昨日，一場(chǎng)盛況空前的宣講引爆了數(shù)學(xué)圈，89 歲的阿蒂亞爵士對(duì)黎曼猜想的證明吸引了全球的關(guān)注。也因?yàn)殛P(guān)注人數(shù)過(guò)多，現(xiàn)場(chǎng)直播「車禍」不斷：官方直播流崩潰，組織方不得不改用手機(jī)直播。 前期的手機(jī)直播質(zhì)量奇差，聲音和 PPT 內(nèi)容都不清晰，導(dǎo)致一些讀者（包括我們）漏掉了許多內(nèi)容。 數(shù)小時(shí)前，Heidelberg Laureate Forum 2018 官方終于在 YouTube 上放出阿蒂亞爵士的高清演講視頻，短短數(shù)個(gè)小時(shí)已經(jīng)有近 5 萬(wàn)次觀看。 有趣的是，我們觀察到黎曼猜想在中國(guó)引發(fā)的關(guān)注與討論更大。手機(jī)直播過(guò)程中，我們能看到很多彈幕都是中文；YouTube 視頻評(píng)論里也有很多人刷「666」（容我做個(gè)捂臉哭的表情 言歸正傳，YouTube 視頻存在一個(gè)問(wèn)題：PPT 畫面太小，看不到其中內(nèi)容。讀者們可以從以下鏈接回到阿蒂亞爵士視頻直播的界面，切換 PPT 與人物界面，查看高清 PPT 內(nèi)容： PPT 鏈接：https://hitsmediaweb./Mediasite/Play/35600dda1dec419cb4e99f706197a3951d 關(guān)于阿蒂亞爵士的證明 黎曼猜想關(guān)注的是素?cái)?shù)分布的問(wèn)題，而素?cái)?shù)指的是在大于 1 的自然數(shù)中，除了 1 和該數(shù)自身外，無(wú)法被其他自然數(shù)整除的數(shù)。之所以素?cái)?shù)這么重要，是因?yàn)樗诿艽a學(xué)中有非常廣泛的應(yīng)用，我們需要很大的素?cái)?shù)作為分解質(zhì)因數(shù)的元素才能保護(hù)信息。但是很快人們就發(fā)現(xiàn)，素?cái)?shù)是沒有分布的，也就是說(shuō)，我們無(wú)法根據(jù)某個(gè)分布尋找非常大的素?cái)?shù)，素?cái)?shù)是隨機(jī)的。 如果黎曼猜想被證明是正確的，那么它就表明素?cái)?shù)沒有什么突出的規(guī)律，也就是說(shuō)它們幾乎具有均勻的隨機(jī)性。如果黎曼猜想得到證明，它可以說(shuō)是驗(yàn)證了從 1 到 n 中平均有 N/ln(N) 個(gè)素?cái)?shù)，因此素?cái)?shù)基本上是按照 N/ln(N) 的均勻分布。注意這里的 N/ln(N) 只是代表我們機(jī)器學(xué)習(xí)中常見的數(shù)學(xué)期望，并不能說(shuō)確切地等于 N/ln(N) 個(gè)素?cái)?shù)。總之如果 Atiyah 證明了黎曼猜想，那么素?cái)?shù)還必須服從大數(shù)定理，這可能對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)的研究能有一些幫助。 Atiyah 的證明從理解物理學(xué)中的精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) α 出發(fā)，并發(fā)現(xiàn)依靠新的函數(shù) T(s)（也就是 Todd 函數(shù)），我們可以解決或至少為解決各種廣泛的問(wèn)題提供新方向，包括黎曼猜想。在整個(gè)演講中，Atiyah 首先介紹了復(fù)數(shù)的不可交換延伸：四元數(shù)（Quarternions）、復(fù)數(shù)、擴(kuò)展歐拉公式到四元數(shù)（Euler-Hamilton 公式）這些基礎(chǔ)概念，它們是進(jìn)一步提出新工具和證明方法的前提。 隨后 Atiyah 重點(diǎn)介紹了證明黎曼猜想的核心新工具，即 Todd 多項(xiàng)式函數(shù)，借助這一函數(shù)與指數(shù)的無(wú)限迭代，我們可以理解精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) α 并嘗試最終的黎曼猜想證明。其中精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) α 是物理學(xué)中的無(wú)量綱常數(shù)，它展示了原子物理學(xué)中原子譜線分裂的樣式。 對(duì)于證明黎曼猜想的核心 Todd function T(s) 函數(shù)，Atiyah 在文檔中給出了一些有趣的屬性：
Atiyah 將 Todd 函數(shù)稱為弱解析函數(shù)，這意味著它是解析函數(shù)族的弱限制。所以對(duì)于任何復(fù)數(shù)中的緊致集 K，T 都是解析的。如果 K 是凸集，那么 T 是自由度為 K(k) 的多項(xiàng)式函數(shù)。Todd 函數(shù)同樣是復(fù)合的，即弱解析函數(shù)的解析函數(shù)還是解析函數(shù)。 對(duì)于如何借助 Todd 函數(shù)證明黎曼猜想，讀者還是研讀那一頁(yè) PPT 吧： 這就是阿蒂亞爵士證明黎曼猜想的一頁(yè) PPT 尷尬的 QA 環(huán)節(jié) 在阿蒂亞爵士 45 分鐘宣講結(jié)束后，組織方安排了問(wèn)答環(huán)節(jié)。但人氣爆棚的現(xiàn)場(chǎng)到了 QA 環(huán)節(jié)卻一度陷入尷尬：主持人強(qiáng)調(diào)不要害羞、大膽提問(wèn)，但卻無(wú)人應(yīng)答，阿蒂亞爵士唯有揚(yáng)手「come on」。 冷場(chǎng)近一分鐘，一位印度口音的的小哥（來(lái)自人工智能領(lǐng)域，非數(shù)學(xué)背景）提出了第一個(gè)問(wèn)題：是否解決了黎曼猜想？ 阿蒂亞回應(yīng)說(shuō)，「這是由你的邏輯決定的。原始的黎曼猜想我是證明了，除非你是那種不接收反證法的數(shù)學(xué)家?！?/span> 他表示，人們傾向于接受直接事實(shí)，但我們的一些定理是反證法證明的，所以我認(rèn)為我可當(dāng)此榮譽(yù)。但他也補(bǔ)充說(shuō)，其證明沒有解決所有問(wèn)題，后續(xù)還有很多問(wèn)題，自己只是走了第一步（第一步就是解決方案），現(xiàn)在可以退休了。 第二個(gè)問(wèn)題：什么時(shí)候可以查看公開證明？ 阿蒂亞表示，其實(shí)他已經(jīng)寫了多篇論文，最長(zhǎng)的一篇是關(guān)于精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)。但發(fā)表不易，因?yàn)榈搅怂@個(gè)年紀(jì)，人們（雜志）就不再發(fā)表他的論文，年紀(jì)太大了，而且肯定有錯(cuò)。 但論文是可以看到的。一份是關(guān)于精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的，另一份正是昨天上午流傳的「5 頁(yè)預(yù)印版」論文。 阿蒂亞爵士也解開了這兩份論文為什么用谷歌文檔這樣不正式的方式傳播，「我甚至提交到了 arXiv 上，但它們不接收?！梗▽擂危┠挲g歧視啊！ 第三個(gè)問(wèn)題：你曾說(shuō)沒人相信黎曼猜想的任何證明，因?yàn)闆]人證明了它。你認(rèn)為人們會(huì)相信你嗎？或者說(shuō)你不在乎？ 阿蒂亞說(shuō)他確實(shí)在乎相信此證明的人，因?yàn)橛腥嗽f(shuō)過(guò)數(shù)學(xué)或者科學(xué)一般涉及兩個(gè)步驟：創(chuàng)造與傳播。如果你不宣傳自己的想法，就沒人知道。此外，一般人們不相信證明可能是因?yàn)樗侨碌南敕ā?/span> 學(xué)界反應(yīng)悲觀 在阿蒂亞的簡(jiǎn)短證明播出之后，學(xué)界對(duì)此評(píng)價(jià)稍顯冷淡。人們紛紛表達(dá)了對(duì)于證明黎曼猜想的悲觀看法，同時(shí)也表示了對(duì)阿蒂亞以往巨大貢獻(xiàn)的尊敬。無(wú)論如何，這種復(fù)雜的感情似乎在告訴數(shù)學(xué)圈外的我們：人類距離搞清楚這一「世紀(jì)猜想」還有一段距離。 「他在演講中所展示的內(nèi)容幾乎不可能成為能夠證明黎曼猜想的任何證據(jù)，」來(lái)自挪威科技大學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家 J?rgen Veisdal 表示，他此前也曾研究過(guò)黎曼猜想。「他的證明太過(guò)模糊，也太不具體了。」Veisdal 表示，他還需要更仔細(xì)地研究目前的證明，以得出更加明確的判斷。 《Science》在這位著名數(shù)學(xué)家演講后聯(lián)系到了他的幾位同事。他們對(duì)于當(dāng)事人給出的、基于不可靠關(guān)聯(lián)而得出的結(jié)論感到擔(dān)憂，并表示這次證明黎曼猜想的努力最終未能成功。但目前，因?yàn)轭櫦暗疥P(guān)系，還沒有同事或?qū)W生愿意公開提出批評(píng)。 加州大學(xué)河濱分校（University of California, Riverside）的數(shù)學(xué)物理學(xué)家 John Baez 是少數(shù)幾個(gè)愿意對(duì)阿蒂亞的主張發(fā)表批評(píng)意見的人之一?！冈撟C明只是將一個(gè)大膽的主張疊加在另一個(gè)之上，沒有任何關(guān)聯(lián)的論證和真正的證據(jù)?！笲aez 說(shuō)道。 對(duì)于各方的批評(píng)，阿蒂亞早有預(yù)料。他在演講之前的一封電子郵件中就表示：「演講的觀眾中會(huì)有睿智的年輕學(xué)者，以及經(jīng)驗(yàn)豐富的老科學(xué)家。我要做的是把自己拋入獅群之中，希望能夠全身而退?！?/span> 在數(shù)學(xué)論壇 MathOverflow 上，人們對(duì)于阿蒂亞爵士的證明也普遍持悲觀態(tài)度。Todd Trimble 表示：「在過(guò)去的五十多年里，阿蒂亞為數(shù)學(xué)界所做的貢獻(xiàn)無(wú)人能出其右，但今天他的證明『甚至不能說(shuō)它是錯(cuò)誤（not even wrong）』。正是出于這個(gè)原因，鑒于他的劃時(shí)代貢獻(xiàn)，他應(yīng)該獲得足夠的尊嚴(yán)?！?/span> 也就是說(shuō)，一些學(xué)者認(rèn)為阿蒂亞的證明思路成功的概率很低，同時(shí)也沒有經(jīng)過(guò)完整的證明（至少目前還沒有公開細(xì)節(jié)），從而談不上探討正確與錯(cuò)誤。 又有知乎網(wǎng)友稱，今天早上，清華大學(xué)數(shù)學(xué)系前系主任肖杰在一節(jié)代數(shù)課上對(duì)阿蒂亞的證明給出了自己的評(píng)價(jià)：「如果他那是對(duì)的，數(shù)學(xué)就完蛋了。」 |
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