《九章算術(shù)》
一、內(nèi)容
《九章算術(shù)》分類搜集了246個問題，并給出了每個問題的解答，顯然該書旨在對當(dāng)時的數(shù)學(xué)知識作出全面敘述。其內(nèi)容遵循這樣一套格式：每舉出一個問題之后，緊接著是數(shù)值答案，然后是解題的詳細(xì)過程。每個問題都以特殊的數(shù)字實例來表述。在缺乏代數(shù)表示法的情況下，解題方法用修辭法來表述，即描述對于數(shù)據(jù)所實施一系列算術(shù)運算的語言指令。它從未明確嘗試想要證明所用方法的有效性。
《九章算術(shù)》把所有問題按以下標(biāo)題作了分類：
（1）方田：給出了求得矩形、三角形、梯形、圓形、弓形、扇形、環(huán)形等各種形狀田畝面積的法則。就直線構(gòu)成的圖形而言，所給出的法則是精確的；在計算圓形的面積中設(shè)定π=3；而對于弓形、扇形所給出的法則是近似的。此外，本章還闡明了分?jǐn)?shù)運算的法則。
（2）粟米：本章首先列出了不同谷物之間的兌換比率表，它處理的是一種給定量的谷物與另一種谷物之間的兌換問題。此外，與此有關(guān)的出錢問題也有所處理。
（3）衰分：本章諸問題講述了在不同等級的團(tuán)體之間，分配數(shù)量隨著爵位次第、應(yīng)納賦稅等的差別而不同，此外還處理了更復(fù)雜的比例問題。
（4）少廣：在已知某圖形面積及一邊之長的情況下，求得未知邊的長。此外，還給出了已知正方形面積求其一邊之長的法則（開平方根），以及由已知立方體體積求其邊長（開立方根）。這些均依靠籌算術(shù)語得到表達(dá)。
（5）商功：對土方工程的規(guī)模及挖掘各種形狀土方量的計算。
（6）均輸：探討由于評估征稅負(fù)擔(dān)而引起的混合計算問題，本章后一部分含有包括追及問題在內(nèi)諸問題的解決答案。
（7）盈不足：考慮的是聯(lián)合購買的問題。相當(dāng)于y=ax類型的方程。這些問題依據(jù)因假設(shè)檢驗答案所產(chǎn)生的盈與不足而得到解決（相當(dāng)于中世紀(jì)歐洲的“試位法”）。
（8）方程：本章所解決的問題相當(dāng)于聯(lián)立一次方程組。數(shù)據(jù)在算籌板上排成矩陣，其操作運算相當(dāng)于現(xiàn)代代數(shù)中的消元法。正、負(fù)數(shù)的運算也有所描述。
（9）句股：本章處理畢哥達(dá)拉斯定理的各種應(yīng)用。實際上后一部分的某些問題涉及到二次方程的解法，其中至少有兩例以完全相同的形式見于公元九世紀(jì)印度數(shù)學(xué)的成果之中（邁索的瑪哈維拉）。
《九章算術(shù)》為世界上現(xiàn)存最早的全面總結(jié)算術(shù)成就的教科書。盡管其問題全都在擬設(shè)的實際情況之中來表述，但遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止是一部為計算和計量而作的官方手冊，而且從其自身來看，該書的佚名作者顯然對數(shù)學(xué)理論自身感興趣。這部著作對后世中國數(shù)學(xué)的發(fā)展擁有權(quán)威性和重大影響，而其中令人遺憾的結(jié)果則是中國數(shù)學(xué)家曾因一味遵循它所建立的模式而受到限制。無論一個問題的理論興趣有多強(qiáng)，它總不得不靠某種實際需要而加以激勵（常常帶有明顯的矯揉做作）。
二、成書
《九章算術(shù)》連貫性及條理性足以表明它很可能由單一作者寫成或編纂而成。它屬于漢代著作，這從來無人置疑，但它所包含的數(shù)學(xué)知識中有很多至少可以追溯到戰(zhàn)國時代。撇開如此豐富的理論內(nèi)容不可能突然迅速發(fā)展起來這一點不說，就算是先秦最小的國家，如果沒有能夠解決《九章算術(shù)》中所講的許多有關(guān)計量以及財政、人力的分配問題的疇人，也不可運作國家事務(wù)。
值得考慮的是早在《九章算術(shù)》之前，就可能存在將數(shù)學(xué)分為九部分的傳統(tǒng)，由此影響了這部著作所采用的結(jié)構(gòu)。九分系統(tǒng)首次出現(xiàn)于至少成書于漢初的《周禮》之中，根據(jù)該書所載的古代政府的理想方案，貴族子弟由為人熟知的保氏官教以六藝，每藝之下又分細(xì)目，因此有了五禮、六樂等等。所教的六藝中最后一藝為九數(shù)，即九種計算方法。與其他幾藝一樣，《周禮》并沒有列出九數(shù)的細(xì)目。
現(xiàn)存最早的有關(guān)對九數(shù)的嘗試性解釋是由鄭眾（83年卒）作的，而后由鄭玄（127-200）在為《周禮》相應(yīng)的章節(jié)作注時所引用（見《四部叢刊》，卷四，第8頁上）。前八部分細(xì)目與現(xiàn)在通行的《九章算術(shù)》本中前八目相同，僅僅除了第七目與第八目位置互換及另兩目因用字不同而造成的細(xì)微差異（即以“差分”代替了“衰分”，以“贏不足”代替了“盈不足”，后者變化的產(chǎn)生也許是由于避漢惠帝的名諱）。第九部分細(xì)目不是勾股，而是“旁要”這樣一個未知含義的術(shù)語。鄭眾所列出的顯然在他那個時代已經(jīng)過時，因為他又補(bǔ)充說：“今有重差（運用相似直角三角形的通常術(shù)語）、夕桀（其詞義尚未可知）、句股也?！痹械募?xì)目差不多肯定可以追溯到西漢時期，而上述的三個新詞中以勾股取代旁要，是很富啟發(fā)的。《九章算術(shù)》流行于鄭玄那個時代，據(jù)說鄭玄通曉此書（見《后漢書》卷三十五，第1207頁）。更重要的是，據(jù)說馬融之兄馬續(xù)也善《九章算術(shù)》，而且他一定在鄭眾死后不久研究過此書（《后漢書》卷二十四，第862頁）。
《九章算術(shù)》在東漢初期已經(jīng)十分流行，這似乎是很清楚的，但有關(guān)它更早的歷史卻是模糊不清。公元三世紀(jì)的注釋者劉徽（見下文）在其序文中，正確地觀察到了《九章算術(shù)》表露其為漢代作品的跡象，例如有關(guān)行程的問題中常常提及到長安的日程。由于劉徽把《周禮》視為真實記錄周代初期政府的經(jīng)典，他確信在先秦時期就已存在《九章算術(shù)》的舊文。進(jìn)而他顯然又把鄭玄所列細(xì)目作為這樣一部古書的內(nèi)容，因為他注意到今本“與古或異”。至于他有關(guān)《九章算術(shù)》由張蒼（公元前？-前152）因遺殘舊文刪補(bǔ)而成的說法，除了張蒼是以擅長數(shù)學(xué)著稱于世的名流這一事實之外（見《史記》卷九十六，第2676頁），似乎沒有其他依據(jù)。
直到最近，看來才明了《九章算術(shù)》不太可能早至張蒼那個時代。已知第六個細(xì)目“均輸”最早是作為公元前110年（《史記》卷三十，第1441頁）漢武帝所采用的經(jīng)濟(jì)措施中的一個詞語而用的，而且在“均輸”卷的第九個問題中所提到的上林苑和太倉皆為武帝時有名的建筑。此外，《九章算術(shù)》沒有出現(xiàn)于《漢書"藝文志》所著錄的數(shù)學(xué)典籍中，這些著錄的書目只是照錄了由劉歆（公元前46-23）及其父親劉向（公元前79-前8年）經(jīng)過詳盡研究之后、大約于公元前六年左右呈送給皇帝的一個清單而已。很難相信這樣一部在后漢很有影響的著作，假如在公元前一世紀(jì)就已流行，卻沒有被劉歆他們注意到，因此看來它很有可能遲至王莽統(tǒng)治時期（9-23）才編成。公然依附《周禮》體制是王莽管理國家事務(wù)的一個重要的基準(zhǔn)，而他的統(tǒng)治對于恢復(fù)“九數(shù)”中古老課目的試圖來說是一個有利時期。
《九章算術(shù)》的作者仍然是個謎，然而1983至1984年在湖北省江陵縣張家山247號漢墓中所發(fā)現(xiàn)的幾部竹簡書已弄清一些背景情況。其中有一部名為《算數(shù)書》，其體例及內(nèi)容看上去與《九章算術(shù)》的體例內(nèi)容有密切的關(guān)系。這部著作損壞嚴(yán)重，因而迄今只頒布了有關(guān)其內(nèi)容的一段簡短而初步的敘述（見杜石然《江陵張家山竹簡〈算數(shù)書〉初探》，《自然科學(xué)史研究》1988年第7卷第3期，第210-214頁）。張家山漢墓屬于公元前二世紀(jì)前半期，接近于張蒼的那個時代，故引人關(guān)注。由于出于同一墓中的另一文獻(xiàn)包含了原先認(rèn)為是在公元前約110年左右才被采用的“均輸”一詞（見上文），因而把《九章算術(shù)》的時代標(biāo)定得更早看來并非那么不可能。
三、注釋本
最早對《九章算術(shù)》作注釋的可能是徐岳（活躍于220年左右），據(jù)說他也是至今尚存的《數(shù)術(shù)記遺》一書的作者。他的注釋一直到隋唐都為人所知，但到宋代卻失傳了。至今尚存的最早注釋為劉徽所作，據(jù)《隋書》卷十六，第404頁載，劉徽作注于曹魏時代，其年代為263年。然而，在關(guān)于圓田面積的注釋中，劉徽提到了保存于晉武庫（建于265年）中的銅斛，看來他在為新王朝服務(wù)的同時仍繼續(xù)作注。
劉徽的注釋為古代數(shù)學(xué)的偉大成就之一，尤其是以他對圓周率所作的研究而聞名。如同《周髀算經(jīng)》一樣，《九章算術(shù)》使用了大約值π=3。劉徽通過增加內(nèi)接多邊形邊的數(shù)量，以達(dá)到逐步精確的近似值的方法來解決問題，得到了更優(yōu)的結(jié)果。他的最終值相當(dāng)于π=3.14。正如上文所述，《九章算術(shù)》本身并不去證明所示方法的有效性，大概他們覺得只要得到正確的答案就滿足了，然而劉徽卻顯然有興趣對于典籍中所列的諸方法提供一般的辯護(hù)，他通過以幾何術(shù)語重新解釋書中的算法過程來做這件事。劉微所提供的圖在唐代沒有保存下來，然而戴震對其設(shè)法作了復(fù)原（見下文）。
此外，劉徽在對《九章算術(shù)》作完注釋之后，又新增加了“重差”一章，論述使用晷表測望的方法。隋唐時，這部分內(nèi)容作為第十章仍綴于《九章算術(shù)》之后（見《隋書》卷三十四，第1025頁），但是到了唐代，它開始以單行本流行傳播，并被人依據(jù)它第一個問題的名稱取名為《海島算經(jīng)》（《舊唐書》卷四十七，第2039頁；《新唐書》卷五十九，第1546頁）。此書至今仍然存在。
曾注過《周髀算經(jīng)》的甄鸞對《九章算術(shù)》的注本在唐代之后也同樣失傳了。由祖中（又作祖仲）作的注本盡管未列入隋唐經(jīng)籍志中，但在藤原佐世的目錄中卻有所提及，這位注釋者可能就是五世紀(jì)偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，他的書可能是622年因在黃河上沉船淹沒而遭亡佚的隋朝所藏圖書之一。
656年，李淳風(fēng)奉敕編寫為太學(xué)所使用的數(shù)學(xué)課本（《舊唐書》卷七十九，第2719頁），出于此目的，他以帶有劉徽注釋本子為底本，對《九章算術(shù)》作了一個再注本。李注中保存了一些令人關(guān)注的早期資料。正是由于他的工作才使得通行本固定了下來。此外，北宋皇家圖書館成員李籍也提供了注釋資料，在該書于1084年刊印以前，他還增添了一篇附錄，名為《九章算術(shù)音義》。
四、文獻(xiàn)源流
《九章算術(shù)》通行本的真實性是無庸置疑的，關(guān)于這部著作尚存的所有版本皆可追溯到北宋皇家圖書館于1084年所刊印發(fā)行的一部收有九種數(shù)學(xué)著作的叢書（其中也包括《周髀算經(jīng)》）。《九章算術(shù)》與劉徽、李淳風(fēng)的注釋以及李籍的附錄一同得到了刊印，這種印本并沒有保存到現(xiàn)在，而我們所得的是鮑浣之于1213年重新刊印后所保留的本子。據(jù)他的后敘中所言，在1126年北宋滅亡之后，關(guān)于《九章算術(shù)》的研究幾乎徹底停滯了，當(dāng)時不僅很少有學(xué)者對此問題感興趣，而且唯一可得的本子也缺少劉注及李注等必要的注釋，而且說成是黃帝所作。這種本子由榮囗于1148年重刊發(fā)行，其中榮囗的序語被收入《宜稼堂叢書》本楊輝《詳解九章算法》（1261年）中。
慶幸的是，1200年夏，一冊1084年皇家圖書館原印的本子落到了鮑浣之一位杭州朋友之手，于是他抄寫下來并予以刊刻。到了明代，鮑本被抄入了《永樂大典》中。一部鮑本的殘本（只有1到5章）現(xiàn)藏于上海圖書館。17世紀(jì)晚期，這部殘本曾影刻收入《天祿琳瑯叢書》?！端慰趟憬?jīng)六種》（北京：文物出版社，1980年）影印了上海圖書館所藏的殘本。
戴震（1724-1777）在為篡修《四庫全書》而編輯《九章算術(shù)》時，顯然未聽說有南宋印本流傳，而是僅僅依據(jù)《永樂大典》。他對原著及注釋做了大量的?？惫ぷ?，并添入了所復(fù)原的已失傳的劉徽圖解。除了前文已提及的例外，戴震本是所有叢書所翻印的底本。從一方面看慎重是必要的，一些叢書如《諸子集成》翻印了武英殿聚珍版，除了加上標(biāo)點以外，一切照舊，出自《永樂大典》的文本在文中附有戴震的注釋和?？?。其他的叢書如《四部叢刊》雖然把戴震的注釋集中在每一章的末尾，但是印出的原文卻已按照戴震的觀點作了修正。附有序言的錢寶琮點校本被列入他的《算經(jīng)十書》中出版（北京：中華書局，1963年）。錢寶琮除了利用上述的主要資料外，還利用了楊輝著作中對于《九章算術(shù)》的引文。然而迄今為止全書最好的版本要數(shù)郭書春所編定的《九章算術(shù)》（沈陽：遼寧教育出版社，1990年）了。郭著有重要的導(dǎo)言性專題論文及大量注釋。
五、研究成果和譯著
丁福保及周云青對《九章算術(shù)》的全部圖書資料作了一個總匯編，見《四部總錄算法編》（上海：商務(wù)印書館，1957年）。李潢在《九章算術(shù)細(xì)草圖說》（大約1790）中所作的細(xì)致研究至今仍很有用。現(xiàn)代的重要研究見白尚恕《九章算術(shù)注釋》（北京：科學(xué)出版社，1983年）以及上文已提過的郭書春的著作，兩書在一些地方意見正好相反。李約瑟等《中國科學(xué)技術(shù)史》第三卷（劍橋：劍橋大學(xué)出版社，1959年）及三上義夫《中國和日本數(shù)學(xué)的發(fā)展》（萊比錫：1913年，第8-25頁）提供了一個很方便的介紹。最近兩部以西方語言寫成的中國數(shù)學(xué)通史討論了《九章算術(shù)》一書，見李儼和杜石然《簡明中國數(shù)學(xué)史》（牛津：克拉倫頓出版社，1984年，第33-59頁）以及馬若安《中國數(shù)學(xué)史》（巴黎：1988年，第115-126頁）。
西方語言的譯本有下列幾種：
1．別列茲金娜：《九章算術(shù)》，見《數(shù)學(xué)史研究》（莫斯科），1957年，第10期，第423-584頁）。
2．科特"福格爾：《九章算術(shù)》，奧斯瓦爾德精確科學(xué)經(jīng)典，卷4，1968年。
3．本篇寫作時（1992年），林力娜（巴黎：國家科學(xué)研究中心）正在進(jìn)行《九章算術(shù)》及劉徽注的法譯工作。
六、索引
《周髀算經(jīng)、九章算術(shù)逐字索引》，劉殿爵、陳方正編，收入《先秦兩漢古籍逐字索引叢刊》，香港：商務(wù)印書館，將在1996年出版。

古克禮
（劉國忠 譯）