我們有無限個(gè)球和一個(gè)花瓶，現(xiàn)在我們要對它們進(jìn)行一系列操作。每次操作都是一樣的：往花瓶里放10個(gè)球，然后取出 1 個(gè)球。那么，無窮多次這樣的操作之后，花瓶里有多少個(gè)球呢？

有人或許會說，這個(gè)問題顯然是荒謬的——這個(gè)過程需要耗費(fèi)無窮的時(shí)間，我們不可能等到那個(gè)時(shí)候。那么，我們不妨換一個(gè)問法，避開所需時(shí)間無窮的問題：在差一分鐘到正午12點(diǎn)時(shí)進(jìn)行第 1 次操作，在差 30 秒（1/2 分鐘）到正午 12 點(diǎn)時(shí)進(jìn)行第 2 次操作，在差 1/2 n-1分鐘到12點(diǎn)時(shí)進(jìn)行第 n 次操作。那么，12 點(diǎn)的時(shí)候，花瓶里有幾個(gè)球呢？

看似簡單的描述，經(jīng)過數(shù)學(xué)家的解釋，卻出現(xiàn)了千奇百怪的答案。最直觀的答案當(dāng)然就是花瓶里有無限個(gè)球了，因?yàn)槊看味荚黾恿? 個(gè)球，無限次之后，當(dāng)然有無限個(gè)球。

數(shù)學(xué)家 Allis 和 Koetsier卻不這么認(rèn)為。他們認(rèn)為，12點(diǎn)時(shí)瓶子里沒有球，因?yàn)槲覀兊?1 次放進(jìn) 1 至 10 號球，然后取出 1 號球，第 2 次放入11至20 號球，然后取出 2號球。注意到，n 號球總是在第 n 次操作時(shí)被取出來了，因此無限操作下去，每個(gè)球都會被取出來！

可是，這個(gè)說法也有問題：前面的證明假設(shè)我們?nèi)〕龅囊来问?1 號球、2號球、3號球等等，如果我們改成依次取 10 號球、20號球、30號球，那么最后瓶子里又出現(xiàn)了無限個(gè)球了。哪種觀點(diǎn)是正確的呢？于是邏輯學(xué)家詹姆斯·亨勒（JamesM. Henle）和托馬斯·泰馬祖科（Thomas Tymoczko）認(rèn)為，花瓶里有任意個(gè)球。他們還給出了具體的構(gòu)造方法，說明最終花瓶里的球可以是任意數(shù)目。

如何讓花瓶里的球?yàn)槿我鈹?shù)目？其實(shí)方法很簡單，希爾伯特旅館提供了類似思路。希爾伯特旅館有無限個(gè)房間，并且每個(gè)房間都住了客人。一天來了一個(gè)新客人，旅館老板說：“雖然我們已經(jīng)客滿，但你還是能住進(jìn)來的。我讓1 號房間的客人搬到 2 號房間，2 號房間搬到 3 號房間n 號房間搬到 n+1 號房間，你就可以住進(jìn) 1

號房間了?！庇忠惶?，來了無限個(gè)客人，老板又說：“不用擔(dān)心，大家仍然都能住進(jìn)來。我讓 1 號房間的客人搬到 2 號房間，2號搬到4號，3 號搬到 6 號n 號搬到 2n 號，然后你們排好隊(duì)，依次住進(jìn)奇數(shù)號的房間吧?！?/p>

我們知道，分別把球按照1號2號3號這樣編號。第一次操作，把1-10號球放進(jìn)去，然后把1號拿出來。現(xiàn)在盒子里還有2-10號球。第二次操作，把11-20號球放進(jìn)去，把2號拿出來，現(xiàn)在有3-20號球，以此類推操作下去。無窮多次這樣的操作之后，花瓶里沒有球。

在這個(gè)操作基礎(chǔ)上，我們略作改變：第一次操作，把1-10號球放進(jìn)去，然后把2號拿出來?，F(xiàn)在盒子里還有1號和3-10號球。第二次操作，把11-20號球放進(jìn)去，把3號拿出來，現(xiàn)在有1號和4-20號球，以此類推操作下去。無限次之后，第n次操作時(shí)取出來第n+1號球，1號球保留到了最后，所以花瓶里有1個(gè)球。

同理，最后可留下2個(gè)球，3個(gè)球至9個(gè)球。

但每次需放10個(gè)球，取1個(gè)球。每次留下9個(gè)球，那如何讓最后留下10個(gè)球？

還是同樣操作，稍微變一下而已。第一次操作，把1-10號球放進(jìn)去，然后把10號拿出來。現(xiàn)在盒子里還有1-9號球。第二次操作，把11-20號球放進(jìn)去，把12號拿出來，現(xiàn)在有1-9號球，11號球，13-20號球，第三次操作，把21-30號球放進(jìn)去，拿出13號球，剩下1-9號球，11號球，14-30號球，以后的操作依次拿走14號球，15號球，16號球……最后只剩下1-9號球，11號球，共10個(gè)球。

剩余其它數(shù)目的球，也以此類推操作下去而已。

有人覺得這會產(chǎn)生邏輯錯(cuò)誤：因?yàn)椋跁r(shí)間還沒到達(dá)1分鐘之前，放進(jìn)瓶子里的球一定是有限的，只有當(dāng)時(shí)間到達(dá)1分鐘時(shí)，放進(jìn)瓶子里的球才是無限的。所以，在時(shí)間到達(dá)1分鐘之前，我們不去考慮瓶子里究竟還有多少球，我們只考查1這個(gè)時(shí)間點(diǎn)的操作，根據(jù)要求，在這個(gè)時(shí)間點(diǎn)需要放進(jìn)10個(gè)球，而只拿出一個(gè)球，我們不管瓶子里原先還剩下多少球，但在1分鐘的時(shí)間點(diǎn)上，瓶子里最少還剩下9個(gè)球，所以瓶子里球的數(shù)量不會是0.但編號為n的球在第n次操作被拿出來了，無論n是幾。所以，哪個(gè)編號的球都不在花瓶里。這個(gè)解釋在現(xiàn)在的數(shù)學(xué)極限理論中是沒有邏輯錯(cuò)誤的，但是，我們從上面推論出了盒子里球的數(shù)量一定不會是0，所以有錯(cuò)誤的。

這所謂的邏輯錯(cuò)誤，就是無限不同于有限的奇妙性質(zhì)。明明還有9個(gè)球，最后卻突然變成沒有球。這就是無限把那9個(gè)球給吞沒了。類似與黑洞一樣，無限能吞沒一切有限。

     無限的數(shù)目，通過不同方式的無限次操作，能得到不同的有限數(shù)值。我們可以用這有限報(bào)值，代表不同操作下幻無限狀態(tài)。這稱之為對無限的賦值，也叫封裝無限。