1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換

設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換

的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱伸縮變換

2．極坐標(biāo)系的概念

(1)極坐標(biāo)系

如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)O引一條 射線 Ox，叫做極軸；再選定一個(gè) 長(zhǎng)度單位 、一個(gè) 角度單位 (通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系；

(2)極坐標(biāo)

①極徑：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與點(diǎn)M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ.

②極角：以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.

③極坐標(biāo)：有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)．

3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐 標(biāo)是(ρ，θ)，則它們之間的關(guān)系為：

小題速覽：

易錯(cuò)點(diǎn)：1．極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化易錯(cuò)用互化公式．在解決此類問題時(shí)考生要注意兩個(gè)方面：一是準(zhǔn)確應(yīng)用公式，二是注意方程中的限制條件．

2．在極坐標(biāo)系下，點(diǎn)的極坐標(biāo)不唯一性易忽視．

注意極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一點(diǎn)的坐標(biāo)．

題型一：平面直角坐標(biāo)系下圖形的伸縮變換

題型二：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

方法技巧：

1．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的3個(gè)前提條件

(1)取直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)．

(2)以x軸的非負(fù)半軸為極軸．

(3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長(zhǎng)度單位．

2．直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的注意點(diǎn)

(1)根據(jù)終邊相同的角的意義，角θ的表示方法具有周期性，故點(diǎn)M的極坐標(biāo)(ρ，θ)的形式不唯一，即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無窮多個(gè)．

當(dāng)限定ρ≥0，θ∈[0,2π)時(shí)，除極點(diǎn)外，點(diǎn)M的極坐標(biāo)是唯一的．

(2)當(dāng)把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)時(shí)，求極角θ應(yīng)注意判斷點(diǎn)M所在的象限(即角θ的終邊的位置)，以便正確地求出角θ∈[0,2π)的值．

題型三：極坐標(biāo)方程的應(yīng)用

曲線的極坐標(biāo)方程的求解策略

在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點(diǎn)、距離、線段長(zhǎng)等幾何問題時(shí)，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決．

高考真題