F點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=AI=AG+GI =AG+HF,

AG=rcost , HF=dcost, x=rcost+dcost=(r+d)cost

F點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=IF=GH=GC--HC,

GC=rsint , HC=dsint, y=rsint--dsint=(r--d)sint

          圖3.1

所以，在這種情況下，內(nèi)擺線的參數(shù)方程是：

x=(r+d)cost

y=(r--d)sint

整理得：

二式平方相加，可以得到：

      （0＜d＜r）                                                 

這就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

這是卡丹轉(zhuǎn)盤(pán)：由特殊擺線參數(shù)方程推出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；下面由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推出特殊擺線參數(shù)方程。按照上法逆向推理就可以。

例如：

            （0＜d＜r）

將左邊兩個(gè)分式分開(kāi)，各等于正、余弦函數(shù)的平方，再開(kāi)平方，得出下面的一組方程。

因?yàn)?          所以上面的式子可以變成：

這就是特殊內(nèi)擺線的參數(shù)方程。其中，動(dòng)圓的半徑是7，定圓的半徑是14，定點(diǎn)F與動(dòng)圓圓心距離是1。這就是把橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程變成內(nèi)擺線參數(shù)方程的過(guò)程。

4 牛頓質(zhì)心說(shuō)，證實(shí)在任意實(shí)體參考系，行星的本質(zhì)軌道是擺線。

公認(rèn)的論據(jù)：

論據(jù)一：“……兩個(gè)物體，不論是被吸引者或是吸引者，都不是真正的靜止，而兩者是互相吸引，繞公共重心旋轉(zhuǎn)。”[5] 這里公共重心就是公共質(zhì)心。

論據(jù)二：太陽(yáng)系所有天體（包括太陽(yáng)）繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的周期是不同的，所以角速度也不同。

論據(jù)三，推理方法——參考系變換：如果有A,B兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它們?cè)谧鴺?biāo)系的坐標(biāo)軸方向不變，自己都不旋轉(zhuǎn)。A點(diǎn)圍繞B點(diǎn)（參考系），作順時(shí)針?lè)较騽蛩賵A周運(yùn)動(dòng)；那么把參考系變換到A點(diǎn)上面來(lái)，可以看做B點(diǎn)圍繞A點(diǎn)（新參考系），作同樣的順時(shí)針?lè)较騽蛩賵A周運(yùn)動(dòng)。              論據(jù)四：擺線概念： 一個(gè)運(yùn)動(dòng)的圓與一個(gè)固定的圓內(nèi)（外）切，運(yùn)動(dòng)的圓在固定的圓上面沒(méi)有滑動(dòng)的滾動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的圓上面（或者半徑和半徑延長(zhǎng)線上面）一點(diǎn)劃出來(lái)的軌跡就是內(nèi)（外）擺線。這個(gè)時(shí)候，運(yùn)動(dòng)的圓的圓心與運(yùn)動(dòng)的圓上的點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)針?lè)较颍窍喾矗ㄏ嗤┑摹?/span>          簡(jiǎn)而言之，就是C圍繞B作圓周運(yùn)動(dòng)，B又圍繞A作圓周運(yùn)動(dòng)，并且角速度不同，那么C圍繞A運(yùn)動(dòng)的曲線就是擺線。                            

根據(jù)論據(jù)，變換參考系證明：

因?yàn)?/span>以質(zhì)心為參考系，太陽(yáng)和行星都繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，并且角速度不同。

變換參考系：太陽(yáng)繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)，換成質(zhì)心繞太陽(yáng)作圓周運(yùn)動(dòng)（定圓）。

所以以太陽(yáng)為參考系，行星繞質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng)（動(dòng)圓），質(zhì)心又繞太陽(yáng)作圓周運(yùn)動(dòng)（定圓），這樣，行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道就是擺線。（圖4.1）

           圖4.1

 圖4.1說(shuō)明：這是行星C圍繞太陽(yáng)A運(yùn)動(dòng)的擺線軌道示意圖，

 為了便于制圖，把太陽(yáng)A與質(zhì)心B的距離比例擴(kuò)大了，也把

 太陽(yáng)繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的速度比擴(kuò)大了。以太陽(yáng)A為參考系,，B繞

 A作順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，C繞B作逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，從F到C。曲線FC

 就是行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的擺線軌道。

質(zhì)心說(shuō)與擺線是同一個(gè)理論，僅是不同參考系表達(dá)而已。就像除法和分?jǐn)?shù)，僅是用除號(hào)和分?jǐn)?shù)線表達(dá)的不同。只要符合質(zhì)心說(shuō)的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其互相描述的軌道必然是擺線，別無(wú)選擇。

牛頓質(zhì)心說(shuō)是天體運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)。質(zhì)心說(shuō)擺線是行星運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)軌道。

中國(guó)教育部 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）：“天體軌道方程就是擺線的統(tǒng)一方程”[6] 。

最后，行星精確軌道是橢圓擺線，還是螺旋擺線，另文論述。         

5 托勒密地心模型的科學(xué)性

“托勒密地心模型是世界上第一個(gè)行星體系的模型” 。[8]

“托勒密利用地心模型充分地運(yùn)用了數(shù)學(xué)方法和幾何計(jì)算的方法，創(chuàng)新性的提出“對(duì)點(diǎn)”等理論概念，根據(jù)計(jì)算，可以得出，只要設(shè)定本輪與均輪半徑的比例，地球偏心率和本輪與均輪的速度變化，托勒密地心模型就能比較準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)行星的位置?！?/span>[8]

“托勒密在建立地心模型的過(guò)程中，充分地利用了歸納法、演繹法等數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法，使得模型具有嚴(yán)密的邏輯性和科學(xué)性。” [8]

“本輪 均輪方法是可以解釋行星運(yùn)動(dòng)的真實(shí)軌跡的。這也許是托勒密天文學(xué)理論能夠在人類歷史中存活一千多年的一個(gè)數(shù)學(xué)根據(jù)吧?！?nbsp; [9]

“在方法論意義上，托勒密的本輪—均輪方法和開(kāi)普勒方法之間并沒(méi)有對(duì)錯(cuò)之分，只是復(fù)雜和簡(jiǎn)單的區(qū)別：”  [9]

“哈佛大學(xué)科學(xué)史系主任、天文學(xué)和天文學(xué)史教授歐文、金格里奇在閑暇之余，利用計(jì)算機(jī)計(jì)算了中世紀(jì)行星的位置，包括13世紀(jì)的《阿方索星表》和1532年的施特夫勒的《星歷表》，驚奇地發(fā)現(xiàn)，這兩份曾經(jīng)得到廣泛應(yīng)用的星表竟然都是依據(jù)托勒密學(xué)說(shuō)，其中絕對(duì)沒(méi)有任何關(guān)于本輪疊加的證據(jù)。換句話說(shuō)，托勒密體系直到哥白尼時(shí)代仍在應(yīng)用，并沒(méi)有比托勒密原本多出點(diǎn)什么?！?/font>[10]