什么是線性規(guī)劃問題？

定義目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，就統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。

線性規(guī)劃的問題應(yīng)用比較廣泛，題目非常靈活,常和其他知識交叉融合讓學(xué)生進(jìn)行求解,所以對學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是一次考驗(yàn)。因此，線性規(guī)劃問題也成為高考數(shù)學(xué)一個(gè)熱點(diǎn)和“分值增長點(diǎn)”。

高考數(shù)學(xué)考查線性規(guī)劃類問題，主要基于課本上的基礎(chǔ)知識內(nèi)容，同時(shí)又高于課本的知識難度，蘊(yùn)含大量的數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想等等。加上線性規(guī)劃問題能與實(shí)際生活問題進(jìn)行良好結(jié)合，能很好考查考生運(yùn)用知識解決實(shí)際問題能力水平的高低，所以線性規(guī)劃問題在高考中的分值越來越大,逐漸受到更多的重視。

總體來說運(yùn)用二元一次不等式相關(guān)知識來解決線性規(guī)劃問題，難度不大，只要認(rèn)真學(xué)習(xí)，都能拿到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。下面，我們就一起從高中數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問題入手，對高中數(shù)學(xué)中有關(guān)線性規(guī)劃的問題做一個(gè)綜合學(xué)習(xí)，針對其中的具體問題逐一做具體分析，總結(jié)學(xué)習(xí)方法，希望能幫助到打擊的學(xué)習(xí)。

首先要掌握好線性規(guī)劃中相關(guān)的基本概念：

1、約束條件：由變量x，y組成的不等式(組)

2、線性約束條件：由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)

3、目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等

4、線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x，y的一次解析式

5、可行解：滿足線性約束條件的解(x，y)

6、可行域：所有可行解組成的集合

7、最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

8、線性規(guī)劃問題：在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題

典型例題分析1：

某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)計(jì)劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是(　　)

A．1 800元　  B．2 400元

C．2 800元      D．3 100元

解：設(shè)每天分別生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶，乙產(chǎn)品y桶，

相應(yīng)的利潤為z元，

平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)A(4,4)時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)z＝300x＋400y取得最大值，最大值是z＝300×4＋400×4＝2 800，即該公司可獲得的最大利潤是2 800元．[答案]　C

線性規(guī)劃本質(zhì)上是解決最大值或最小值問題，而最值問題恰恰是現(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中遇到的問題，也就是我們常說的最優(yōu)解問題。

如果可行域是一個(gè)多邊形，那么目標(biāo)函數(shù)一般在某頂點(diǎn)處取得最大值或最小值，最優(yōu)解就是該點(diǎn)的坐標(biāo)，到底哪個(gè)頂點(diǎn)為最優(yōu)解，只要將目標(biāo)函數(shù)的直線平行移動(dòng)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)便是。

特別地，當(dāng)表示線性目標(biāo)函數(shù)的直線與可行域的某條邊平行時(shí)，其最優(yōu)解可能有無數(shù)個(gè)。

典型例題分析2：

解決線性規(guī)劃問題，我們一定要抓住函數(shù)的本質(zhì)，如求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求．其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義。

常見的目標(biāo)函數(shù)有：

1、截距型：形如z＝ax＋by.

求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)z＝ax＋by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：y＝－ax/b＋z/b，通過求直線的截距bz的最值間接求出z的最值．

2、距離型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.

(3)斜率型：形如z＝（y-b）/（x-a）.

注意：轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義.

同時(shí)，大家更要記住的是與線性規(guī)劃有關(guān)的應(yīng)用問題，通常涉及最優(yōu)化問題．如用料最省、獲利最大等，其解題步驟是：

1、設(shè)未知數(shù)，確定線性約束條件及目標(biāo)函數(shù)；

2、轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型；

3、解該線性規(guī)劃問題，求出最優(yōu)解；

4、調(diào)整最優(yōu)解．

典型例題分析3：

某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過10小時(shí)．若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤3元．

(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤W(元)；

(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？

解：(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100－x－y，

所以利潤W＝5x＋6y＋3(100－x－y)

＝2x＋3y＋300.

本文轉(zhuǎn)載自【吳國平數(shù)學(xué)教育】

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