圖片來源：newscientist.com

代數(shù)和幾何不僅折磨著無數(shù)的中小學(xué)甚至大學(xué)生，它們之間撲朔迷離的關(guān)系也是上千年來數(shù)學(xué)家們的煩惱，很多著名的猜想至今仍懸而未決?？此坪敛幌嚓P(guān)的兩個數(shù)學(xué)分支，到底能否鵲橋相見呢？全世界的目光聚焦到了一位年輕的天才數(shù)學(xué)家身上，迷霧在輾轉(zhuǎn)反側(cè)中漸漸散開……

撰文 Gilead Amit

翻譯 孫英特

審校 阿金 徐文慧

編輯 徐文慧

當(dāng)小明的年齡是小紅的兩倍時，他正好跟小剛同年，那么當(dāng)小剛的年齡是小明現(xiàn)在的兩倍時，小紅會是現(xiàn)在的自己年齡的幾倍?

或者試試這個問題：兩名農(nóng)場主同時繼承了一塊正方形土地，其中包含了一片圓形耕地。在不知道土地和耕地具體尺寸，或者不知道圓形耕地具體位置的前提下，如何用一條直線將兩者精確地一分為二？

看到這里，你可能已經(jīng)捏了把冷汗，也可能拿出紙筆開始計算（等不及的話可以拉到文章末尾看答案）。這兩個問題都能算作“數(shù)學(xué)”問題，但它們又明顯不同。第一個是算術(shù)學(xué)問題，涉及的是從1、2、3一直往下數(shù)這樣的數(shù)的性質(zhì)。算術(shù)學(xué)關(guān)心的是獨(dú)立事物之間的數(shù)量問題，而不是它們的形狀或行為表現(xiàn)。另一個則是幾何學(xué)問題，一門基于連續(xù)性思想的學(xué)科：例如線、面和其他可測量的幾何對象的連續(xù)性，以及它們之間的空間關(guān)系。

長久以來，數(shù)學(xué)家都試圖在這兩門古老學(xué)科之間架起橋梁，想要構(gòu)建某種大統(tǒng)一理論。就在最近，一位年輕有為的數(shù)學(xué)家讓這兩門學(xué)科的距離縮小到前所未有。他前衛(wèi)革新的幾何見解不僅有望統(tǒng)一數(shù)學(xué)的不同分支，還可能有助于解決數(shù)論領(lǐng)域中最深奧的問題之一：素數(shù)之謎。數(shù)學(xué)界最高獎項菲爾茲獎（the Fields medals）頒發(fā)在即，斬獲獎?wù)聦@位年輕人來說如同囊中取物。

菲爾茲獎獎牌

圖片來源：fields.utoronto.ca

古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家亞里士多德（Aristotle）曾寫道：我們不能通過算術(shù)去證明幾何問題。他認(rèn)為幾何能幫助解決算數(shù)問題也是無稽之談。在當(dāng)時，這個觀點(diǎn)并無爭議，卻躲不過歷史風(fēng)霜的考驗。與亞里士多德幾乎同一時期的幾何之父歐幾里得（Euclid），沒有依賴數(shù)字，而是用作圖的方法將邏輯公理擴(kuò)展到證明中。數(shù)字仿佛立于另一個時空，幾何技巧求路無門。

這一狀況持續(xù)到了 17 世紀(jì)，直到法國人勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes）將代數(shù)技巧（解方程及活用抽象符號）與歐氏幾何結(jié)合，破開了數(shù)字與幾何間的堅冰。笛卡爾引入了坐標(biāo)系的概念，即點(diǎn)、線、面能用坐標(biāo)數(shù)值完美描述，讓幾何學(xué)家能夠用代數(shù)方法求解幾何問題。

笛卡爾坐標(biāo)系，用到了他發(fā)明的x軸y軸

圖片來源：wikipedia.org

這就像登陸月球的時候，我們終于能夠以準(zhǔn)確的角度和位置的將火箭發(fā)射出去。但對于純數(shù)學(xué)家而言，距離終點(diǎn)還有一半的征程。比方說，一個圓可以用代數(shù)方程精確描述，可是根據(jù)方程的解描點(diǎn)作圖得到的圖形，永遠(yuǎn)都不得全貌。一旦改變坐標(biāo)的單位系統(tǒng)（例如從 1 變成 π），就像純數(shù)學(xué)家常做的那樣，方程仍然成立，而繪圖讓人手足無措。

時間推移到 1940 年，另一個法國人安德烈·韋伊（André Weil）深受數(shù)字和幾何間鴻溝的折磨。 在德軍占領(lǐng)法國前的幾個月，韋伊因為拒服兵役而被拘禁于法國魯昂外的一所監(jiān)獄中。福兮禍兮，監(jiān)獄中的日子讓反讓他收獲頗豐。在一封給妻子的信里，他寫到：“如果只有在監(jiān)獄中我才能更好地工作，可能每年都被關(guān)上兩三個月才是我的最佳選擇。”

韋伊渴望找到代數(shù)與幾何間的“羅塞塔石碑”（Rosette stone，制作于公元前 196 年，用希臘文字、古埃及文字和當(dāng)時的通俗體文字，刻記了古埃及國王托勒密五世登基的詔書，刻文被用來作為語言翻譯用途），將一個領(lǐng)域內(nèi)的真理轉(zhuǎn)譯到另一個領(lǐng)域。越過重重困難，韋伊發(fā)現(xiàn)了零星的線索。

這就涉及到了黎曼猜想（Riemann Hypothesis），一個人盡皆知的素數(shù)分布問題。人們早就覺得這個猜想應(yīng)該有對應(yīng)的幾何解釋。上世紀(jì) 30 年代，橢圓曲線已經(jīng)得到代數(shù)證明?！芭c其弄清楚素數(shù)的分布，你可以轉(zhuǎn)化為思考曲線上到底有多少個點(diǎn)。”來自倫敦帝國理工學(xué)院（Imperial College London）的數(shù)學(xué)家安娜·卡拉亞尼（Ana Caraiani）解釋道。

圖片來源：mosaicscience.com

韋伊證明了黎曼猜想同樣適用于解更復(fù)雜的曲線，自古希臘時代就聳立在這兩門學(xué)科之間的高墻，似乎終于要開始瓦解。紐約哥倫比亞大學(xué)（Columbia University）的邁克爾·哈里斯（Michael Harris）說：“韋伊的證明為代數(shù)幾何學(xué)科建立了良好的基礎(chǔ)，一舉推翻亞里士多德當(dāng)時的觀點(diǎn)。

百萬美元猜想

素數(shù)是在大于 1 的自然數(shù)中，除了 1 和自身外，無法被其他自然數(shù)整除的數(shù)。素數(shù)的數(shù)量無窮無盡，在實(shí)數(shù)軸上的分布似乎也毫無規(guī)律可言。 但在 1859 年，波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）提出黎曼猜想，預(yù)測素數(shù)出現(xiàn)的頻率與簡單的黎曼 ζ 函數(shù)緊密相關(guān)。

直到現(xiàn)在，黎曼猜想已經(jīng)在前十萬億個素數(shù)上得到了證實(shí)，但仍未出現(xiàn)一個嚴(yán)格的證明。 為了突出這個問題的重要性，2000 年的時候，新罕布什爾州的克萊數(shù)學(xué)研究所（Clay Mathematics Institute）將其列為七大千年數(shù)學(xué)難題之一，并第一個得出正確證明的人設(shè)立了 $1,000,000 美元的獎金。

戰(zhàn)后年代，身處環(huán)境更舒適的芝加哥大學(xué)（University of Chicago），韋伊依然嘗試努力解決這一素數(shù)謎題，但始終沒有成功。隨后，接力棒傳到了亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）手上, 他是二十世紀(jì)最頂尖的數(shù)學(xué)家之一，在上世紀(jì) 60 年代重新定義了代數(shù)幾何學(xué)。

在一系列的學(xué)術(shù)創(chuàng)新之中，格羅滕迪克將一組整數(shù)稱為“譜”，簡記為 Spec(Z)。這個不可繪制的幾何實(shí)體上的點(diǎn)與素數(shù)密切相關(guān)。如果你能弄清它的整體形狀，或許就能洞悉素數(shù)的分布。如此這般，你便能建立一個橫跨代數(shù)和幾何的橋梁，直通黎曼猜想。

格羅滕迪克所尋求的 Spec(Z) 圖形，完全不同于我們熟悉的任何幾何對象，比如歐氏幾何的圓形三角形，或是笛卡爾坐標(biāo)系中的拋物線橢圓。 在這些平面上，一個點(diǎn)僅僅只是表面上的一個點(diǎn)，哈里斯說：“但是格羅滕迪克的點(diǎn)更像是從整個面的角度出發(fā)思考?！彼w了一個面的所有可能情況，比如在上面畫一個三角形或者橢圓，或是甚至將其卷曲起來，好像包裹在一個球上。

如果上面的敘述已經(jīng)讓你云里霧里了，那再正常不過啦。即便是格羅滕迪克本人都沒有試圖去理解 Spec(Z) 的幾何形狀，更不要說去解決黎曼猜想。這時彼得·舒爾茨（Peter Scholze）登場了。

莫名其妙卻前景光明

1987 年，舒爾茨出生在當(dāng)時東德的德累斯頓，現(xiàn)年 30 歲，是波恩大學(xué)的教授。 他在自己的博士論文中壘起了構(gòu)筑代數(shù)和幾何間橋梁的第一塊磚，成果發(fā)表于 2012 年，那時的他年僅 24 歲。文章中他大幅度地擴(kuò)充了格羅滕迪克的幾何思想，稱之為狀似完備幾何學(xué)（perfectoid geometry）。他的研究建立在 p 進(jìn)數(shù)（p-adics）的基礎(chǔ)上，和素數(shù)緊密相連。這個理論的關(guān)鍵是：在舒爾茨的狀似完備幾何學(xué)中，一個質(zhì)數(shù)能夠由與之相關(guān)的一個 p進(jìn)數(shù)來表示，類似于方程中的變量，由此，幾何方法得以應(yīng)用到代數(shù)領(lǐng)域中。

我已經(jīng)很難再做更多的解釋了。如哈里斯所言，舒爾茨的創(chuàng)新可以算作是“代數(shù)幾何中最深奧難懂的概念之一”，這門學(xué)科一向有著各種概念的晦澀艱深的特性，大多數(shù)活躍的數(shù)學(xué)家也都常感不知所云。

盡管如此，在過去的幾年中，舒爾茨和幾位領(lǐng)域中的開創(chuàng)者已經(jīng)使用這個方法，解決了代數(shù)幾何中許多的難題，收獲了極大的贊譽(yù)。他的合作伙伴卡拉亞尼說：“對一名數(shù)學(xué)家而言，舒爾茨真的是非常獨(dú)特。能和他在同一領(lǐng)域工作我感到十分興奮。

30歲的彼得·舒爾茨，今年菲爾茲獎的眾望所歸

圖片來源：Alamy Stock Photo

今年 8 月，全球的數(shù)學(xué)家將聚集在巴西里約熱內(nèi)盧，參加每四年舉辦一次的數(shù)學(xué)界盛宴。這場盛會最受人矚目的就是菲爾茲獎，每次都會有四名 40 歲以下的數(shù)學(xué)家被授予這最高殊榮，而這一次，有一個人成為了眾望所歸。牛津大學(xué)（University of Oxford）的馬庫斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）評論道：“假如彼得與今年菲爾茲獎失之交臂，我覺得唯一原因大概就是委員會覺得他太年輕了，還能再等個四年?！?/span>

各方面前景都一片光明，這讓 Spec(Z) 和黎曼猜想的懸而未決看起來只能靠邊站了。但是，考慮到格羅滕迪克革新的幾何學(xué)，舒爾茨的新方法能夠讓他進(jìn)一步研究其中的奧秘，就好像你在顯微鏡下檢驗 Spec(Z) 曲線上素數(shù) p 所對應(yīng)的點(diǎn)。當(dāng)然了，要理解整個曲線或者證明黎曼猜想仍然道阻且長, 而他的工作給數(shù)學(xué)家們帶來了希望：這個看似遙不可及的目標(biāo)可能終將實(shí)現(xiàn)?！岸@本身就是一個巨大的突破?！笨ɡ瓉喣嵴f道。

除此之外，這讓代數(shù)與幾何間的橋梁有了向不同方向構(gòu)建的可能。半個世紀(jì)的前的 1967 年，當(dāng)時 30 歲的普林斯頓數(shù)學(xué)家羅伯特·郎蘭茲（Robert Langlands）試探性地給韋伊寫了一封信，概述了一個宏偉的藍(lán)圖。“如果你愿意將其解讀為純粹的猜測，我會感激不盡，” 他寫道，“或者你手邊應(yīng)該有個廢紙簍?！?/span>

朗蘭茲在他的信中提出，數(shù)學(xué)上兩個差之千里的分支，數(shù)論（Number theory）和調(diào)和分析（Harmonic analysis）可能是相關(guān)的。信中包含的思想種子萌生成了朗蘭茲綱領(lǐng)（Langlands program），一系列影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)猜想，也被一些數(shù)學(xué)家稱為大統(tǒng)一理論，能夠統(tǒng)一數(shù)學(xué)中三個核心學(xué)科：算術(shù)、幾何和數(shù)學(xué)分析。其中數(shù)學(xué)分析是一門范圍及其寬廣的學(xué)科，包括了我們在學(xué)校中學(xué)習(xí)的微積分。包括舒爾茨在內(nèi)的全球數(shù)百位數(shù)學(xué)家，都致力于完善這門學(xué)科。

朗蘭茲猜想的完整版并不像黎曼猜想那樣，可能很快就能被證明出來，但這個思想寶庫中蘊(yùn)含了很多驚人發(fā)現(xiàn)：就像費(fèi)馬大定理（Fermat's last theorem），在提出后過了 350 年，才在 1994 年被英國數(shù)學(xué)家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）證明，而這只是朗蘭茲猜想中的一個特殊結(jié)果。最近，法國數(shù)學(xué)家洛朗·法爾格（Laurent Fargues）提出了一個新方法，以舒爾茨的研究為基礎(chǔ)來理解朗蘭茲綱領(lǐng)中與 p 進(jìn)數(shù)有關(guān)的部分。有傳言稱，部分結(jié)果可能會展示在里約熱內(nèi)盧的盛會上。

今年 3 月，朗蘭茲獲得了另一個重量級數(shù)學(xué)獎，阿貝爾獎（Abel prize），以表彰他畢生的成就?！奥L的等待之后，朗蘭茲思想的重要性才得到了認(rèn)可，”卡拉亞尼說，“這個大獎未免來得有些遲了?！笔鏍柎倪@次似乎不用等那么久。

p 進(jìn)數(shù)：數(shù)論領(lǐng)域的新寵兒

幾何和代數(shù)大統(tǒng)一研究的最新核心就是 p 進(jìn)數(shù)，即任意給定的素數(shù) p 的替代表示。從一個任意正整數(shù)創(chuàng)建出一個 p 進(jìn)數(shù)，就要將這個整數(shù)表示成 p 進(jìn)制的數(shù)，然后再反向表達(dá)。比如要把整數(shù) 20 表示成 2 進(jìn)數(shù)的形式，你就先寫出 20 的二進(jìn)制表達(dá) 10100，然后再倒序來寫，就是 00101。同樣的，20 的 3 進(jìn)數(shù)是 202，4 進(jìn)數(shù)是 011。

p 進(jìn)數(shù)的特點(diǎn)也會稍有不同，其中最明顯的是數(shù)的“距離”問題：若兩個數(shù)之差能夠被 p 的多次冪整除，那么這兩個數(shù)距離就“接近”，冪次越高，距離越近。例如，11 和 36 的 5 進(jìn)數(shù)就很近，因為它們的差是 5²。但 10 和 11 的 5 進(jìn)數(shù)就相隔甚遠(yuǎn)。

在 p 進(jìn)數(shù)發(fā)明后的幾十年內(nèi)，人們都只是將它當(dāng)作“數(shù)學(xué)玩具”，覺得沒有什么實(shí)際用處。直至上世紀(jì) 20 年代，德國數(shù)學(xué)家赫爾穆特·哈賽（Helmut Hasse）在二手書店里的某本小冊子上看見之后，為其著迷不已。他意識到 p 進(jìn)數(shù)指引了如何處理素數(shù)不可被其他數(shù)整除的特性，變成了解決復(fù)雜證明的一條捷徑。

自此以后，p 進(jìn)數(shù)就逐漸成為數(shù)論領(lǐng)域中的核心部分。懷爾斯在證明費(fèi)馬大定理的時候，幾乎每一步都涉及了 p 進(jìn)數(shù)的概念。

答案：小紅會是她現(xiàn)在年齡的3倍；將土地和耕地的中心連線即可

原文鏈接：

https://www./article/mg23831752-700-theorem-of-everything-the-secret-that-links-numbers-and-shapes/