【最小值問題】

（中華電力杯少年數(shù)學競賽決賽第一試試題）

習題1：外賓由甲地經(jīng)乙地、丙地去丁地參觀。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中點，原來就各有一位民警值勤。為了保證安全，上級決定在沿途增加值勤民警，并規(guī)定每相鄰的兩位民警（包括原有的民警）之間的距離都相等。現(xiàn)知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。

詳細講解：如圖5.91，現(xiàn)在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各處中點各有一位民警，共有7位民警。他們將上面的線段分為了2個2500米，2個4000米，2個2000米?，F(xiàn)要在他們各自的中間插入若干名民警，要求每兩人之間距離相等，這實際上是要求將2500、4000、2000分成盡可能長的同樣長的小路。

由于2500、4000、2000的最大公約數(shù)是500，所以，整段路最少需要的民警數(shù)是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。

（湖南懷化地區(qū)小學數(shù)學奧林匹克預(yù)賽試題）

習題2： 在一個正方體表面上，三只螞蟻分別處在A、B、C的位置上，如圖5.92所示，它們爬行的速度相等。若要求它們同時出發(fā)會面，那么，應(yīng)選擇哪點會面最省時？

詳細講解：因為三只螞蟻速度相等，要想從各自的地點出發(fā)會面最省時，必須三者同時到達，即各自行的路程相等。

我們可將正方體表面展開，如圖5.93，則A、B、C三點在同一平面上。這樣，便將問題轉(zhuǎn)化為在同一平面內(nèi)找出一點O，使O到這三點的距離相等且最短。

所以，連接A和C，它與正方體的一條棱交于O；再連接OB，不難得出AO=OC=OB。

故，O點即為三只螞蟻會面之處。

【最大值問題】

（全國第二屆'華杯賽'初賽試題）

習題1：有三條線段a、b、c，并且a＜b＜c。判斷：圖5.94的三個梯形中，第幾個圖形面積最大？

詳細講解：三個圖的面積分別是：

三個面積數(shù)變化的部分是兩數(shù)和與另一數(shù)的乘積，不變量是（a＋b＋c）的和一定。其問題實質(zhì)上是把這個定值拆成兩個數(shù)，求這兩個數(shù)為何值時，乘積最大。由等周長的長方形面積最大原理可知，（a＋b）×c這組數(shù)的值最接近。

故圖（3）的面積最大。

（臺北市數(shù)學競賽試題）

習題2：某商店有一天，估計將進貨單價為90元的某商品按100元售出后，能賣出500個。已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個。為了使這一天能賺得更多利潤，售價應(yīng)定為每個______元。

詳細講解：因為按每個100元出售，能賣出500個，每個漲價1元，其銷量減少10個，所以，這種商品按單價90元進貨，共進了600個。

現(xiàn)把600個商品按每份10個，可分成60份。因每個漲價1元，銷量就減少1份（即10個）；相反，每個減價1元，銷量就增加1份。

所以，每個漲價的錢數(shù)與銷售的份數(shù)之和是不變的（為60），根據(jù)等周長長方形面積最大原理可知，當把60分為兩個30時，即每個漲價30元，賣出30份，此時有最大的利潤。

因此，每個售價應(yīng)定為90＋30=120（元）時，這一天能獲得最大利潤。