我們?cè)谇叭v中主要講了如下內(nèi)容：

向量：就是一組量，水平排列就是行向量，豎直排列就是列向量。

我們規(guī)定了向量的內(nèi)積或者數(shù)積：就是向量對(duì)位的乘積和。以此我們可以刻畫向量的模，就是相同向量的內(nèi)積再開根號(hào)。而向量的指向通過(guò)射影的概念，用兩個(gè)向量的內(nèi)積比兩個(gè)向量的模來(lái)加以反映。兩個(gè)向量的平行與正交也進(jìn)行了定義。

矩陣：就是以列向量水平排列的行向量，反之也行。我們定義了幺陣，定義了矩陣的轉(zhuǎn)置，矩陣的加減乘法，定義了矩陣的轉(zhuǎn)置與矩陣的逆，這就建立了矩陣的基本運(yùn)算規(guī)則。

對(duì)于向量，可以有平行關(guān)系，一般來(lái)說(shuō)關(guān)系可以有相關(guān)與無(wú)關(guān)，相關(guān)的意思是：如果n個(gè)向量，其中一個(gè)向量可以用另外的向量線性組合表達(dá)出來(lái)，這n組向量就是相關(guān)的，反之是無(wú)關(guān)的。

N維空間就是指，給定n個(gè)相互獨(dú)立的向量，其線性組合形成的所有向量構(gòu)成一個(gè)n維向量集合，空間上可以定義向量的運(yùn)算。這n個(gè)獨(dú)立的向量叫做該空間的基底，空間是基底擴(kuò)張形成的集合。

n維向量空間的基底如果相互正交，則表達(dá)線性空間的向量會(huì)比較方便，這涉及矩陣的正交化問(wèn)題，我們后續(xù)會(huì)講如何做。

注意到我們所涉及的內(nèi)容大部分是從幾何出發(fā)引申出來(lái)的，長(zhǎng)度與方向已經(jīng)有了很好的表達(dá)，但面積體積這樣的概念卻并沒(méi)有包含在內(nèi)。這涉及到向量的另外一種乘法：外積。本講先回到線性代數(shù)的起點(diǎn)：解線性方程，我們講行列式，行列式可以看成方形矩陣的自運(yùn)算，用于實(shí)現(xiàn)矩陣值的量，國(guó)外多用determination這詞來(lái)表達(dá)其與矩陣的關(guān)系。

二階與三階行列式

定義：矩陣的行列式對(duì)應(yīng)著一個(gè)方矩陣的值，設(shè)A是個(gè)n元矩陣，

就是這個(gè)矩陣的行列式值。下面我們將利用矩陣與行列式的概念重新看看一次方程的解。

二元一次方程組可以寫成

并叫這個(gè)式子是二階行列式的話，那么方程的解可以寫成：

方程組有解的條件也變?yōu)?/p>

上面的做法沒(méi)有特別的新意思，就是把代數(shù)運(yùn)算整理成了一規(guī)整的的形式。

類似地對(duì)三元一次方程組

來(lái)說(shuō)解方程的過(guò)程如下，我們先不要怕麻煩，要通過(guò)代數(shù)運(yùn)算找出規(guī)律來(lái)。

方程有解的條件為：

注意到

也是非常規(guī)整的。

一般行列式的定義

矩陣的行列式對(duì)應(yīng)著一個(gè)方矩陣的值，設(shè)A是個(gè)n元矩陣，det（A)就是這個(gè)矩陣的行列式值。

其中：

我們已經(jīng)知道二階，三階行列式的計(jì)算方法了。四階行列式的算法可以寫成：

上式中D代表n階行列式，D_ij代表刪去i行j列后剩下的n-1階行列式，也叫余子式.

我們可以對(duì)n階行列式做遞歸定義：即由n-1階行列式描述n階行列式

對(duì)二三階行列式而言有

即任意的兩行或者兩列相互置換所得新的行列式差一個(gè)負(fù)號(hào)。下面我們來(lái)論證對(duì)于任意階的行列式都有這樣的性質(zhì)。

令D_ij，12表示一個(gè)行列式中刪去，i，j行，1，2列后剩余的行列式。

實(shí)際操作時(shí)，可以有兩種方式獲得D_ij，12

<1>.對(duì)D_i，1刪掉其中對(duì)應(yīng)于D的j行與2列

<2>. D_j，2刪掉對(duì)應(yīng)于D的i行與1列

將上面的1或者2用任意小于n的整數(shù)k加以替換，推導(dǎo)依然正確，再考慮到

推論1

行列式D中任意兩列或者任意兩行的交換后得到的新行列式是原來(lái)行列式的相反數(shù)，也就是說(shuō)做行或者列交換，行列式值變號(hào)。

證明：列1<->i，1<->j,j<->1

則1復(fù)原，i，j交換，依次考慮計(jì)算D的過(guò)程，三種情況D的符號(hào)變了3次，所以D變號(hào)。

推論2

如果行列式中兩行或者兩列相同，則行列式的值為0。

對(duì)下面的n元方程

系數(shù)矩陣可以寫成

對(duì)n元方程（*）的每個(gè)方程施以運(yùn)算

右邊是

所以n元方程有解的條件為系數(shù)行列式的值不為0，解方程的問(wèn)題就變成了算行列式的問(wèn)題。這就是解線性方程組的主要理論。

有了這四講墊底，想深入學(xué)習(xí)的可以找大學(xué)線性代數(shù)教材自學(xué)了，最好找歐美法風(fēng)格的入門級(jí)線代課本。網(wǎng)絡(luò)上流傳很廣的一個(gè)視頻是可汗學(xué)院出品的一個(gè)可視化從物理，數(shù)學(xué)，信息科學(xué)的角度來(lái)看矩陣的，國(guó)內(nèi)洗稿者不計(jì)其數(shù)，至少頭條就有幾篇高點(diǎn)擊率的。站位并不高，只是國(guó)內(nèi)高中與大學(xué)線性代數(shù)缺乏銜接，所以大學(xué)生特別是一般的大學(xué)生覺(jué)得線性代數(shù)很抽象，很無(wú)用而已。

這四講仔細(xì)讀過(guò)，再結(jié)合研究生考綱，研究生入學(xué)考試的線性代數(shù)的基本基礎(chǔ)也就有了。教育要革命，學(xué)制要縮短，我信這個(gè)，呵呵。