shù)學史上第三次危機來臨了，數(shù)學王國的居民們惶惶不安，因為數(shù)學家們一貫追求嚴密性，一旦發(fā)現(xiàn)他們自稱絕對嚴密的數(shù)學的基礎——集合論并不嚴密，竟然出現(xiàn)了“悖論”這種自相矛盾的結果，可以想象，他們是多么震驚。震驚之余，數(shù)學家們意識到，應當建立某種公理系統(tǒng)來對集合論做出必要的規(guī)定，以排除“羅素悖論”和其他有關的“悖論”?，F(xiàn)在，各種成功地解決悖論的方案都對集合的“無限擴張”進行了限制，因此現(xiàn)在任何一種形式的集合論，實質上都包含一個“限制大小”的公理。

集合論是現(xiàn)代數(shù)學中重要的基礎理論。它的概念和方法已經滲透到代數(shù)、拓撲和分析等許多數(shù)學分支以及物理學和質點力學等一些自然科學部門，為這些學科提供了奠基的方法，改變了這些學科的面貌。幾乎可以說，如果沒有集合論的觀點，很難對現(xiàn)代數(shù)學獲得一個深刻的理解。所以集合論的創(chuàng)立不僅對數(shù)學基礎的研究有重要意義，而且對現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展也有深遠的影響。