九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)課專題《旋轉(zhuǎn)》教學(xué)設(shè)計(jì)

——2019年3月26日赴泰州市智堡實(shí)驗(yàn)學(xué)校學(xué)習(xí)

     旋轉(zhuǎn)問題在陜西中考填空題14題、解答題25題中常常出現(xiàn)，很多學(xué)生的思維僅停留在表面，遇到此類問題不知如何思考，也不知解決這一問題的方法和技巧.

     聽了泰州市智堡實(shí)驗(yàn)學(xué)校李光紅老師的專題《旋轉(zhuǎn)》復(fù)課，使我認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)復(fù)課可以在變式中思考變式中歸納變式中升華.下面讓我們先從學(xué)習(xí)目標(biāo)開始欣賞李老師設(shè)計(jì)藝術(shù)：

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、復(fù)習(xí)鞏固旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，初步學(xué)會(huì)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換解決相關(guān)問題。

2、經(jīng)歷運(yùn)用變換思想解決相關(guān)問題的過程，積累解題活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).

3、勤于思考、善于交流，用聯(lián)系的觀點(diǎn)自覺概括提煉解題方法和策略.

首先，李老師設(shè)計(jì)了一個(gè)基礎(chǔ)作圖，目的就是復(fù)習(xí)鞏固旋轉(zhuǎn)變換的基本性質(zhì).題目如下：

問題1：

   將圖中的ΔAEC繞著點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到ΔAE'C' .在操作實(shí)踐的基礎(chǔ)上，請(qǐng)結(jié)合圖形，說說你能得出哪些結(jié)論？

其次，李老師在問題1之上，又提出連接EE'之后，你又能得到什么結(jié)論？思維更盡一步.

（1）如圖1-1所示，連接EE' ，你又能得出哪些結(jié)論？

簡(jiǎn)析：利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)“邊”“角”的關(guān)系，讓學(xué)生自然判斷ΔAEE'是等腰直角三角形.

（1）繼續(xù)追問：如果連接EE' 、CC' .那么ΔAEE'與ΔACC'有怎樣關(guān)系？(編者自加上的，原設(shè)計(jì)沒有，加的主要目的是為了給自己學(xué)生教學(xué)所用)

簡(jiǎn)析：ΔAEE'∽ΔACC'  理由：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知：AC=AC',AE=AE',∠CAC'=∠EAE'

所以:AE'/AC'=AE/AC.所以ΔAEE'∽ΔACC'.

   這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了變換中的“旋轉(zhuǎn)型相似”，有深度也有廣度，學(xué)生可以順著這樣的思維繼續(xù)下去......

有了問題1的鋪墊李老師拋出問題2讓學(xué)生思考：如何通過旋轉(zhuǎn)變換來解決這一問題.學(xué)生展開討論：有兩種聲音：

問題2

如圖2所示，在RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC,點(diǎn)D、E在BC上，∠DAE=45°，BD=1,CE=3,求DE的長(zhǎng).

簡(jiǎn)析：由于AB=AC且共頂點(diǎn)A，故有兩種旋轉(zhuǎn)方式，

這里對(duì)第一種聲音詳細(xì)說明:

第一步：旋轉(zhuǎn)作圖：將ΔABD繞A點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到ΔACD'.

第二步：說理：則∠B=∠ACD'=45°,

∠ECD'+∠ACD'=45°+45°=90°.

易證：ΔADE≌ΔAD'E,得到DE=D'E.

第三步：計(jì)算：連接ED',在在RtΔECD'中，ED'=根號(hào)10，則DE=根號(hào)10.

第二種聲音是：將ΔACE繞A點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到ΔABE'.也可完成.

通過合作探究歸納學(xué)習(xí)方法：

“共頂點(diǎn)，等線段，用旋轉(zhuǎn)”九字方針.

另附其他思想方法：

（1）軸對(duì)稱思想，如圖2-2所示.

（2）半角模型可直接“秒殺”此題.

變式思考：（編者加：添加“半角模型”學(xué)生課后完成）

變式1：如圖2-4所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1/2∠BAD，BE=1、DF=3、求EF的長(zhǎng).

變式2：如圖2-4所示，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=1/2∠BAD，BE、DF、EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立，請(qǐng)證明.

變換方式，順手拋出問題3，小組合作，繼續(xù)探討：

問題3：如圖3所示，在RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC,點(diǎn)D在ΔABC的內(nèi)部，AD=1,BD=根號(hào)3,CD=根號(hào)5,求∠BDA的度數(shù).

為了能讓學(xué)生真正熟練掌握“共頂點(diǎn)，等線段，用旋轉(zhuǎn)”九字方針.李老師直接將問題3中的等腰直角三角形改為等邊三角形，在問題3的基礎(chǔ)上自己編一道運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的類似題目，學(xué)生們都“動(dòng)”了起來，課堂更加“活”了，經(jīng)過大約5分鐘時(shí)間，很多學(xué)生畫出了圖形，列舉出了很多，這里我舉例如下：

自主編題：

將問題3中的等腰直角三角形改為等邊三角形，編寫一道運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換方法能夠解決的與問題3類似的問題：

緊接著，李老師改變題目，給出問題4，沒有直接給出圖形是等腰，而是隱含等腰三角形，讓學(xué)生自己去挖掘.

問題4 如圖在四邊形ABCD中，AD=4,CD=3,∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，則BD的長(zhǎng)為      .

簡(jiǎn)析：此題隱含等腰直角三角形，“共頂點(diǎn)，等線段”兩種思路：

（1）將ΔABD繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔACD'

（2）將ΔACD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔAD'B

隨著學(xué)生解決此類題能力的提高，問題5自然而然出來了：等腰、動(dòng)點(diǎn)、最值.既有一般旋轉(zhuǎn)的方法，又有捆綁變換，視野開闊，情趣交融；受益匪淺.同時(shí)也給我們以后的教學(xué)指明了方向.

問題5：如圖，BD為⊙O的直徑，BD=2，點(diǎn)A為半圓上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)、以AB為腰作等腰直角三角形ABC，則線段OC長(zhǎng)度的最大值是           .

思路一：“共頂點(diǎn)，等線段”如圖所示，將ΔACO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到ΔABO'.連接OO',易知：OO'=根號(hào)2，OB=1.在ΔBOO'中，OC=BO'≤OO'+OB.即：OC≤根號(hào)2 +1

思路二：(瓜豆原理)下面詳細(xì)說明：此題中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑可以看成是由點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°再通過位似變換放大根號(hào)2倍得到的.故點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡也是圓.此時(shí)可根據(jù)點(diǎn)圓的距離確定OC的最大或最小值.

首先，我們確定圓心，點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)，則將O點(diǎn)繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到O'，即點(diǎn)C在⊙O'上運(yùn)動(dòng).其次確定⊙O'的半徑.⊙O的半徑為1，通過位似放大后⊙O'的半徑為.故，OC≤OO'+CO'=1+根號(hào)2(當(dāng)C、O'、O在同一直線上時(shí)取等號(hào))此題，體現(xiàn)了圖形變換“捆綁”思想.也是網(wǎng)絡(luò)上所說的“瓜豆原理”.

到此，這節(jié)課完美結(jié)束.留給學(xué)生是數(shù)學(xué)思維的提升、變換思想的升華.

附陜西近端?？夹D(zhuǎn)試題：

（2019年西安交大附中中考二模14題）

1、如圖6所示，在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD,AE⊥BC于點(diǎn)E，若AE=17,BC=8,CD=6,則四邊形ABCD的面積為        .

（2019年陜師大附中中考三模25題）

2、如圖7所示，在四邊形ABCD中，∠B=60°,∠D=30°,AB=BC.

（1）求∠A+∠C的大小       .

（2）如圖7所示，連接BD，探究AD、BD、CD三者之間的等量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖7-1所示，若AB=1,求四邊形ABCD面積的最大值.

（2019年西安鐵一中中考一模14題）

3、如圖8所示，已知AC=2根號(hào)2,以AC為弦的⊙O上有B、D兩點(diǎn)，且∠BAC=∠DAC，則四邊形ABCD面積的最大值是         .

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