最終還是下定決心寫關(guān)于集合的相關(guān)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)太多、太難，看似與我們的日常生活關(guān)系很大，卻又不知從何入手……還是從基本概念入手吧！

數(shù)學(xué)也是一種語(yǔ)言，從它的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容來(lái)看，這是一種比任何國(guó)家的語(yǔ)言都要完善的語(yǔ)言?！ㄟ^(guò)數(shù)學(xué)，自然界在論述；通過(guò)數(shù)學(xué)，世界的創(chuàng)造者在表達(dá)；通過(guò)數(shù)學(xué)，世界的保護(hù)者在講演。

狄爾曼

1.集合的概念

1.1概念

集合，簡(jiǎn)稱集，是數(shù)學(xué)中一個(gè)基本概念，也是集合論的主要研究對(duì)象。

在蘇教版集合被定義為：一般地，一定的范圍內(nèi)某些確定的、不同的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合（set）。集合中每一個(gè)對(duì)象稱為該集合的元素（element）,簡(jiǎn)稱元。

1.1.1對(duì)引言的解讀

實(shí)際上在此定義之前的引言部分還有一位名人的名言（也是本文的引言），估計(jì)許多老師對(duì)此名人名言視而不見(jiàn)，可能對(duì)為什么在此處寫此名言更是一知半解。真要說(shuō)出所以然來(lái)的話，原因大概有以下幾點(diǎn)吧！

第一，在教材的處理特色中說(shuō)：“引言說(shuō)明數(shù)學(xué)的來(lái)歷，提出本章的核心問(wèn)題或者研究方法?！?/p>

第二，斯托利亞爾說(shuō)：“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言不斷內(nèi)化、不斷形成、不斷運(yùn)用、不斷創(chuàng)新的過(guò)程。這個(gè)理由好像有點(diǎn)大、好像是個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都會(huì)有這個(gè)問(wèn)題，真的嗎？

第三，集合語(yǔ)言是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本語(yǔ)言。靈活的使用集合語(yǔ)言，可以簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容。高中數(shù)學(xué)只將集合作為一種語(yǔ)言來(lái)學(xué)習(xí)，學(xué)生將學(xué)會(huì)使用最基本的集合語(yǔ)言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，發(fā)展運(yùn)用語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力.?

第四，要求學(xué)生能針對(duì)具體問(wèn)題，恰當(dāng)?shù)厥褂米匀徽Z(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言）來(lái)表述相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容,在以后內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，應(yīng)盡量使用集合語(yǔ)言.

第五，注意與小學(xué)、初中所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系（初高中銜接自然）.?與“集合”有聯(lián)系的學(xué)生已學(xué)內(nèi)容如下（僅舉例，還有更多）：

日常生活中一類物體；

?數(shù)——自然數(shù)、整數(shù)、正分?jǐn)?shù)及其部分；?

? 點(diǎn)集，如：數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集、圓、角平分線、中垂線；?

?量的范圍，如函數(shù)的自變量的取值范圍；?

方程的根；?

不等式的解集……

1.1.2對(duì)概念描述文字的提問(wèn)（僅舉例，實(shí)際上還可以提出一些）

第一，為什么要用“一般地”的三個(gè)字？這是概念中最難理解的三個(gè)字。不知你看完全文之后能否給出自己的合理解釋。

第二，“一定范圍內(nèi)”說(shuō)明了集合應(yīng)該具有怎樣的特征？這個(gè)特征說(shuō)明了什么？

第三，為什么出現(xiàn)了“某些”，概念在此想表達(dá)什么？

第四，“確定的”說(shuō)明集合的元素具有怎樣的特征？具體問(wèn)題中要注意什么？同理，“不同的”也應(yīng)當(dāng)作出同樣的討論與理解！

第五，“一定范圍內(nèi)”與后面的“全體”指的是同一個(gè)整體嗎？

第六，這些“確定的、不同的”對(duì)象之間存在著先后（即“權(quán)力”大小、互相包含）的關(guān)系嗎？

第七，“對(duì)象”與全體之間的關(guān)系怎樣？是如何表示的？你會(huì)用數(shù)學(xué)的三種語(yǔ)言形式來(lái)表述這個(gè)問(wèn)題嗎？（當(dāng)然也包括上面的問(wèn)題）

……

康托爾

其實(shí)集合論的創(chuàng)立者格奧爾格·康托爾（1845.3.3～1918.1.6，德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人）在1897年最初給出集合的定義是：“一個(gè)集合就是指我們覺(jué)察到的或在我們思維中的一些確定的、不同事物的總體；這些事物稱為該集合的元素?！保ㄏ柌貙?duì)這個(gè)近代數(shù)學(xué)基石的集合論稱贊說(shuō)：“康托爾的集合論為我們創(chuàng)立了數(shù)學(xué)上最廣泛、最有力的一個(gè)分支，一個(gè)沒(méi)有人能把我們趕出去的天堂。”）

如果仔細(xì)推敲上述關(guān)于集合的描述，我們很容易發(fā)現(xiàn)它不像一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義；事實(shí)上每個(gè)數(shù)學(xué)概念都要依賴先于它而定義好的一些概念來(lái)定義，如果以此遞推，追根溯源，必然有一批最簡(jiǎn)明最原始的概念，已經(jīng)沒(méi)有比它更原始的概念來(lái)定義它們，集合概念就是這種原始概念之一。這種樸素原始的集合概念，是邏輯上惹是生非的根源之一（如拙文“打碎思維局限的枷鎖”中提到的歐式幾何與非歐幾何，簡(jiǎn)述就是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得把人們公認(rèn)的一些幾何知識(shí)作為定義和公理，在此基礎(chǔ)上研究圖形的性質(zhì)，推導(dǎo)出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。在其公理體系中，最重要的是平行公理，由于對(duì)這一公理的不同認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致非歐幾何的產(chǎn)生）。

1.1.3皮囊悖論

按照康托爾集合的概念，考慮26個(gè)英文字母組成的集合Ω，由于集合Ω不是一個(gè)英文字母，所以Ω?Ω，即有的集合不是自己的元素，這是比較容易理解與接受的。若考慮由含25個(gè)以上的元素組成的集合為元素組成的集合Λ，例如Ω∈Λ；因?yàn)楹?5個(gè)以上元素的集合不止25個(gè)，所以Λ的元素個(gè)數(shù)也超過(guò)了25個(gè)，于是Λ∈Λ。即按照康托爾的觀點(diǎn)，允許談集合是自己的元素，即存在A∈A的現(xiàn)象，也有B?B的現(xiàn)象，其中A,B是某些集合。由此可得到如下的悖論：

皮囊悖論：一個(gè)透明封閉的不可穿透的皮囊，里面裝了一些元素，于是構(gòu)成了一個(gè)集合A，按康托爾的觀點(diǎn)，如果A∈A，則表明了這個(gè)裝了固定的一些元素的皮囊又裝在自己里面。

1.1.4羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

1.1.4.1羅素悖論: 設(shè)性質(zhì)P(x)表示“x?x”，現(xiàn)假設(shè)由性質(zhì)P確定了一個(gè)類A也就是說(shuō)'A={x|x?A}'。那么問(wèn)題是:A∈A是否成立?首先，若A∈A，則A是A的元素，那么A具有性質(zhì)P，由性質(zhì)P知A?A;其次，若A? A，也就是說(shuō)A具有性質(zhì)P，而A是由所有具有性質(zhì)P的類組成的，所以A∈A。

羅素悖論還有一些更為通俗的描述，如理發(fā)師悖論、書目悖論。

理發(fā)師悖論：

在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的:'本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對(duì)各位表示熱誠(chéng)歡迎!'來(lái)找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見(jiàn)自己的胡子長(zhǎng)了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢?如果他不給自己刮臉，他就屬于'不給自己刮臉的人'，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢?他又屬于'給自己刮臉的人'，他就不該給自己刮臉。

理發(fā)師悖論與羅素悖論是等價(jià)的:如果把每個(gè)人看成一個(gè)集合，這個(gè)集合的元素被定義成這個(gè)人刮臉的對(duì)象。那么，理發(fā)師宣稱，他的元素，都是城里不屬于自身的那些集合，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己?這樣就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論。反過(guò)來(lái)的變換也是成立的。

1.1.4.2第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

從羅素悖論的表述中可以看出，字字句句都未違反康托爾樸素集合論的觀點(diǎn)，為什么會(huì)出現(xiàn)自相矛盾的事呢？要害就是允許寫A∈A，即談某些集合自己是自己的元素，亦即是前面提出的“皮囊悖論”的存在。于是，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)爆發(fā)了，從此打破了數(shù)學(xué)界一派歌舞升平的氣氛。

羅素悖論猶如晴天霹靂，使數(shù)學(xué)界一片嘩然，希爾伯特驚呼：“在數(shù)學(xué)這個(gè)號(hào)稱可靠性與真理性的模范里，每個(gè)人所學(xué)、所教、所用的概念及結(jié)構(gòu)和推理方法，竟導(dǎo)致不合理的結(jié)果；如果數(shù)學(xué)思考也失靈的話，那么我們到哪里去找可靠性和真理性呢？”不過(guò)好在經(jīng)過(guò)某些數(shù)學(xué)家的努力，他們拋出了一套所謂公理集合論的公理系統(tǒng)，按他們的公理規(guī)定，禁談A∈A，從而解除了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

可笑的是，在一些教師的課堂上、課件、甚至所謂名師的教案中居然出現(xiàn)了判斷Φ∈{Φ}是否正確之類的判斷題，真是讓人笑掉了大牙！

1.1.5關(guān)于集合概念教學(xué)的小故事

一位魚民非常喜歡數(shù)學(xué)，但他怎么也想不明白集合的意義。于是他請(qǐng)教數(shù)學(xué)家：“尊敬的先生，請(qǐng)你告訴我，集合是什么？”集合是不定義的概念，數(shù)學(xué)家很難回答那位漁民。

有一天，他來(lái)到漁民的船上，看到漁民灑下漁網(wǎng)一拉，許多魚蝦在網(wǎng)中跳動(dòng)。數(shù)學(xué)家非常激動(dòng)并告訴漁民：“這就是集合！”

這個(gè)故事對(duì)我的觸動(dòng)很大，故事的科學(xué)性與嚴(yán)謹(jǐn)性不是重點(diǎn)，重點(diǎn)是從中看到數(shù)學(xué)教師的責(zé)任是多么重要，你的精彩、有趣、易接受的講解將是孩子理解的關(guān)鍵，這也是教師值得付出一生的重要課題。

2.數(shù)學(xué)家康托爾

康托爾

集合論的創(chuàng)立者格奧爾格·康托爾，1845年3月3日出生于俄國(guó)圣彼得堡（前蘇聯(lián)列寧格勒）一個(gè)商人家庭。他在中學(xué)時(shí)期就對(duì)數(shù)學(xué)感興趣。1862年，他到蘇黎世上大學(xué)，1863年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)。

當(dāng)時(shí)柏林大學(xué)正在形成一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心，他在1867年的博土論文中就已經(jīng)反映出“離經(jīng)叛道”的觀點(diǎn)，他認(rèn)為在數(shù)學(xué)中提問(wèn)的藝術(shù)比起解法來(lái)更為重要。的確，他原來(lái)的成就并不總是在于解決間題，他對(duì)數(shù)學(xué)的獨(dú)特貢獻(xiàn)在于他以特殊提問(wèn)的方式開辟了廣闊的研究領(lǐng)域。他所提出的問(wèn)題一部分被他自己解決，一部分被他的后繼者解決，一些沒(méi)有解決的問(wèn)題則始終支配著某一個(gè)方向的發(fā)展，例如著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。

1869年康托爾取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久就升為副教授，并在1879年升為教授，他一直到去世都在哈勒大學(xué)工作。哈勒是一個(gè)小地方，而且薪金微薄?？低袪栐瓉?lái)希望在柏林找到一個(gè)薪金較高、聲望更大的教授職位，但是在柏林，那位很有勢(shì)力而且又專橫跋扈的克洛耐克處處（康托爾的老師）跟他為難，阻塞了他所有的道路，罵他是瘋子。原因是克洛耐克對(duì)于他的集合論，特別是他的“超窮數(shù)”觀點(diǎn)持根本否定的態(tài)度。由于用腦過(guò)度和精神緊張，從1884年起，他不時(shí)犯深度精神抑郁癥，常常住在療養(yǎng)院里。1918年1月6日他在哈勒大學(xué)附近的精神病院中去世。

因?yàn)榭低袪柕墓ぷ魇莻ゴ蟮?、是先進(jìn)的，自然也受到了很多有識(shí)之士的鼎力支持，聲援康托爾的數(shù)學(xué)理論。如希爾伯特說(shuō)：“康托爾的工作對(duì)我來(lái)說(shuō)是最值得欽佩的數(shù)學(xué)理論之花”，羅素則高呼：“康托爾破譯了圍繞著無(wú)限的諸多難題，這可能是我們這個(gè)時(shí)代值得夸耀的最偉大的的工作。”

集合論的誕生可以說(shuō)是在1873年年底。1873年11月，康托爾在和戴德金的通信中提出了一個(gè)問(wèn)題，這個(gè)問(wèn)題使他從以前關(guān)于數(shù)學(xué)分析的研究轉(zhuǎn)到一個(gè)新方向。他認(rèn)為，有理數(shù)的集合是可以“數(shù)”的，也就是可以和自然數(shù)的集合成一對(duì)一的對(duì)應(yīng)。但是他不知道，對(duì)于實(shí)數(shù)集合這種一對(duì)一的對(duì)應(yīng)是否能辦到。他相信不能有一對(duì)一的對(duì)應(yīng)，但是他“講不出什么理由”。

不久之后，他承認(rèn)他“沒(méi)有認(rèn)真地考慮這個(gè)問(wèn)題，因?yàn)樗坪鯖](méi)有什么價(jià)值”。接著他又補(bǔ)充一句，“要是你認(rèn)為它因此不值得再花費(fèi)力氣，那我就會(huì)完全贊同”。可是，康托爾又考慮起集合的映射問(wèn)題來(lái)。很快，他在1873年12月7日又寫信給戴德金說(shuō)：“我看到了這些事實(shí)，且嚴(yán)格證明它是真的，但連我自己也不敢相信他”?？低袪栆砸粋€(gè)有創(chuàng)新精神的大數(shù)學(xué)家的個(gè)性堅(jiān)持了自己的觀念，雄辯地證明無(wú)窮集合不再遵守有窮集合的很多規(guī)則嗎，不能僅憑常規(guī)的直覺(jué)和經(jīng)驗(yàn)來(lái)對(duì)待無(wú)窮集合，要靠嚴(yán)格的推理來(lái)行事。

有限和無(wú)窮的這個(gè)特點(diǎn)可以從下面的小故事反映出來(lái)，這個(gè)故事?lián)f(shuō)是希爾伯特說(shuō)的。

希爾伯特旅館

某一個(gè)市鎮(zhèn)只有一家旅館，這個(gè)旅館與通常旅館沒(méi)有不同，只是房間數(shù)不是有限而是無(wú)窮多間，房間號(hào)碼為1，2，3，4，……我們不妨管它叫希爾伯特旅館。這個(gè)旅館的房間可排成一列的無(wú)窮集合（1，2，3，4，…），稱為可數(shù)無(wú)窮集。

有一天開大會(huì)，所有房間都住滿了。后來(lái)來(lái)了一位客人，堅(jiān)持要住房間。旅館老板于是引用“旅館公理”說(shuō)：“滿了就是滿了，非常對(duì)不起！”。正好這時(shí)候，聰明的旅館老板的女兒來(lái)了，她看見(jiàn)客人和她爸爸都很著急，就說(shuō)：“這好辦，請(qǐng)每位顧客都搬一下，從這間房搬到相鄰的下一間”。于是1號(hào)房間的客人搬到2號(hào)房間，2號(hào)房間的客人搬到3號(hào)房間……依此類推。最后1號(hào)房間空出來(lái)，請(qǐng)這位遲到的客人住下了。

第二天，希爾伯特旅館又來(lái)了一個(gè)龐大的代表團(tuán)要求住旅館，他們聲稱有可數(shù)無(wú)窮多位代表一定要住，這又把旅館經(jīng)理難住了。老板的女兒再一次來(lái)解圍，她說(shuō)：“您讓1號(hào)房間客人搬到2號(hào)，2號(hào)房間客人搬到4號(hào)……，k號(hào)房間客人搬到2k號(hào)，這樣，1號(hào)，3號(hào)，5號(hào)，……房間就都空出來(lái)了，代表團(tuán)的代表都能住下了?！?/p>

過(guò)一天，這個(gè)代表團(tuán)每位代表又出新花招，他們想每個(gè)人占可數(shù)無(wú)窮多間房來(lái)安排他們的親戚朋友，這回不僅把老板難住了，連女兒也被難住了。聰明的女兒想了很久，終于也想出了辦法。（因?yàn)楸容^繁瑣，這里不詳細(xì)介紹了）

希爾伯特旅館越來(lái)越繁榮，來(lái)多少客人都難不倒聰明的老板女兒。后來(lái)女兒進(jìn)了大學(xué)數(shù)學(xué)系。有一天，康托爾教授來(lái)上課，他問(wèn)：“要是區(qū)間[0，1]上每一點(diǎn)都占一個(gè)房間，是不是還能安排？”她絞盡腦汁，要想安排下，終于失敗了?？低袪柦淌诟嬖V她，用對(duì)角線方法證明一切想安排下的方案都是行不通的。（關(guān)注后續(xù)文章為您解讀對(duì)角線方法）

康托爾是數(shù)學(xué)史上的奇才，他對(duì)數(shù)學(xué)的新奇思路和獨(dú)特創(chuàng)造，豐富的想象力以及耿直的人品，是后世每一個(gè)人的榜樣；康托爾的經(jīng)歷證明，科學(xué)之路是崎嶇的，新舊思想總是同路相斗。歷史證明，勝利往往屬于那些敢于堅(jiān)持真理敢于破舊立新的當(dāng)時(shí)被圍攻甚至是被辱為“瘋子”的革新者?？低袪柕拿钟肋h(yuǎn)鐫刻在人類科學(xué)的豐碑之上。

注：明天繼續(xù)講述集合的表示與康托爾的——對(duì)應(yīng)理論等問(wèn)題，至于集合的交并補(bǔ)運(yùn)算中因?yàn)闋砍兜骄唧w的知識(shí)、方法、策略、技巧等問(wèn)題會(huì)在最后一講專文刊出，也算是對(duì)高一新生一次免費(fèi)輔導(dǎo)吧！歡迎到時(shí)批評(píng)指正。