在本推導中，我們將擇偶標準大致分為兩類：客觀自然標準、社會人文標準。

前者即每個人的出廠硬件設(shè)定，比如身高、體重、顏值等等，后者則是像財富值、職業(yè)、價值觀、興趣愛好等后天積累和養(yǎng)成的因素。為什么這樣劃分呢？主要是考慮到這兩類標準所服從的概率分布模型不同，這一點之后會有詳細的說明。

我們先討論客觀自然標準。

高斯分布（亦稱“正態(tài)分布”）是在自然界中廣泛存在的一個概率分布模型，許多自然現(xiàn)象都符合高斯分布，比如人類的身高、學生的學習成績、隨機誤差等等。

假設(shè)你只有一個滿足高斯分布的擇偶標準A（比如身高、體重等）。一般來說，人們對于這類自然標準的選擇會青睞于中上水平的，即不能低于平均水平太多，也不能太高。例如，身高不能低于170cm，但也不能太高，高于190cm的你可能也會猶豫。

服從高斯分布的擇偶標準A的概率密度函數(shù)如下：

其中，μ是擇偶標準A在人群中的均值，σ是標準差。

將高斯分布的概率密度積分，即可得到隨機變量X在某一范圍內(nèi)取值的概率，在概率密度圖像上可表現(xiàn)為其所圍的面積。

可見，高斯變量落在(μ-3σ,μ+3σ)范圍外的概率小于千分之三，這就是人們常用的3σ檢驗原則。

如果你的擇偶要求（眼光）較高，意味著你對于擇偶條件A的接受范圍大概位于(μ+σ,μ+2σ)的區(qū)間（圖中陰影部分）：

那么你遇到一個標準A滿足要求的人的概率約為13.6%左右。

當然，大部分人的擇偶要求沒有那么苛刻。假設(shè)擇偶標準位于(μ-σ,μ+2σ)的區(qū)間（圖中陰影部分）：

那么你遇到一個標準A滿足要求的人的概率約為81.85%左右。

乍一看，是不是感覺這個概率還蠻高的！

事實上，絕大多數(shù)人的擇偶要求不會這么低，因為大部分的正常人都能滿足這個條件……

這個擇偶標準區(qū)間已經(jīng)算是很低的門檻了，一般人的擇偶標準會比這個嚴苛很多。而且，最關(guān)鍵的是，這只是滿足其中一個擇偶標準的概率！你總不可能看到身高合適的就上吧~

現(xiàn)在我們同時考慮兩個擇偶標準會如何呢？比如擇偶標準A（體重）、B（顏值）。

假設(shè)A和B都服從高斯分布，此時我們需要引入二元高斯分布模型。

其中，X~N(μ₁,σ₁²)，Y~N(μ₂,σ₂²)，ρ是X和Y的相關(guān)系數(shù)。

有的朋友可能會問，為啥從1個變量到2個變量就復雜了這么多呢？不能直接把兩個變量的概率直接相乘嗎？

答案是：大多數(shù)情況下，不能。

在概率統(tǒng)計中，概率能直接相乘的條件是變量之間互相獨立。

而類似于身高、體重這樣的兩個變量并不是獨立的，存在著某種相關(guān)性。所以不能簡單地將它們的概率相乘。

由于不能直接相乘，我們可以根據(jù)概率密度函數(shù)的定義，對其求二重積分進而算出概率，即：

其中f(x,y)是二元正態(tài)分布函數(shù)。

二重積分示意圖

回想在一元正態(tài)分布下有“3σ原則”，那么推廣到二元的情況呢？

是否在二元正態(tài)分布下，兩個變量同屬1σ的區(qū)間（x∈(μ₁-σ₁,μ₁+σ₁) & y∈(μ₂-σ₂,μ₂+σ₂)）的概率就是0.6826×0.6826=0.4659呢？

答案是否定的，因為兩個隨機變量不一定是獨立的，即二元正態(tài)分布受到參數(shù)ρ（相關(guān)系數(shù)）的影響。

下面我們觀察不同的相關(guān)系數(shù)ρ對概率的影響。

由于該積分無法直接求出解析解，我們使用matlab求定積分數(shù)值解：

得到曲線如下：

圖1

圖1中，橫坐標是變量X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ，縱坐標是概率。2D-1σ（藍線）表示X和Y都落在各自的1σ區(qū)域，即x∈(μ₁-σ₁,μ₁+σ₁)且 y∈(μ₂-σ₂,μ₂+σ₂)的概率；1D-1σ（紫虛線）表示一元高斯變量的值落在1σ區(qū)間內(nèi)概率，即上文提到的0.6826。

其中，相關(guān)系數(shù)ρ越大，說明變量X和Y的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)ρ=0說明變量X和Y不相關(guān)。

注意：隨機變量獨立和不相關(guān)是兩個概念，獨立一定不相關(guān)，但不相關(guān)不一定獨立，不相關(guān)要弱于獨立。

但是可以證明，對于高斯分布來說，獨立就等價于不相關(guān)。所以，當ρ=0時，高斯分布變量X和Y獨立，于是有P(XY)=P(X)×P(Y)。

從圖1中也可以看出，當ρ=0時，以下結(jié)果成立：

這很好地應證了上面所說的高斯分布由變量不相關(guān)可以推導出獨立的結(jié)論。

從圖1中可以看到，如果我們的擇偶標準A和B相關(guān)性較高，那么你遇到同時滿足要求的人的概率也就會大一些，但是最高也不會超過你遇到滿足你最嚴苛的條件的人概率。

也就是說，如果你遇到滿足擇偶條件A的人的概率是60%，遇到滿足擇偶條件B的人的概率是40%，那么你想要遇到同時滿足這兩個條件的人概率最大不會超過40%（可以算作某種意義上的“短板效應”）。

而隨著擇偶標準A和B相關(guān)性的下降（比如A是身高，B是學習成績），你遇到那個ta的概率會隨之下降。這一點其實很顯然，與我們的直觀感受一致。

下面我們再考察三組實驗，看看有什么有趣的結(jié)果：

（1）以嚴苛的條件同時限制擇偶標準A和B，即A和B都得落在各自的(μ+σ,μ+2σ)區(qū)間內(nèi)。

（2）以嚴苛的條件限制擇偶標準A，以寬松的條件限制擇偶標準B，即A得落在(μ+σ,μ+2σ)區(qū)間內(nèi)，B也落在(μ-σ,μ+2σ)區(qū)間內(nèi)。

（3）以寬松的條件同時限制擇偶標準A和B，即A和B都落在各自的(μ-σ,μ+2σ)區(qū)間內(nèi)。

同樣，我們使用matlab求解。

實驗結(jié)果如下圖：

圖2

表1

從圖2不難看出，當我們將擇偶標準從1個增加到2個之后，無論你的擇偶條件是嚴苛還是寬松，你遇到合適的人的概率都大幅下降了。表1中列出了不同擇偶條件組合下遇到合適的人的最大概率和最小概率。

從最好情況的概率來看仿佛一切都還ok，但是，很遺憾地告訴大家，最好情況在這里并沒有什么卵用……因為最好情況是當相關(guān)系數(shù)ρ接近1時得到的，這意味著我們選擇的兩個擇偶標準A和B有著很強的線性關(guān)系，比如學習成績和努力程度。既然這兩個擇偶標準已經(jīng)有很強的相關(guān)性了，那么我們?yōu)楹芜€要把他們分成兩個指標呢？

事實上，在現(xiàn)實生活中，我們能夠選為擇偶標準的指標之間的相關(guān)性都比較弱，也只有這樣才能夠多維度、全方位地評價一個人。你會把身高、勤奮度作為兩個不同的擇偶指標，但沒必要把科研能力和頂級期刊論文發(fā)表數(shù)這兩個相關(guān)性很強的指標單列為兩個擇偶標準。所以，我們要關(guān)注的更多的是當ρ比較小時的情況，也就是最差情況的概率。

這是想說明什么呢？在兩個擇偶標準下，你遇到合適的人的概率已經(jīng)大幅縮水了，尤其是如果你的眼光比較高的話，你現(xiàn)在遇到滿足要求的人的概率已經(jīng)不足2%了，哪怕你只對一個條件比較嚴苛而對另一個條件抱有寬宏的態(tài)度，你現(xiàn)在遇到合適的人的概率也只剩11%。

更可怕的是……現(xiàn)在還只是討論了兩個擇偶標準的情況。顯然，你挑選戀人不會只在乎兩個標準吧，你不可能對今后要結(jié)婚生子、托付終身的人只有兩個要求吧？

所以，接下來，我們將對自然客觀類的擇偶標準推廣到n維的情況……

結(jié)果是什么我想你已經(jīng)可以預見了吧……

結(jié)局會是多么的凄涼慘淡、不忍卒讀……

n元高斯分布的概率密度函數(shù)如下：

其中∑是協(xié)方差矩陣，μ是均值向量。

n元高斯分布的累計概率分布為：

由于高維無法用圖表示，我們示意性地畫一個二維情況下的概率分布圖像：

二元高斯分布累計概率分布函數(shù)圖像

更高維的情況下大家可以自行想象一下。

下面我們假設(shè)n維高斯變量之間兩兩相互獨立，以此來估算一個下界。

假設(shè)你有n個服從高斯分布的擇偶標準，他們之間相互獨立。我們遵循上面的討論，分為嚴格和寬松兩種條件。我們畫出不同寬松組合下你遇到滿足要求的人的概率圖如下：

上圖橫坐標m表示寬松組合中嚴苛的頻次，縱坐標表示遇到滿足要求的人的概率。比如，當n=5時，表示你有5個不同的擇偶標準，橫坐標m=1對應的點，代表5個不同的擇偶標準中，你有1個標準是以嚴苛來要求，其余4個是寬松，也即是4寬1嚴的組合下，你遇到滿足要求的人的概率是0.061（6.1%）。

從曲線可以看出，隨著n的增大以及m的增大，概率衰減得特別快。

這告訴我們什么呢？想找到男朋友女朋友，就要少提要求、降低門檻，不然你遇到滿足條件的人完全就是一個小概率事件（一般概率低于5%的事件就算得上小概率事件了）。然而，怎么可能對另一半不提要求、放寬限制呢？寧缺毋濫！所以，這成功地說明一個道理：你幾乎不可能遇到合適的人?。?！

以上就是我們對自然客觀類擇偶標準的討論。

下面我們考慮社會人文類標準。這類標準有一個特點，就是會受到人類社會活動很強的影響。

除了高斯分布，還有一個常見的分布是冪律分布。實際上，在社會生活中，許多現(xiàn)象并不符合高斯分布，而是更貼近冪律分布，比如人類財富的分布、國家GDP分布、詞頻分布、社交網(wǎng)絡(luò)分布等等。著名的80/20定律（20%的人擁有80%的社會資源）即是出自冪律分布。

冪律分布的數(shù)學模型是冪函數(shù)：

其中C，α是常數(shù)。

冪函數(shù)示例（C=1，α=3）

在概率統(tǒng)計中，概率密度函數(shù)f(x)滿足非負性和規(guī)范性，即函數(shù)值非負并且全域積分為1。

所以，在冪律分布中，就要求有C>0，α>0。除此之外，由微積分的知識不難得出，為了讓上述積分收斂，我們一般指定x有一個最小值（下界）x_min。于是，我們就引出了著名的Pareto Distribution，也即人們常說的長尾分布。

由上式即可求出規(guī)范化常數(shù)C的值，進而求出Pareto Distribution的概率密度函數(shù)為：

其中，要求α>1。

于是，Pareto Distribution的概率累計分布函數(shù)為：

其中，x_min和α是模型的參數(shù)。

x_min=1，α不同取值時的Pareto Distribution概率密度圖像

x_min=1，α不同取值時的Pareto Distribution概率分布圖像

Pareto Distribution有如下性質(zhì)：

（1）當α>2時才有均值：

（2）當α>3時方差才收斂：

自然界中，冪律分布的參數(shù)α大多落在2~3之間。

為了近似擬合“80/20定律”，我們這里取α=3。

注意：“80/20定律”并不嚴格說明控制80%資源的關(guān)鍵部分就是20%，而是一個從圖像上得到的直觀籠統(tǒng)的概念。實際上，在當前假設(shè)下，無法求解關(guān)鍵部分的確切占比（如果對冪律分布做截斷處理，規(guī)定最大最小值，那么有可能設(shè)計出恰好的“80/20分布”）。

接下來，我們可以從以下兩個角度對其進行觀察分析。

第一個角度將從較為直觀的“80/20定律”出發(fā)，這個角度不存在嚴格的數(shù)學推導與證明。

假設(shè)你有一個擇偶條件A服從“80/20定律”，比如財富值。舉個具體的例子，若現(xiàn)在共有100個人，假設(shè)他們的財富分布表如下：

這意味著，你有80%的概率，遇到的人都屬于“長尾部分”（沒錢的那部分）。反過來說，如果你的擇偶條件對財富值有較高的要求，那么你只有20%的概率接觸到率先組成總財富80%的那個富裕集團的成員。

如果你放寬一些條件呢？遇到率先組成總財富90%的群體的成員的概率是多少呢？由于冪律分布極快的收縮性，這個概率也并不會很高，大約會在30%左右。也就是說，剩下70%的人總共的財富加起來才只占人類總財富的10%……

這說明了什么呢？說明這個世界上，絕大部分的人都挺窮……（啊，終于找到了安慰自己的理由）

也就是說，直觀上，“80/20定律”告訴了我們這么一個道理：真正的有錢人是真正的少，但他們是真真正正的有錢！你想遇到真正的有錢人的概率是真正的低，因為你身邊都是真真正正的窮人?。ó斎?，也包括我和你）

第二個角度我們將從概率密度函數(shù)的數(shù)學意義入手，詮釋冪律分布的準確意義。

讓我們回顧一下這張圖。

在數(shù)學上，概率密度f(x)是指隨機變量X落在某一點處“單位寬度”內(nèi)的概率。概率密度函數(shù)在某個區(qū)域上的積分，就表示了隨機變量X的取值落在該區(qū)域之內(nèi)的概率。

于是，上圖在概率統(tǒng)計上的意義即是，對于服從x_min=1，α=3的長尾分布的隨機變量X，X的取值落在[1,2.236]范圍之內(nèi)的概率是80%。

弄清楚這個之后，我們就可以將其和擇偶概率聯(lián)系起來了。

同前文所述的高斯分布一樣，這里的橫坐標表示某一個擇偶標準的度量，比如在這里我們假設(shè)擇偶標準A是財富值，橫坐標就表示財富等級，等級越高說明財富值越大，最小值1是當前系統(tǒng)內(nèi)的最小財富值等級。

我們先來算一下這個系統(tǒng)內(nèi)的財富值均值。根據(jù)前文的公式，有：

于是，均值μ=2。

假設(shè)你的擇偶條件是該系統(tǒng)內(nèi)財富值大于均值μ的人，那么概率為：

也就是說，你的要求僅僅是能夠達到平均水平就行，但是遇到滿足條件的人的概率也只有25%！

倘若你的要求稍微高一些呢？比如你想找到該系統(tǒng)內(nèi)該指標大于兩倍均值μ的人，概率為：

天吶！概率已經(jīng)驟降為6.25%了?。?！

（這個要求很高么？不高啊?。?/span>

可見，對于社會人文類的擇偶標準，哪怕你的要求看上去算是很寬松了，你遇到合適的人的概率也還是很低很低！這還只是一個擇偶標準的情況，現(xiàn)實中我們的擇偶標準肯定不止一個吧……

下面，我們將自然客觀擇偶標準和社會人文擇偶標準結(jié)合起來。我們之前討論過變量之間不獨立的問題，但是鑒于計算的可行性以及針對該問題我們可以近似認為擇偶標準之間相關(guān)性很低，這里我們假設(shè)變量兩兩獨立，以此來估算一個下界。

我們假設(shè)在兩類標準中各選兩個擇偶標準，則共有9種不同的寬松組合。

雖然這個概率只是一個下界（最差情況），但是相信大家還是能從中感受到一股寒意……并且我們這里只討論了四個擇偶標準，實際情況肯定還要比這個復雜多變，意味著真實概率可能比這個還要低……

還有一個更關(guān)鍵的問題，就算你很幸運地遇到了滿足你要求的人，但是你滿足對方的要求了嗎？

你喜歡別人，別人喜歡你嗎？你覺得對方是你的最佳選擇，對方或許都沒把你寫入備胎名單！（這些問題需要大家每日三?。。?/span>

沒錯，這就是你找不到合適的人的原因——因為在概率上，你已經(jīng)涼了！

好了，一首涼涼先送給大家！