我是個數(shù)學(xué)學(xué)渣，這件事，我在各種場合，說了沒有一千遍也有八百遍了。以至于前年“全人獎”的頒獎會場上，一位前輩看到我很激動，忙不迭拉著我給身邊某大學(xué)的數(shù)學(xué)教授介紹：釋文現(xiàn)在給孩子講數(shù)學(xué)課，但是你知道嗎，他上學(xué)的時候，數(shù)學(xué)方面是個人渣……

我一臉黑線跟對方解釋：是學(xué)渣，是學(xué)渣……

這些年，由于工作的緣故，我見到不少數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有困難的孩子。大概是因為同病相憐的原因，我和這些孩子特別有共同語言，也得以借著這些機(jī)會，重新以一個孩子的眼光，去審視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)這件事，思考孩子數(shù)學(xué)學(xué)不好的具體原因。

昨天和姐姐聊天，她講到她的一位好朋友的孩子，今年上小學(xué)一年級，在數(shù)學(xué)方面遇到了一些困難，比如他現(xiàn)在還不能正確的算出一加一等于幾。這個孩子總是認(rèn)為，1+1=11。

其實這種現(xiàn)象在幼兒數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里，是比較典型的。除了1+1=11這樣常見的錯誤外，還有類似的，15+15=210。

在孩子的思維方式里，14+14=28，前面兩個1相加，結(jié)果是2，后面兩個4相加，結(jié)果是8，所以14+14=28。那么同樣的，15+15，前面兩個1相加，結(jié)果是2，后面兩個5相加，結(jié)果是10，所以15+15=210。

孩子出現(xiàn)這樣的錯誤，首先父母可以讓他意識到自己的思維誤區(qū)，比如針對1+1=11的問題，我們可以問他：你有一塊糖，再給你一塊糖，你手里是十一塊糖嗎？

用這樣比較具象的方式，讓孩子意識到自己思維的誤區(qū)，是相對容易的。但出現(xiàn)這種錯誤的根本原因，我認(rèn)為，是孩子在數(shù)學(xué)啟蒙階段沒有打好基礎(chǔ)，更大膽地說，是孩子“數(shù)數(shù)”沒有數(shù)好。

今天，我就以一個資深學(xué)渣的身份，來跟大家聊聊“孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”這件事。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)—小孩子，有大學(xué)問

首先，我們必須承認(rèn)，孩子的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好，父母是難辭其咎的。

皮亞杰(1896-1980) 近代最有名的兒童心理學(xué)家

皮亞杰認(rèn)為：

“

一個人可以學(xué)到的東西，他的學(xué)習(xí)方法，取決于他已有的思維模型。所謂學(xué)習(xí)的法則，就是新的知識結(jié)構(gòu)如何從已有的知識結(jié)構(gòu)中生長出來，并在這個過程中構(gòu)建邏輯性和情感聯(lián)系。

”

我們要教授的數(shù)學(xué)，必須和已經(jīng)建立的知識構(gòu)成一個不間斷的連續(xù)系統(tǒng)，只有這樣，新的知識才能從原有的知識體系里生長出來。

對于孩子來說，他最初的知識結(jié)構(gòu)，包括數(shù)學(xué)觀的建構(gòu)，幾乎全部來源于父母的有效引導(dǎo)。

兒童是天生的學(xué)習(xí)者，是自己智識結(jié)構(gòu)的“建筑師”。但這個建筑師是需要“建筑材料”的。對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，平時生活中接觸到的事物，父母對數(shù)學(xué)概念的理解甚至對邏輯的闡述，都是他學(xué)習(xí)的“材料”，對孩子建立數(shù)學(xué)認(rèn)知有重要的意義。

孩子的數(shù)學(xué)概念，最初都是在生活中建立起來的，比如，一雙鞋、一副手套、一雙筷子，可以讓孩子最早建立起“成對”的概念，如果父母在這時候能夠進(jìn)一步加以引導(dǎo)，就會加深孩子對這一概念的認(rèn)知。

孩子在生活中得到的“數(shù)學(xué)大廈”的建筑材料越豐富，他就越會在數(shù)學(xué)方面表現(xiàn)出高于同齡孩子的數(shù)學(xué)能力。

但如果家長本身對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有誤解，甚至對數(shù)學(xué)有潛意識的懼怕、排斥心理，那么在與孩子交流的過程中，就會有意無意繞開類似的話題，這就會使得孩子缺乏相關(guān)的學(xué)習(xí)材料，孩子的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)也就很難打好了。

西蒙佩珀特也認(rèn)為，兒童智力發(fā)展的差異可以歸結(jié)到環(huán)境上，如果環(huán)境沒能提供足夠的高級材料，那么大概率會導(dǎo)致孩子在這方面的認(rèn)知滯后。孩子對一個特定的概念遲遲不能理解，最關(guān)鍵的原因就是他的生活環(huán)境中，關(guān)于這個概念的材料嚴(yán)重不足，無法把這個概念變成一個簡單的、看得見摸得著的東西。

這里面有一個重要的陳述，就是要幫助孩子把概念“變成一個簡單的、看得見摸得著的東西”。

非常遺憾的是，我們做父母的，幾乎都忘記了自己的幼兒階段，是如何學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的。我們以成年人的眼光回頭看數(shù)學(xué)啟蒙，總會認(rèn)為，“數(shù)數(shù)”有那么難嗎？怎么6+2知道等于幾，2+6就不知道了呢？這些如此簡單的問題，怎么孩子就是滿腦子漿糊呢？

要知道，小孩子學(xué)數(shù)學(xué)，一點都不簡單。

孩子學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)、學(xué)習(xí)1+1=2，是非常了不起的事情，它的重要性，不亞于宇宙形成時的奇點大爆炸。很多家長和老師， 對孩子數(shù)數(shù)慢、學(xué)習(xí)加法困難表示很不理解，認(rèn)為這么淺顯的事情孩子還不能掌握，說明“缺乏數(shù)學(xué)基因”。但我們仔細(xì)研究就會發(fā)現(xiàn)，看似淺顯的兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，其實涉及了巨大的世界觀的建構(gòu)，涉及了諸多認(rèn)知上的跨越，以及思維模式的重構(gòu)。

舉個例子，我們把一杯水從一個小杯子倒進(jìn)一個大的杯子里，只要不灑出來，我們知道，水的總量是不會變化的。但這個我們看起來淺顯到不用去解釋的事情，對于孩子來說，理解它是需要一種認(rèn)知上的跨越的，需要跨越的這個概念，我們稱之為“守恒法則”。

在皮亞杰之前，沒有人意識到，孩子對于世界的理解，并不是從“正確”到“更正確”，而是從“錯誤”到“正確”。皮亞杰指出，孩子們在學(xué)習(xí)基本的數(shù)學(xué)原理之前，已經(jīng)建立了自己的一套非常不同的規(guī)則系統(tǒng)，比如數(shù)量不守恒。然后孩子再調(diào)用他周圍的學(xué)習(xí)材料，重新構(gòu)建一個守恒的思維方式。

守恒法則，體現(xiàn)在數(shù)數(shù)上，舉個例子：對大人來說，桌子上放了五個蘋果，無論我們怎么改變這五個蘋果的排序，蘋果的總數(shù)是保持不變的。但對于孩子來說，這與他的知識結(jié)構(gòu)是沖突的。因為這意味著，結(jié)果和過程是可以分割開的，過程的改變不影響數(shù)數(shù)的結(jié)果。這對孩子的世界來說，是聞所未聞的，是違背直覺的。

再舉個例子，五個蘋果和五個香蕉，在數(shù)量上是一致的。這對于孩子來說，理解起來也不是自然而然的，因為這意味著，物理上不同的事物，可以在數(shù)學(xué)上相同，這其實是同構(gòu)的概念。

小孩子學(xué)數(shù)數(shù)，其實蘊(yùn)涵著各種復(fù)雜的世界觀的建立。而且，我們應(yīng)該記住，孩子是先發(fā)展出自己的與成人不同的世界觀，然后再逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槌扇说氖澜缬^的。給孩子做認(rèn)知上的啟蒙，首先應(yīng)該理解孩子的世界觀，然后尋找不同的地方，耐心加以引導(dǎo)。

我們的孩子數(shù)學(xué)學(xué)不好，我堅持認(rèn)為，很大程度上的原因，在于“數(shù)數(shù)”的時候沒有數(shù)好、沒有數(shù)夠。要知道，我們所有的數(shù)學(xué)計算，都是立足于數(shù)數(shù)的基礎(chǔ)之上的。

比如孩子們可以算出6+2=8，但是2+6卻算不對，那是因為，所有的加法，都是基于計數(shù)的原則，6+2，孩子只要在6的基礎(chǔ)上往后數(shù)兩個數(shù)字，就知道結(jié)果了。而2+6，需要在2的基礎(chǔ)上往后數(shù)六個數(shù)，在這個過程中要記住數(shù)了幾個數(shù)、數(shù)到哪了，當(dāng)然就更難一些。

當(dāng)我們責(zé)怪孩子解決類似的問題出錯時，卻沒有意識到，對于孩子來說，這樣看似簡單的問題，既要理解“守恒法則”，又要在心中“數(shù)數(shù)”的時候不出錯。并不像成年人看起來的，知道2+6等于幾，自然而然就應(yīng)該知道6+2等于幾。其實成年人也是使用類似的方法，只是熟極而流，內(nèi)化于心了。

皮亞杰一生致力于對兒童知識起源的研究，在他的種種發(fā)現(xiàn)中， 有一項成果是：大人看不到孩子學(xué)了什么，是怎么學(xué)的，成年人，看不到兒童學(xué)習(xí)的本質(zhì)。

那我們應(yīng)該怎么做？我的答案是，越是抽象的東西，越需要用具象的方法去教。

“數(shù)數(shù)”對孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，但中國家長有一個常見的誤區(qū)，就是過早的禁止孩子“掰手指”，認(rèn)為不掰手指的計數(shù)和加減法，才是真的掌握了。我小的時候，就經(jīng)常因為掰手指被訓(xùn)斥。后來看了一個TED的演講，講到數(shù)數(shù)和掰手指對孩子數(shù)學(xué)思維建立的重要性，我才知道，很多孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)其實是被家長耽誤了。

除了寬容孩子掰手指外，在數(shù)數(shù)和加減法的學(xué)習(xí)上，應(yīng)該盡量多用手邊的實物來和孩子練習(xí)。就像張俊老師說的，讓孩子死記硬背8比7多，不如和孩子一人抓一把糖果，然后把糖果擺在桌子上，一一對應(yīng)，讓孩子看那一排糖果更多，用這種方式，建立數(shù)數(shù)、多少、加減的初步概念。否則的話，孩子即便知道8比7多，也不知道究竟是怎么多出來的。

我們總認(rèn)為，用蘋果桔子這些具象的東西跟孩子學(xué)數(shù)學(xué)，是一種數(shù)學(xué)能力低的表現(xiàn)。但我們從來不認(rèn)為，學(xué)習(xí)鋼琴的時候可以不碰鋼琴，只在腦子空想就可以學(xué)完。我們也不認(rèn)為，學(xué)習(xí)騎自行車的時候，應(yīng)該讓孩子不碰自行車，在腦子里想象面對各種路況的時候，如何進(jìn)行動作分解。我們都知道，學(xué)自行車，第一件事就是讓孩子騎上它。學(xué)習(xí)鋼琴，第一件事就是讓孩子摸摸琴鍵。但學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，我們卻覺得，“看得見摸得著”，是一種錯誤，這是多么的荒謬。

我們教孩子學(xué)數(shù)學(xué)，卻不給他足夠的學(xué)習(xí)材料，最終的結(jié)果必然是：孩子們必須用效率最低的方法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，那就是死記硬背！

死記硬背是最差的學(xué)習(xí)方式，我們要把自己的大腦搞得一片空白，然后不斷地重復(fù)不斷地重復(fù)。但是我們記下一段旋律的時候，我們唱出一首歌的歌詞的時候，我們念出那些美妙的語句的時候，是通過大腦一片空白然后強(qiáng)迫自己不斷痛苦地重復(fù)嗎？

在通過具象的實物建立數(shù)學(xué)知識的過程中，孩子們要突破很多的學(xué)習(xí)難點。比如有的孩子知道2個蘋果加5個蘋果，一共是7個蘋果，但是2+7卻不知道等于幾，因為孩子并沒有明白“數(shù)”的相加和“量”的相加的區(qū)別。

7個蘋果，是“量”相加的結(jié)果，很直觀。但2+5=7，是“數(shù)”的相加的結(jié)果。數(shù)的相加，需要抽象思維，需要在實物學(xué)習(xí)的過程中不斷內(nèi)化。而且這里面還涉及了一個“數(shù)群”的概念，就是一個數(shù)可以由較小的數(shù)組合而成，這些都需要在“量”的分合中積累經(jīng)驗，讓孩子理解“數(shù)”也是可以分合的。

對于學(xué)齡前孩子來說，理解了這些，其實就足夠了。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，歸根到底，需要孩子建立起抽象思維能力，孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，其實就是從動作的邏輯到抽象的邏輯。張俊老師說：“抽象邏輯思維是從具體的外在動作逐步內(nèi)化，然后在頭腦中進(jìn)行重新構(gòu)造，最終形成一種抽象的邏輯關(guān)系”。

這種思維的建立，是需要遵循客觀規(guī)律的。皮亞杰將思維分成“具象思維”和“形式思維”（formal thinkin，抽象思維的一種）。具象思維在孩子六歲的時候就已經(jīng)相當(dāng)發(fā)達(dá)，而形式思維則要到十二歲左右才開始發(fā)展，并且需要一兩年的時間才能完善。甚至有的研究者認(rèn)為，形式思維在某些成年人身上終生也沒能發(fā)展出來。

在我看來，越是抽象的東西，越需要具象的教育。我們要承認(rèn)自己的無知，努力去理解孩子的世界，然后動用手邊的實物，讓那些飄渺的知識變成簡單的、看得見摸得著的東西。只有這樣，才能有效幫助他建立起屬于他自己的知識大廈。

進(jìn)入學(xué)校之后，不要迷信課堂數(shù)學(xué)

作為一個中國教育體制下的學(xué)渣，國外學(xué)校的數(shù)學(xué)優(yōu)等生，我可以負(fù)責(zé)任地說，我們絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)課堂上，什么都有，唯獨缺的，就是數(shù)學(xué)本身。我們中國學(xué)生數(shù)學(xué)好，不是數(shù)學(xué)課的功勞，而是思想品德課的功勞，學(xué)生肯吃苦，肯刷題，但這和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，是背道而馳的。

龐加萊說，一個數(shù)學(xué)的頭腦，最顯著的特色不是邏輯，而是美感。我相信，沒有人會否認(rèn)，數(shù)學(xué)本身，是一門浩瀚而又美麗的學(xué)科，但很可惜，我們的數(shù)學(xué)教育，完全不在意培養(yǎng)孩子的數(shù)學(xué)審美能力。我們的數(shù)學(xué)課，和數(shù)學(xué)并不劃等號。

我曾經(jīng)跟學(xué)生說，數(shù)學(xué)是一件很有趣的事，還專門寫過一篇文章，名字叫《數(shù)學(xué)是一場游戲》。但相信在大多數(shù)孩子的眼里，這是一句騙人的話，甚至現(xiàn)在我自己回想起來，都沒那么堅定了，因為我在閑暇時間里，會看書、看電影、聽音樂，而絕不會選擇做數(shù)學(xué)題這件“非常有趣”的事。

在孩子眼里，說學(xué)校里的數(shù)學(xué)很有趣的那些老師，“不過是一種有意或無意的騙子”。學(xué)生們的看法，基本是對的。

孩子們的數(shù)學(xué)成績不好，就會被貼上“沒有數(shù)學(xué)基因”“數(shù)學(xué)思維能力不足”的標(biāo)簽，但我們要看清一個事實，就是學(xué)校課堂上的數(shù)學(xué)課程設(shè)置，并不是基于多么科學(xué)、多么人性化的原則，而是首先取決于在學(xué)校課堂這個環(huán)境里，通過最原始的紙和筆，以一位老師同時教幾十個學(xué)生的方式，學(xué)哪些東西能夠完成數(shù)學(xué)訓(xùn)練的任務(wù)，僅此而已。

佩珀特曾經(jīng)舉過一個例子：在學(xué)校里，“解析幾何”就是用曲線來表達(dá)方程式的代名詞，所有受過教育的人都會模糊記得y=x2 是一個拋物線方程。雖然不知道這個知識有什么用，但是在他們的腦海里，這一切的背后一定有一個非常深刻的、科學(xué)的原因，這個原因讓孩子們?nèi)绻麑W(xué)不好這門學(xué)科，家長就會焦慮，老師就會給學(xué)生貼上差生的標(biāo)簽。但事實的真相是：之所以讓學(xué)生們學(xué)習(xí)這個知識，真實的原因，只是因為拋物線在紙上比較容易畫出來，能比較方便的用原始工具完成而已…..

現(xiàn)在，鍛煉數(shù)學(xué)思維的方式有很多種，通過擺弄積木、通過學(xué)習(xí)編程，甚至通過游戲都能夠鍛煉孩子的數(shù)學(xué)能力，家長對孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)最大的幫助，就是盡量不再被考試成績綁架，盡量理解孩子學(xué)習(xí)的方法，認(rèn)清孩子學(xué)習(xí)的本質(zhì)，進(jìn)行科學(xué)的引導(dǎo)。只要遵循了孩子學(xué)習(xí)的規(guī)律，總有一天，我們會收獲屬于自己的果實。

在希臘語中，所謂數(shù)學(xué)，其實就是學(xué)習(xí)的意思。孩子是天生的學(xué)習(xí)者，他們對學(xué)習(xí)的恐懼、對數(shù)學(xué)的恐懼，都是后天習(xí)得的。作為成年人，我們應(yīng)該努力讓自己回到幼兒階段，回想一下自己是如何從愛數(shù)學(xué)、愛學(xué)習(xí)，到恨數(shù)學(xué)、恨學(xué)習(xí)的，然后，不要讓我們的孩子再經(jīng)歷同樣的悲劇，這也許就是給孩子營造的最好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境。

最后，推薦兩本書，皮亞杰的《發(fā)生認(rèn)識論原理》和西蒙佩珀特的《因計算機(jī)而強(qiáng)大》，本文的主要觀點，都來自于這兩本書（吐個槽，《發(fā)生認(rèn)識論原理》這本書的翻譯真是糟糕）。

（左）皮亞杰《發(fā)生認(rèn)識論原理》（右）佩珀特《因計算機(jī)而強(qiáng)大》

不僅數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)如此，科學(xué)學(xué)習(xí)也是一樣，正如埃爾特的《美國科學(xué)2》課程，老師利用生活中孩子熟悉的材料，開發(fā)創(chuàng)作了無數(shù)酷炫的科學(xué)實驗，讓孩子們在動手中認(rèn)識世界，像科學(xué)家一樣思考。