我們知道，n邊形的內(nèi)角和是（n-2）×180°，而外角和是360°．由此可見，多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，而外角和卻與邊數(shù)n無關(guān)，是一個(gè)常數(shù)．因此，利用多邊形內(nèi)角與相鄰的外角互補(bǔ)這一關(guān)系，將多邊形內(nèi)角問題轉(zhuǎn)化為外角問題，可以起到以不變應(yīng)萬變之效果，其解法特別巧妙．請(qǐng)看：

例1　一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于144°，則它的邊數(shù)是______．

分析與解：一般解法是：設(shè)邊數(shù)為x，則由內(nèi)角和公式，得（x-2）×180°=x×144°，解之，得x=10．這是直接從題意入手，通過設(shè)元，然后運(yùn)用內(nèi)角和公式列方程．其解法當(dāng)然是無可非議的．但是，若從外角入手，則易知每個(gè)外角為180°-144°=36°，又因?yàn)橥饨呛蜑?60°，因此，共有360°÷36°=10（個(gè)）外角，從而可知所求的邊數(shù)為10．

例2 凸n邊形恰好有三個(gè)內(nèi)角是鈍角，這樣的多邊形邊數(shù)n的最大值是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

分析與解：若直接考慮內(nèi)角'只有三個(gè)鈍角'，則顯然是無從下手的．從外角入手，因?yàn)?em>n個(gè)內(nèi)角中恰有3個(gè)鈍角，所以在n個(gè)外角中恰好有3個(gè)銳角，其余（n-3）個(gè)外角是直角或鈍角，由外角和等于360°可知這（n-3）個(gè)外角中最多只能有3個(gè)直角（或鈍角），因此，n-3≤3，n≤6，所以n的最大值為6，選C．

例3　凸2019邊形的內(nèi)角中，非銳角的個(gè)數(shù)至少有______個(gè)．

分析與解：設(shè)凸2019邊形的內(nèi)角中，非銳角的個(gè)數(shù)有n個(gè)，則銳角的個(gè)數(shù)為（2019-n）個(gè)，與這（2019-n）個(gè)內(nèi)角相鄰的（2019-n）個(gè)外角都為鈍角或直角，而（2019-n）個(gè)外角中最多有3個(gè)直角（或鈍角），所以2019-n≤3，解得n≥2016，故n的最小值為2016，因此，凸2019邊形的內(nèi)角中，非銳角的個(gè)數(shù)至少有2016個(gè)．

例4　已知n邊形的每個(gè)內(nèi)角都是10°的整數(shù)倍，其中三個(gè)內(nèi)角分別是60°、90°和120°，其余各內(nèi)角的度數(shù)都相等，求n的所有可能值．

分析與解：由已知，三個(gè)外角分別為120°、90°和60°，所以余下的（n-3）個(gè)外角的和為360°-（120°+90°+60°）=90°．又因?yàn)檫@（n-3）個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是10°的整數(shù)倍，所以這些內(nèi)角的外角也是10°的整數(shù)倍．設(shè)這些外角每個(gè)的度數(shù)為m·10°（ｍ為正整數(shù)），則（n-3）m·10°=90°，m=9/（n-3），

因?yàn)?em>n是大于3的整數(shù)，所以n=4，6，9，12．此即n的所有可能值．

例5若凸n邊形的每個(gè)內(nèi)角都是30°的正整數(shù)倍，則n的最小值與最大值之和是＿＿＿＿．

分析：設(shè)一個(gè)內(nèi)角為α，其外角為β，則β=180°-α，因?yàn)?em>α是30°的整數(shù)倍，所以β也是30°的整數(shù)倍，所以外角β的最小值為30°，最大值為150°，故360/150≤n≤360/30，即2.4≤n≤12，因?yàn)?em>n為整數(shù)，所以n的最小值為3，最大值為12，因此，n的最小值與最大值的和為15．

例6 定義：若凸n邊形的n條邊相等，n個(gè)內(nèi)角相等，這樣的n形叫做正n邊形．若正n邊形的內(nèi)角度數(shù)是整數(shù)，這樣的n有______個(gè)．

分析與解：因?yàn)閮?nèi)角是整數(shù)，所以外角也是整數(shù)，而每個(gè)外角的度數(shù)為360/n，所以360/n是整數(shù)，因此，問題在于確定360的正整數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)．

由于360=2^3×3^2×5，所以，360的正因數(shù)個(gè)數(shù)共有（3+1）（2+1）（1+1）=24個(gè)（包括1），而n＞2，去掉1和2兩個(gè)因數(shù)，故n的值共有22個(gè)．

評(píng)注：求一個(gè)正整數(shù)N所有約數(shù)個(gè)數(shù)（包括1）的方法是：將這個(gè)整數(shù)N分解成質(zhì)因數(shù)的積a1^p1·a2^p2·…·ak^pk，則N的所有約數(shù)的個(gè)數(shù)為（p1+1）（p2+1）…（pk+1）.