數(shù)學(xué)可以被想象成很多事物：一門語言、一種工具、一個(gè)游戲。當(dāng)你努力做家庭作業(yè)或者準(zhǔn)備考試的時(shí)候，它可能不那么像是一個(gè)游戲。但是對(duì)于我來說，做研究最令人興奮的一個(gè)階段就是開始一個(gè)新的項(xiàng)目的時(shí)候。因?yàn)樵谶@個(gè)階段，你可以針對(duì)不同的觀點(diǎn)進(jìn)行有趣的嘗試。這有點(diǎn)兒像在廚房里嘗試不同的調(diào)味品。這比之后你努力記下發(fā)明出來的配方以免第二次做出來的味道不一樣要有趣得多。當(dāng)然，這比努力記下配方以免別人無法復(fù)制出來更加有趣。

所以作為開端，我會(huì)介紹一些關(guān)于無窮的有趣的觀點(diǎn)，借此我們可以活躍一下我們的頭腦，探索一下哪些關(guān)于無窮的觀點(diǎn)可能是正確的，而這些觀點(diǎn)的推論又是什么。數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)是通過邏輯理解事物。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們對(duì)于“無窮”的理解不精確的時(shí)候，邏輯會(huì)把我們帶到我們不曾設(shè)想的奇怪地點(diǎn)。數(shù)學(xué)家們往往會(huì)嘗試從不同的視角來感受什么可能是正確的或者錯(cuò)誤的。當(dāng)樂高最初被設(shè)計(jì)出來之前，設(shè)計(jì)者一定嘗試過很多不同的模型，而后才定稿完成最終的美妙設(shè)計(jì)。

一個(gè)數(shù)學(xué)家的“玩具”應(yīng)該像樂高一樣，足夠強(qiáng)大，能夠用來搭建事物，同時(shí)足夠靈活，能夠用來嘗試不同的可能性。如果我們關(guān)于無窮的模型讓一些基礎(chǔ)概念出現(xiàn)了矛盾，那么我們就必須回過頭去重新審視我們的模型。在最初的游戲之后，我們可能會(huì)多次回到我們的模型面前，因?yàn)槲覀儠?huì)發(fā)現(xiàn)我們對(duì)無窮的思考可能引發(fā)了各種各樣的問題。當(dāng)我們最終得到了一個(gè)牢固的邏輯的時(shí)候，我們所完成的模型可能會(huì)和最初的想象完全不同。這同樣會(huì)帶來一些我們之前不曾預(yù)期的結(jié)果。比如，一個(gè)奇怪的事實(shí)就是，無窮可能有很多不同的“尺寸”。換言之，一些事物會(huì)比另外一些事物“更加無窮”。這正是所有旅程的美妙之處——發(fā)現(xiàn)一些不曾預(yù)期的事物。

在之前的章節(jié)中，我列出了一些關(guān)于無窮的基本觀點(diǎn)，比如：

無窮會(huì)永遠(yuǎn)持續(xù)下去。

這是不是意味著無窮是一種時(shí)間、空間，或者長度呢？

無窮比最大的數(shù)字還要大。

無窮比我們能想到的任何巨大的事物都更大。

現(xiàn)在，無窮又有點(diǎn)兒像一種尺寸了?；蛘撸苍S是一種更加抽象的事物——一個(gè)數(shù)字，我們可以用這個(gè)數(shù)字來測量時(shí)間、空間、長度、尺寸，甚至任何我們想要測量的事物。接下來，我們會(huì)將無窮當(dāng)作一種數(shù)字做進(jìn)一步的研究。

無窮加一，它還是無窮。

換言之，

∞ + 1 = ∞

這看起來更像是關(guān)于無窮的基本原則。如果無窮是最大的事物的話，加上一并不會(huì)讓它變得更大——真的是如此嗎？如果我們?cè)诘仁絻蛇叾紲p去無窮呢？如果我們用大家熟悉的消除法，在等式兩邊都消除無窮，那么等式就變成了：

1 = 0

這簡直是一個(gè)災(zāi)難。一定有什么地方出錯(cuò)了。而下面的說法會(huì)導(dǎo)致更多的錯(cuò)誤結(jié)果。

無窮加無窮，它還是無窮。

這看起來好像是說，

∞ + ∞ = ∞

也就是說，

2∞ = ∞

現(xiàn)在，如果我們將兩邊都除以無窮的話，那么等式就變成了：

2 = 1

這成了另外一個(gè)災(zāi)難。現(xiàn)在，你幾乎能猜到我們?cè)谒伎甲詈笠粋€(gè)觀點(diǎn)的時(shí)候會(huì)發(fā)生什么。

無窮乘以無窮，它依舊是無窮。

如果我們把這句話寫成一個(gè)等式的話，就是：

∞ × ∞ = ∞

如果我們?cè)诘仁絻蛇叾汲詿o窮的話，就相當(dāng)于在等式兩邊各去掉一個(gè)無窮。等式就變成了：

∞ = 1

這可能是所有結(jié)果中錯(cuò)得最離譜的一個(gè)。無窮代表著最大的事物，肯定不會(huì)是 1 這么小。

到底是什么地方錯(cuò)了呢？問題就在于，我們像處理一個(gè)尋常的數(shù)字那樣處理無窮，而我們并不知道是不是能這樣處理它。我們?cè)谶@本書中將會(huì)首先學(xué)到的事情之一就是無窮不是什么。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)無窮肯定不是一個(gè)尋常的數(shù)字，繼而漸漸了解無窮可以是什么。這個(gè)旅程花費(fèi)了數(shù)學(xué)家?guī)浊甑臅r(shí)間，其中牽涉數(shù)學(xué)領(lǐng)域的很多重大的發(fā)展，集合論和微積分就是其中很好的例證。

上面的故事的關(guān)鍵在于，雖然無窮的概念很好建立，但是我們必須非常小心地處理它，否則就會(huì)發(fā)生相當(dāng)奇怪的后果。而這些都僅僅是開胃小菜。我們接下來會(huì)看見各種各樣的伴隨無窮發(fā)生的奇怪的事物，比如事物的無窮集合、有無窮個(gè)房間的旅館、無窮雙襪子、無窮條路徑、無窮多的點(diǎn)心。其中一些奇怪的發(fā)現(xiàn)就像“1 = 0”一樣，不僅僅奇怪，而且讓人不滿意。所以我們需要自己構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來避免這些情況。但是，也有其他一些奇怪的事物并不違背邏輯，它們僅僅是違背常理。這些奇怪的事物并不會(huì)給我們的邏輯帶來問題，卻會(huì)挑戰(zhàn)我們的想象力和思維方式，就好像科幻小說作家所塑造的那些擁有無窮生命、永生不老的人，或者擁有無窮的速度，能夠瞬間移動(dòng)的人一樣。

擁有無窮多房間的旅館

當(dāng)我們開始教孩子們數(shù)字的時(shí)候，我們總會(huì)給他們一些實(shí)物幫助他們思考，或者我們會(huì)在他們吃一些可計(jì)數(shù)的食物時(shí)，教他們?cè)趺从?jì)數(shù)，又或者，我們會(huì)教他們數(shù)自己吃了幾勺子食物。

如果我們想要一勺一勺地?cái)?shù)，一直數(shù)到無窮的話，那得花費(fèi)非常多的時(shí)間。事實(shí)上，我們下面要介紹的幾個(gè)例子確實(shí)有一點(diǎn)兒從一一直數(shù)到無窮的意味在里面。但是在做這些事情之前，我們還是先看一個(gè)已經(jīng)是無窮的例子——一個(gè)擁有無窮多房間的旅館。 想象一下，一個(gè)旅館里面有無窮多個(gè)房間，房間的編號(hào)是1、2、 3、4……直到無窮（見圖 2–1）。

現(xiàn)在假設(shè)你是這個(gè)旅館的經(jīng)理。你面對(duì)的情況是每個(gè)房間都住了客人，而你正沉醉在你所賺到的錢里面。這個(gè)時(shí)候，另外一個(gè)客人走了進(jìn)來，要求開一個(gè)房間。一方面，旅館已經(jīng)住滿了。另一方面，如果你能讓每一個(gè)客人都往后挪一個(gè)房間的話……

這個(gè)有無窮多個(gè)房間的旅館被稱作希爾伯特旅館。德國著名數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特使用這個(gè)栩栩如生的例子來描繪你開始思考無窮時(shí)可能遇到的問題。一個(gè)正常的旅館只會(huì)有有限的房間，住滿了就是住滿了。面對(duì)下一個(gè)客人，你根本就沒辦法安排，除非搭一個(gè)臨時(shí)建筑。然而，在一個(gè)擁有無窮多個(gè)房間的旅館中，你可以讓 1 號(hào)房間的客人搬到2 號(hào)房間，讓2 號(hào)房間的客人搬到3 號(hào)房間，讓3 號(hào)房間的客人搬到4 號(hào)房間，以此類推，我們總是能讓n 號(hào)房間的客人搬到 n + 1 號(hào)房間。因?yàn)槲覀冇袩o窮多個(gè)房間，每一個(gè)n 都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的 n + 1，所以每一個(gè)客人都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的新房間。這么做的話，1 號(hào)房間就空出來了，新的客人就可以入住了（見圖 2–2）。

這看起來是一個(gè)悖論，但是論證過程并沒有漏洞。唯一的問題就是這個(gè)結(jié)論與人們的直覺不相符。我們?cè)趺茨茉谝呀?jīng)完全住滿的旅館里再安排下一個(gè)客人呢？這和我們的直覺相悖的唯一原因就是我們太習(xí)慣于有限的旅館了。當(dāng)我們嚴(yán)肅地思考無窮，而不是模糊地想象無窮的時(shí)候，我們必須準(zhǔn)備接受一些可能會(huì)顯得有點(diǎn)兒奇怪的事物，甚至是看起來非常奇怪的事物。這也正是無窮的美妙之處。

我們想要做的是把“無窮”這個(gè)概念融入普通的數(shù)學(xué)中，而不改變其余的邏輯。就像科幻小說中永生不老的往往只有一個(gè)人，其他所有人都是有生老病死的普通人一樣。一些奇怪的事情可能會(huì)發(fā)生，但是我們并不想因此而毀掉關(guān)于這個(gè)世界的一些基本事實(shí)。言下之意就 是，我們并不希望因?yàn)閷o窮和數(shù)學(xué)交織起來研究而發(fā)生“1 = 0”這樣的事情。但是也許仍會(huì)有一些奇怪的新事物出現(xiàn)，就像這個(gè)擁有無窮多房間的旅館一樣。

希爾伯特旅館并不會(huì)挑戰(zhàn)現(xiàn)有的數(shù)學(xué)邏輯，它挑戰(zhàn)的僅僅是我們關(guān)于旅館的直覺。這個(gè)例子開拓了我們的眼界，讓我們意識(shí)到，在無窮的情況下可能會(huì)發(fā)生的奇怪逸事。

如果來了更多的客人呢？

如果來了第二位客人呢？很簡單，我們可以讓每個(gè)客人都多往后挪一個(gè)房間?，F(xiàn)在，原來住在1 號(hào)房間的客人搬到了3 號(hào)房間，原 來住在2 號(hào)房間的客人搬到了4 號(hào)房間，原來住在n 號(hào)房間的客人 搬到了n + 2 號(hào)房間。這就是數(shù)學(xué)的世界，我們不需要考慮搬房間所帶來的麻煩，我們只要開開心心地知道每個(gè)客人都有房間住就好了。

如果這兩位客人同時(shí)到達(dá)，我們可以從一開始就讓所有的客人都往后挪兩個(gè)房間。當(dāng)然，如果是三位客人同時(shí)到達(dá)的話，我們可以讓每個(gè)人都往后挪三個(gè)房間。以此類推，只要是有限數(shù)量的客人同時(shí)到 達(dá)，我們都可以用這種辦法安排（見圖 2–3）。

如果有無窮多的客人同時(shí)到達(dá)怎么辦？我們不能讓每個(gè)客人都往后挪無窮個(gè)房間。雖然這個(gè)方案聽起來好像有點(diǎn)兒道理，因?yàn)槲覀冇袩o窮多個(gè)房間。但是讓我們考慮一下某位特定客人的具體情況，比如1 號(hào)房間的客人。這位客人要搬到哪個(gè)房間去呢？“1 + ∞”號(hào)房間？這肯定不行，因?yàn)檫@就不是一個(gè)房間號(hào)。我們確實(shí)有無窮多 個(gè)房間，但是每個(gè)房間還是有一個(gè)有限的房間號(hào)的。所以并不存在 “1 + ∞”號(hào)房間，讓1 號(hào)房間的客人搬到“1 + ∞”號(hào)房間就等于這位客人還是沒有地方可以去。如果我們不能告訴客人們他們應(yīng)該搬到哪個(gè)房間去的話，那么我們就卡住了。

所以我們不得不表現(xiàn)得更加聰明一點(diǎn)兒。（處理數(shù)學(xué)問題經(jīng)常需要我們更加聰明，這也是數(shù)學(xué)看起來很難的一個(gè)原因。）我們可以讓每個(gè)客人都去房間號(hào)是原來房間號(hào)兩倍的房間。這樣，1 號(hào)房間的客人就去了2 號(hào)房間，2 號(hào)房間的客人就去了4 號(hào)房間，n 號(hào)房間的客人就去了2n 號(hào)房間。（見圖2–4）這樣就空出來無窮多個(gè)房間。我們?cè)趺磿?huì)知道這樣能行呢？我們知道本來已經(jīng)入住的客人都已經(jīng)搬到雙倍房間號(hào)的房間了，所以他們現(xiàn)在全都住在偶數(shù)號(hào)的房間里。換言之，所有奇數(shù)號(hào)的房間都已經(jīng)空出來了，而這樣的房間有無窮多個(gè)。

（未完待續(xù)）