下面我們構造參照系，然后借助參照系考察什么樣的運動可能是剛體運動。為了討論方便，先引入現代代數中很重要的一種運算，即矩陣運算。矩陣運算在本質上是一種特殊的乘法運算，是一種符號表示，我們將會看到，利用這種符號表示來討論幾何問題是非常方便的。

矩陣運算 在二維空間，用大寫字母A,B,C等表示矩陣，用小寫字母a,b,c表示矩陣中的元素；用大寫字母X,Y,Z等表示點，即二維向量，用小寫字母x,y,z表示向量中的元素。如（2）式所示

稱一個矩陣為單位矩陣，如果這個矩陣的對角線元素均為1，即a₁₁=a₂₂=1;非對角線元素均為0，即a₁₂=a₂₁=0。我們用I表示單位矩陣。

定義矩陣加法A+B為矩陣的對應元素相加，因此加法的和仍然是一個矩陣。定義矩陣乘法AB為A的行與B的列的對應元素相乘后相加，如（3）式所示。

由定義容易驗證，矩陣乘法不滿足交換律，即AB≠BA。

下面，我們定義矩陣的逆運算。對于矩陣A，如果存在一個矩陣與A的乘積為單位矩陣，則稱這個矩陣為A的逆矩陣，表示為A^-1，即有A^-1A=AA^-1=I。特別是，如果一個矩陣A滿足A’=A^-1，則稱這個矩陣A為正交矩陣，即A是正交矩陣當且僅當AA’=A’A=I。對于給定矩陣A，定義數量a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁為矩陣A的行列式，容易驗證矩陣A為正交矩陣的充分必要條件是A的行列式為1或者-1.