?????????

本節(jié)主要總結(jié)「數(shù)據(jù)分析」的「時(shí)間序列」相關(guān)模型的思路。

「時(shí)間序列」是一個(gè)變量在連續(xù)時(shí)點(diǎn)或連續(xù)時(shí)期上測量的觀測值的序列，它與我們以前見過的數(shù)據(jù)有本質(zhì)上的區(qū)別，這個(gè)區(qū)別在于之前的數(shù)據(jù)都在一個(gè)時(shí)間的橫截面上去測量、計(jì)算數(shù)據(jù)，而「時(shí)間序列」給出了一種時(shí)間軸線上縱向的視角，將時(shí)間作為自變量，測量出一系列縱向數(shù)據(jù)。

關(guān)于「時(shí)間序列」的預(yù)測模型，我所了解的常用模型有三種：1. 移動(dòng)平均  2. 指數(shù)預(yù)測模型 3. ARIMA 預(yù)測模型

0. 時(shí)序的分解

要研究時(shí)序如何預(yù)測，首先需要將復(fù)雜的時(shí)序數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，將復(fù)雜的時(shí)序數(shù)據(jù)分解為單一的分解成分，這樣能利用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行擬合，然后個(gè)個(gè)擊破，最后再合成為我們需要預(yù)測的未來時(shí)序數(shù)據(jù)。

前人在這一問題上已經(jīng)得到很好的結(jié)論，通過對(duì)時(shí)序數(shù)據(jù)現(xiàn)實(shí)意義的理解，一般將時(shí)序數(shù)據(jù)分解為四個(gè)成分：

1. 水平項(xiàng) 

2. 趨勢項(xiàng) 

3. 季節(jié)效應(yīng)（衍生出去為周期項(xiàng)）

4. 隨機(jī)波動(dòng)

• 水平項(xiàng)，即剔除時(shí)序數(shù)據(jù)的趨勢影響和季節(jié)影響后，時(shí)序數(shù)據(jù)所剩的成分，它代表著時(shí)序數(shù)據(jù)在時(shí)間軸上相對(duì)穩(wěn)定的一個(gè)基礎(chǔ)值。就像一個(gè)原點(diǎn)一樣，在這個(gè)原點(diǎn)上去考慮時(shí)間所帶來的趨勢影響和季節(jié)影響。

• 趨勢項(xiàng)，它用于捕捉時(shí)序數(shù)據(jù)的長期變化，是逐步增長還是逐步下降。就像在二元空間中的一個(gè)單調(diào)函數(shù)。

• 季節(jié)效應(yīng)，衍生出去就是周期型，在一定時(shí)間內(nèi)，時(shí)序數(shù)據(jù)所包含的周期型變化。就像在二元空間中的三角函數(shù)，如y=sinx，其數(shù)值是周而復(fù)始的。

通常在分解以上各個(gè)成分時(shí)，有兩種模式，一個(gè)是乘法模型，一個(gè)是加法模型。其中，加法模型的季節(jié)效應(yīng)被認(rèn)為不依賴于時(shí)間序列，二乘法模型認(rèn)為季節(jié)影響隨著時(shí)間會(huì)發(fā)生改變。不過兩種模型在計(jì)算時(shí)可以相通，對(duì)乘法模型作對(duì)數(shù)處理即可。

1. 移動(dòng)平均

這一方法很簡單，只做簡單講解

• 所謂移動(dòng)平均，就是使用時(shí)間序列中最接近的 k 期數(shù)據(jù)值的平均值作為下一個(gè)時(shí)期的預(yù)測值。
  

即：                                        

較小的 k 值將更快速追蹤時(shí)間序列的移動(dòng)，而較大的 k 值將隨著時(shí)間的推移更有效地消除隨機(jī)波動(dòng)。

• 可延伸為加權(quán)移動(dòng)平均，此法對(duì)每個(gè)數(shù)值選擇不同的的權(quán)重，然后計(jì)算最近 k 期數(shù)據(jù)值的加權(quán)平均數(shù)作為預(yù)測值。

• 如果僅用于平滑現(xiàn)有數(shù)據(jù)，也可以使用居中移動(dòng)平均，即使用時(shí)序中前后最接近的各 q 期數(shù)據(jù)及自己的平均值作為在該時(shí)點(diǎn)上的平滑值。
  

即：                                        

2. 指數(shù)預(yù)測模型

指數(shù)預(yù)測模型也是利用過去的時(shí)間序列值的加權(quán)平均數(shù)作為預(yù)測值，它是加權(quán)移動(dòng)平均法的一個(gè)特例。

即：只選擇最近時(shí)期觀測值的權(quán)重，其他數(shù)據(jù)值的權(quán)重則自動(dòng)推算，原則是時(shí)間距離越遠(yuǎn)權(quán)重越小。

2.1. 單指數(shù)平滑

單指數(shù)平滑，不考慮季節(jié)和趨勢分解，僅用過去數(shù)據(jù)值的加權(quán)平均數(shù)來預(yù)測。其思想為：

其中 F 為某時(shí)刻的預(yù)測值，Y 為某時(shí)刻的觀測值。以上公式從 t = 1 開始遞推，則每個(gè)時(shí)刻的預(yù)測值都包含著過去所有觀測值的成分，只是權(quán)重不同，令F1 = Y1 ，則：

α為平滑常數(shù)，越接近于 1 ，則近期觀測值的權(quán)重越大；反之，越接近于0，歷史觀測值權(quán)重越大。

2.2. Holt 指數(shù)平滑

Holt 指數(shù)平滑，在單指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上，還對(duì)趨勢項(xiàng)進(jìn)行了擬合。

由于考慮到了趨勢項(xiàng)，則預(yù)測值可表示為：

其中 Lt 為 t 時(shí)刻時(shí)序水平項(xiàng)的估計(jì)值，bt為 t 時(shí)刻時(shí)序斜率的估計(jì)值。

α為水平平滑常數(shù)， β為斜率平滑常數(shù)。

2.3. Holt-Winters 指數(shù)平滑

Holt-Winters 指數(shù)平滑，在 Holt 指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上，還對(duì)季節(jié)項(xiàng)（周期項(xiàng)）進(jìn)行了擬合，

由于還考慮到了季節(jié)項(xiàng)，則預(yù)測值表示為：

其中 i 為季節(jié)項(xiàng)的周期，mod 是求余，P 是某時(shí)刻時(shí)序周期的估計(jì)值。

α為水平平滑常數(shù)，β為斜率平滑常數(shù)，γ為周期平滑常數(shù)。

2.4. R 語言實(shí)現(xiàn)

以上三種指數(shù)平滑模型，采用 forecast 包中的 ets ( ) 函數(shù)即可：

ets(ts, model='zzz')
# ts 為需要分析的時(shí)序
# model 為模型選擇參數(shù)，具體分類如下
# 不指定 model 參數(shù)時(shí)，自動(dòng)匹配最優(yōu)模型

3. ARIMA 預(yù)測模型

ARIMA 模型的相關(guān)資料我找到了，但是并沒有看完和看懂，相對(duì)來說其思想確實(shí)有些復(fù)雜。而且最近買了《統(tǒng)計(jì)學(xué)方法》和《機(jī)器學(xué)習(xí)》兩本書，發(fā)現(xiàn)自己的線性代數(shù)水平還很難看懂這些公式和算法推導(dǎo)，所以準(zhǔn)備把《 R 語言實(shí)戰(zhàn) 》敲完后轉(zhuǎn)入線性代數(shù)的復(fù)習(xí)，之后學(xué)習(xí)方向待定。

這里我就僅把利用 R 語言進(jìn)行 ARIMA 模型模擬和預(yù)測的流程做以總結(jié)：

3.1. 確保時(shí)序是平穩(wěn)的

時(shí)序平穩(wěn)的要求一般有兩個(gè)：方差為均值、無趨勢項(xiàng)

方法是利用時(shí)序圖估判和 ndiffs ( ) 函數(shù)推薦最優(yōu)的差分次數(shù) d 。

3.2. 選擇模型

通過 ACF 和 PACF 圖來判斷 p 和 q 參數(shù)的值。

其中 ACF 為自相關(guān)函數(shù)圖用于判斷 q，PACF 為偏自相關(guān)圖用于判斷 p。

p 為自回歸模型（AR）參數(shù)，q 為移動(dòng)平均模型（MA）參數(shù)。

3.3. 擬合模型

fit <- arima(ts,="" order="">
# ts 為原時(shí)序，order 中放入包含三個(gè)參數(shù)的向量
fit
# 一般要進(jìn)行多組參數(shù)的嘗試，在輸出結(jié)果中利用 AIC 值來選擇最合理的模型，AIC 越小越好
accuracy(fit)
# 得到一系列誤差值，用于準(zhǔn)確性度量

3.4. 模型評(píng)價(jià)

模型的殘差應(yīng)該滿足獨(dú)立正態(tài)分布，根據(jù)這一條：

1. 使用正態(tài) Q-Q 圖來判斷其正態(tài)性

2. 使用box.test ( ) 函數(shù)對(duì)模型的殘差進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)。

3.5. 預(yù)測

forecast(fit,3)
# fit 為我們之前擬合好的最佳模型，3 指的是要預(yù)測的年數(shù)

3.6. 自動(dòng)預(yù)測

forecast 包中的 auto.arima ( ) 函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)最優(yōu) ARIMA 模型的自動(dòng)選取。