網(wǎng)絡(luò)是個(gè)好東西，不管身在天南地北，只要志同道同就能聚在一起。不知不覺中，我已經(jīng)加入了上百個(gè)與教學(xué)有關(guān)的群組，和很多志趣相投的同行在一起學(xué)習(xí)交流。

群里探討解題時(shí)，不少老師問：學(xué)生才能讓學(xué)生想到這樣的解題方法？

知識(shí)可以分三類：陳述性知識(shí)、程序性知識(shí)、條件性知識(shí)。

陳述性知識(shí)是結(jié)論和事實(shí)，解決“是什么”的問題。

程序性知識(shí)是方法和流程，解決“怎么做”的問題。

條件性知識(shí)是知道在何情境下選擇應(yīng)用何種知識(shí)，解決“怎么知道怎么做”的問題。

條件性知識(shí)與元認(rèn)知密切相關(guān)，是一種復(fù)雜的心理過程。這方面研究不多，但很重要，因?yàn)樗鼪Q定所學(xué)的知識(shí)是死的，還是活的。沒有條件性知識(shí)，所掌握的知識(shí)就不能被有效應(yīng)用，變成廢料。

老師在教學(xué)中不僅要教陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)，還要教給學(xué)生條件性知識(shí)，否則就會(huì)出現(xiàn)“教懂了卻不會(huì)用”的現(xiàn)象。

有的老師像魔術(shù)師，“大變活人”之類的漂亮魔術(shù)看上去很神奇，但是觀眾永遠(yuǎn)學(xué)不會(huì)。

老師要做的不是“魔術(shù)表演”，而應(yīng)該是“魔術(shù)揭密”和“魔術(shù)訓(xùn)練”。這樣，人人都是魔術(shù)師，魔術(shù)不再神奇，而是人人可掌握的技術(shù)。

不管是知識(shí)教學(xué)還是解題教學(xué)，老師都要教“學(xué)習(xí)方法”和“思考方式”，讓學(xué)生“會(huì)學(xué)習(xí)”、“會(huì)思考”，這樣才能“會(huì)恰當(dāng)?shù)剡x擇運(yùn)用知識(shí)和方法解決問題”，也就是掌握條件性知識(shí)。

比如教學(xué)“平行線的性質(zhì)”時(shí)，要讓學(xué)生了解和體驗(yàn)到“在需要把角進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化時(shí)可以運(yùn)用平行線的性質(zhì)定理和構(gòu)造平行線的方法”，這就是條件性知識(shí)，掌握這一點(diǎn)，在以后證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，便不難想到要構(gòu)造平行線。

解題教學(xué)更是如此，當(dāng)一條輔助線毫無(wú)征兆地從天而降時(shí)，指望學(xué)生把這種方法遷移到其它情境中幾乎是不可能的。

因?yàn)槔蠋煹哪X中儲(chǔ)存了太多的關(guān)于題目及其方法的記憶，老師的解題動(dòng)作成了條件反射，但是在學(xué)生眼中，它是沒來(lái)由的孤立事件，是難以理解的天外來(lái)客。

實(shí)際上，即使是老師，往往也沒能厘清如何思考問題的來(lái)龍去脈，如何在陌生情境下自然順暢地得到解題思路，老師之所以會(huì)解題方法有時(shí)也是記憶的結(jié)果，這就需要解完題后進(jìn)行再反思，找到題目與解法之間的邏輯聯(lián)系。

有時(shí)候，經(jīng)驗(yàn)豐富的解題者可以瞬間發(fā)現(xiàn)解題的思路與方法，自己也搞不清楚到底是大量做題留下的直覺反應(yīng)還是掌握了解題的內(nèi)在邏輯。

對(duì)于人文學(xué)科，往往依賴靈感和直覺，可以“本章本天成，妙手偶得之”，但對(duì)于數(shù)理學(xué)科來(lái)說(shuō)，依靠靈感和直覺就不行了，要更多地依賴邏輯和推理，因?yàn)檫壿嬍强杀磉_(dá)、可重復(fù)、準(zhǔn)確嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，具有最廣泛的可遷移性。數(shù)學(xué)可以根據(jù)公式和定理進(jìn)行計(jì)算推理，沒聽說(shuō)過寫詩(shī)作曲有什么公式和定理，但現(xiàn)實(shí)中就有把理科當(dāng)文科教或把文科當(dāng)理科教，造成了教學(xué)的低效、無(wú)效甚至負(fù)效應(yīng)。

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教育的重要組成部分，解題就是人的思維對(duì)題目的條件信息與所學(xué)的知識(shí)方法進(jìn)行聯(lián)系、加工、處理，從而得到所求結(jié)論或推理過程。條件信息在題目中，知識(shí)方法在頭腦中，題目所呈現(xiàn)的條件信息是多種多樣的，但所用知識(shí)方法始終在一定范圍內(nèi)，所以解題時(shí)要做的一件重要事情是：對(duì)信息進(jìn)行辨別、判斷、轉(zhuǎn)化，使之與對(duì)應(yīng)的知識(shí)與方法產(chǎn)生聯(lián)結(jié)。這也就是我們所總結(jié)的思維方法與解題策略，實(shí)質(zhì)就是條件性知識(shí)，它可以告訴學(xué)生在什么樣的情境下選擇什么樣的知識(shí)與方法解決問題，下面以一道中考題為例探討一下解題教學(xué)中關(guān)于條件性知識(shí)的提煉及訓(xùn)練。

例題（2018樂山卷）.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，連結(jié)BE、AD交于點(diǎn)P，設(shè)AC=kBD，CD=kAE，k為常數(shù)，試探究∠APE的度數(shù)：

(1)如圖1，若k=1，則∠APE的度數(shù)為__________；

分析：

①條件出發(fā)：“AC=kBD，CD=kAE”轉(zhuǎn)化為：AC:BD=CD:AE=k。

②觀察聯(lián)想：由比例線段想到尋找或構(gòu)造相似形（k=1時(shí)全等），AC與CD組合成ΔACD，但BD與AE不在同一個(gè)三角形中。

③猜測(cè)推理：由AC與BD夾角為90度，CD與AE夾角為90度，兩組對(duì)應(yīng)邊夾角都為90度，推知兩個(gè)全等三角形是旋轉(zhuǎn)90度的位置關(guān)系。

④完形構(gòu)造：將ΔACD旋轉(zhuǎn)90度并平移至適當(dāng)位置，構(gòu)造全等三角形，如下圖所示：

上面四種構(gòu)造所達(dá)到的效果是相同的，都出現(xiàn)了一對(duì)全等三角形、一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)平行四邊形，四種方法的內(nèi)在邏輯是一致的，即通過運(yùn)動(dòng)變換把分散的條件集中，形成關(guān)系明確的特殊圖形，從而進(jìn)一步推理計(jì)算使問題得以解決。這里涉及的陳述性知識(shí)是全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)，程序性知識(shí)是對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)、平移操作，僅此并不足以解決問題，還要知道什么時(shí)候需要用旋轉(zhuǎn)、平移的方式構(gòu)造全等，即使用全等和變換的條件性知識(shí)：題中有邊角相等關(guān)系，若只有一個(gè)確定三角形，則可把它進(jìn)行運(yùn)動(dòng)變換得到另一個(gè)三角形；若相關(guān)線段分散不在同一三角形中，則應(yīng)通過變換操作使其集中于同一三角形中。

上面的構(gòu)造也可以看成：將線段AE平移至BD處組合成與ΔACD全等的三角形，如下圖。

(2)如圖2，若k=√3，試問(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，求出∠APE的度數(shù)．

分析：有了解決題(1)的方法，題(2)的思考邏輯和解題策略完全相同，僅把全等變?yōu)橄嗨?，變換方式為“旋轉(zhuǎn)+縮放”，把ΔACD旋轉(zhuǎn)90度并按1:√3縮放，再平移至合適位置如下圖：

同樣可以換個(gè)角度看，把AE平移至BD處組合成與ΔACD相似的三角形，得到一對(duì)1:√3的相似三角形、一個(gè)直角邊為1:√3的RtΔADF和一個(gè)平行四邊形AEBF，再得∠APE=∠DAF=30°。

(3)如圖3，若k=√3，且D、E分別在CB、CA的延長(zhǎng)線上，(2)中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

分析：表面形式變化，本質(zhì)關(guān)系不變，解決方法一以貫之，用移花接木策略遷移前面的方法即可。

可以發(fā)現(xiàn)，本題更為一般的結(jié)論是：cot∠APE=k。

回顧這個(gè)問題的解決，包含了哪些條件性知識(shí)？

1.邊角相等（比例）關(guān)系較多時(shí)用全等（相似）。

2.可以由相關(guān)線段和角回溯需證的全等（相似）三角形。

3.條件信息分散可用運(yùn)動(dòng)變換使之集中以產(chǎn)生特殊圖形和關(guān)系。

4.外在形式變化，內(nèi)在關(guān)系不變，則解題方法不變，所得結(jié)論相似。

這種條件性知識(shí)能夠幫助解決一類相關(guān)問題，具有廣泛的適用性和可遷移性，掌握這種知識(shí)才可以真正提升解決問題的能力。當(dāng)然，這種知識(shí)不能由老師直接教授而獲得，需要經(jīng)歷一個(gè)理解、感悟、驗(yàn)證、訓(xùn)練的過程，老師也要適時(shí)引導(dǎo)、點(diǎn)撥、揭示、強(qiáng)化，這樣才能掌握條件性知識(shí)，做到在恰當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)應(yīng)用恰當(dāng)?shù)闹R(shí)采取恰當(dāng)?shù)男袆?dòng)，也就是在“該想到”的時(shí)候“能想到”。