經(jīng)歷了數(shù)千年發(fā)展，數(shù)學(xué)這門古老的學(xué)科在近一百多年開拓出了眾多分支，并產(chǎn)生了多個(gè)應(yīng)用學(xué)科。而一般人所學(xué)的往往是200多年前的數(shù)學(xué)。面對(duì)近代數(shù)學(xué)，若非精通數(shù)理者，恍如墜入“數(shù)學(xué)的深淵”。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)的發(fā)展常常得益于物理學(xué)提出的問題，而物理學(xué)的每一次重大革命，則往往伴隨著新數(shù)學(xué)的引入?！斗禈恪房偩幬男偺貫榇俗模仡櫄v史上幾次物理學(xué)革命，從數(shù)學(xué)的眼光看待物理學(xué)，并闡述凝聚態(tài)物理中的近代數(shù)學(xué)。在他看來(lái)，范疇學(xué)、代數(shù)拓?fù)涞冉鷶?shù)學(xué)理論在物理學(xué)中的應(yīng)用意味著，物理學(xué)正在進(jìn)行一場(chǎng)新的革命。

撰文 | 文小剛（麻省理工學(xué)院終身教授、格林講席教授）

今天的二條文章介紹了1900年前的數(shù)學(xué)發(fā)展史。過(guò)去100年來(lái)，數(shù)學(xué)有了很大的發(fā)展，除了像微分方程和微分幾何這些與經(jīng)典物理本身有深刻關(guān)系的數(shù)學(xué)以外，還發(fā)展出了代數(shù)拓?fù)?、代?shù)幾何、代數(shù)數(shù)論、范疇學(xué)、幾何表示論等極度抽象的數(shù)學(xué)。之前《返樸》介紹數(shù)學(xué)的文章《如何理解數(shù)學(xué)？從糾正對(duì)數(shù)學(xué)的偏見開始——得數(shù)學(xué)者得天下》強(qiáng)調(diào)，近代數(shù)學(xué)不是一個(gè)僅僅關(guān)于“數(shù)”的學(xué)問。以范疇學(xué)為代表的近代數(shù)學(xué)，更是一門關(guān)于關(guān)系和結(jié)構(gòu)的抽象學(xué)問。有趣的是，近年來(lái)，這些看似和現(xiàn)實(shí)毫無(wú)關(guān)系的數(shù)學(xué)理論，特別是代數(shù)拓?fù)?、代?shù)幾何和范疇學(xué)已經(jīng)開始和現(xiàn)代物理深度碰撞。

1 物理學(xué)革命與數(shù)學(xué)的引入

歷史上物理和數(shù)學(xué)有著十分深刻的聯(lián)系。物理的目的之一是了解新的自然現(xiàn)象。而一個(gè)新的自然現(xiàn)象之所以新的標(biāo)志，就是我們連描寫它的名字及數(shù)學(xué)符號(hào)都沒有。這就是為什么當(dāng)物理學(xué)家有一個(gè)真正的新發(fā)現(xiàn)時(shí)，他/她什么都說(shuō)不出來(lái)，什么都寫不出來(lái)，也無(wú)法進(jìn)行計(jì)算推導(dǎo)。這時(shí)候就需要引入新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描寫新的自然現(xiàn)象。這就是數(shù)學(xué)和物理之間的深刻聯(lián)系。正因?yàn)槿绱耍?strong>每一次物理學(xué)的重大革命，其標(biāo)志都是有新的數(shù)學(xué)被引入到物理學(xué)中來(lái)。

第一次物理革命是力學(xué)革命，需要研究的物理現(xiàn)象是天體的的運(yùn)動(dòng)。牛頓不僅要發(fā)明他的萬(wàn)有引力理論，而且還要發(fā)明微積分這一套新的數(shù)學(xué)來(lái)描寫他的理論。第二次物理革命是電磁革命。麥克斯韋發(fā)現(xiàn)了一種新的物質(zhì)形態(tài)——場(chǎng)形態(tài)物質(zhì)。這就是電磁波，也是光波。后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)，這種場(chǎng)形態(tài)物質(zhì)需要用數(shù)學(xué)的纖維叢理論來(lái)描寫。第三次物理革命是廣義相對(duì)論。愛因斯坦發(fā)現(xiàn)了第二種場(chǎng)形態(tài)物質(zhì)——引力波。他需要引入數(shù)學(xué)中的黎曼幾何來(lái)描寫這種新物質(zhì)。第四次物理革命是量子革命。這次革命揭示出，我們世界中的真實(shí)存在，既不是粒子也不是波，但既是粒子又是波。這種莫名其妙卻又真實(shí)的存在，可以用量子力學(xué)來(lái)解釋，而量子力學(xué)則是建立在數(shù)學(xué)中的線性代數(shù)理論之上。

牛頓、麥克斯韋、黎曼、愛因斯坦

我們現(xiàn)在正在經(jīng)歷一場(chǎng)新的物理革命——第二次量子革命。這次革命的主角是量子信息和它們的量子糾纏。這次我們所遇到的新現(xiàn)象，就是很多很多量子比特的糾纏。這種多體量子糾纏的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，正是我們既說(shuō)不出來(lái)，又沒有名字的新現(xiàn)象。我們現(xiàn)在正在發(fā)展一套新的數(shù)學(xué)理論（某種形式的范疇學(xué)），來(lái)試圖描寫這種新現(xiàn)象。

這次正在進(jìn)行中的物理學(xué)新革命是非常深刻的。因?yàn)?strong>這次革命試圖用糾纏的量子信息來(lái)統(tǒng)一所有的物質(zhì)、所有的基本粒子、所有的相互作用，甚至?xí)r空本身。而凝聚態(tài)物理中的拓?fù)湫?、拓?fù)湮飸B(tài)，以及量子計(jì)算中的拓?fù)淞孔佑?jì)算，都是多體量子糾纏的應(yīng)用。正是通過(guò)這些物理研究，我們發(fā)現(xiàn)了多體量子糾纏的重要性，并引入了長(zhǎng)程量子糾纏這一相關(guān)概念。

2 用數(shù)學(xué)的眼光看物理學(xué)

我們剛才用物理的眼光，概括了數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系。自牛頓以來(lái)，我們都是用分析的眼光看世界，用連續(xù)流形、連續(xù)場(chǎng)來(lái)描寫物理現(xiàn)象。特別是愛因斯坦的廣義相對(duì)論，它是如此的漂亮自然，大家都認(rèn)為它抓住了宇宙的本質(zhì)。之后，以幾何的眼光看世界成為物理的主流。在這個(gè)思路下，物理學(xué)家發(fā)展了規(guī)范場(chǎng)論、量子場(chǎng)論，以及描寫所有基本粒子的標(biāo)準(zhǔn)模型。

但完美主流的幾何的眼光，并不一定是認(rèn)識(shí)世界的正確方法。從量子革命以來(lái)，我們?cè)絹?lái)越意識(shí)到，我們的世界不是連續(xù)的，而是離散的。我們應(yīng)該用代數(shù)的眼光看世界。連續(xù)的分析，僅僅是離散的代數(shù)的一個(gè)幻象。就像連續(xù)的流體，是許許多多一個(gè)個(gè)分子集體運(yùn)動(dòng)的幻象。這種以代數(shù)的眼光看世界的新思想，將顛覆很多目前的主流物理理論，帶來(lái)物理的第二次量子革命（見《光的奧秘和空間的本源｜眾妙之門》）。某種意義上，建立在幾何思路之上的廣義相對(duì)論、規(guī)范場(chǎng)論、量子場(chǎng)論太漂亮太完美了，讓我們誤以為它抓住了宇宙的本質(zhì)，誤導(dǎo)了我們一百多年。

有趣的是，這100多年來(lái)，近代數(shù)學(xué)發(fā)展的一條脈絡(luò)也正是從連續(xù)到離散、從分析到代數(shù)的脈絡(luò)，也提出了離散的代數(shù)是比連續(xù)的分析更本質(zhì)的觀點(diǎn)。60年代由Grothendieck學(xué)派發(fā)展出來(lái)的代數(shù)幾何理論正是這種思想的代表，代數(shù)幾何可以看作是實(shí)現(xiàn)了連續(xù)和離散的統(tǒng)一的幾何理論。這和物理學(xué)從經(jīng)典到量子的發(fā)展一一相映。而實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一的語(yǔ)言當(dāng)然是代數(shù)的，更準(zhǔn)確的說(shuō)，是一個(gè)超越了集合論的、全新的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，也是代數(shù)幾何的基礎(chǔ)語(yǔ)言：范疇學(xué)。

40年代Eilenberg和Mac Lane發(fā)展了范疇學(xué)，60年代Grothendieck在此基礎(chǔ)上發(fā)展了代數(shù)幾何。

3 范疇學(xué)的精神

下面讓我從一個(gè)外行的角度，來(lái)粗略介紹一下范疇學(xué)的精神。通常，如果我們想要深入了解一個(gè)物體，我們會(huì)把這個(gè)物體分解成越來(lái)越小、越來(lái)越簡(jiǎn)單的構(gòu)件。如果我們可以做到這一點(diǎn)，我們就認(rèn)為了解了這個(gè)物體。這一思想方法就是還原論的思路。這是科學(xué)思想方法的一個(gè)主流。很多人甚至用它來(lái)定義什么叫做“理解”。

但主流并不代表正確?！袄斫狻币部梢杂闪硗庖环N完全不同的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。我們不試圖把物體分成更小更簡(jiǎn)單的基本構(gòu)件。我們甚至不去考慮物體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，也許物體根本就沒有什么內(nèi)部結(jié)構(gòu)。我們?cè)噲D通過(guò)這個(gè)物體和其他所有物體的關(guān)系和作用，來(lái)了解這個(gè)物體。

其實(shí)，和其他物體的關(guān)系和作用，正代表了這個(gè)物體所有可能的性質(zhì)。而一個(gè)物體的所有可能性質(zhì)，也就完全定義了這個(gè)物體本身。歸根到底，也許我們根本就沒有物體，只有一大堆關(guān)系。而物體這一抽象的概念，以及物體所有可能的性質(zhì)，是由這一堆關(guān)系來(lái)定義的。這就是范疇學(xué)的精神。

把這一范疇學(xué)的思路應(yīng)用到認(rèn)識(shí)論，我們發(fā)現(xiàn)所謂的“客觀存在”，其實(shí)是人腦通過(guò)觀察到的大量的、各種各樣的關(guān)系，所抽象出來(lái)的一個(gè)概念。也就是說(shuō)，我們頭腦中的主觀印象觀察是客觀的。而所謂的“客觀存在”，反而是主觀的。因?yàn)槲覀兯^察到的大量的、各種各樣的關(guān)系不是隨機(jī)混亂的，這些關(guān)系之間有非常強(qiáng)烈的關(guān)聯(lián)。這些強(qiáng)烈的關(guān)聯(lián)賦予我們“客觀存在”這一想象（或概念）。吳詠時(shí)老師舉過(guò)一個(gè)社會(huì)學(xué)例子：范疇學(xué)的精神正像馬克思說(shuō)過(guò)的，人這個(gè)個(gè)體是通過(guò)人和人的關(guān)系定義的。所以范疇學(xué)是關(guān)系學(xué)，也是認(rèn)識(shí)世界的一種新方式。

01

我們也可以把范疇學(xué)的思路用到物理中對(duì)相和相變的理解。兩個(gè)相之間的相變，就是范疇學(xué)中的“關(guān)系”。而相這個(gè)概念，就是通過(guò)所有相變（即“關(guān)系”）來(lái)定義的。

02

物理學(xué)中的第2個(gè)例子是量子力學(xué)理論。通過(guò)量子力學(xué)中的波函數(shù)來(lái)理解我們的量子世界，其實(shí)是一種還原論的思路。如果我們要用范疇學(xué)的思路來(lái)理解我們的量子世界，那我們將像實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家一樣，直接考慮各種各樣的觀測(cè)（這些觀測(cè)對(duì)應(yīng)于我們上面說(shuō)的關(guān)系），而且我們只考慮各種各樣的觀測(cè)。這些觀測(cè)（關(guān)系）之間有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)。通過(guò)這些關(guān)系之間的關(guān)系，我們可以直接理解我們的量子世界。這就是范疇學(xué)的思路。

現(xiàn)有的量子理論用的不是這一思路，而是通過(guò)對(duì)觀測(cè)之間的關(guān)系的總結(jié)，抽象出波函數(shù)這一概念，代表所謂的“客觀存在”。然后我們?cè)偻ㄟ^(guò)波函數(shù)來(lái)理解我們的量子世界。

其實(shí)波函數(shù)（及其背后的線性代數(shù)），僅僅是我們對(duì)現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的一個(gè)模型。這一模型不見得唯一，也就是說(shuō)，可能有另一個(gè)理論可以同樣有效地描寫我們的量子世界。這一模型也不見得正確，也許將來(lái)新的實(shí)驗(yàn)觀測(cè)會(huì)和現(xiàn)有的模型矛盾。這將迫使我們構(gòu)造一個(gè)新的模型，也就是發(fā)展一套新的理論，來(lái)描寫我們的量子世界。

其實(shí)用范疇學(xué)的思路來(lái)理解我們的量子世界，就是要放棄波函數(shù)這一概念。這將有助于我們不受波函數(shù)的束縛，來(lái)進(jìn)一步發(fā)展量子力學(xué)。

03

物理學(xué)中第3個(gè)例子，就是具有長(zhǎng)程糾纏的量子物態(tài)。量子物態(tài)中的組分有可能有長(zhǎng)程糾纏。這些長(zhǎng)程糾纏的各種各樣的構(gòu)型，會(huì)給出各種各樣不同的量子物態(tài)^[1]。這就是量子物態(tài)中所謂的拓?fù)湫颍ㄒ姟锻負(fù)湫颍嚎词澜绲囊环N新視角 | 眾妙之門》）。有長(zhǎng)程糾纏的量子物態(tài)，是一類全新的物態(tài)，有各種想以前想不到的新現(xiàn)象。

陳諧（左）顧正澄（右）和我在一系列工作中提出了長(zhǎng)程糾纏和對(duì)稱保護(hù)序的概念，并發(fā)展了對(duì)稱保護(hù)序的上同調(diào)理論。

長(zhǎng)程量子糾纏及其對(duì)應(yīng)的拓?fù)湫?，是一個(gè)全新的自然現(xiàn)象。我們到底應(yīng)該用什么樣的數(shù)學(xué)來(lái)描寫這一新現(xiàn)象？近十幾年來(lái)的研究發(fā)現(xiàn)，張量范疇學(xué)和高階范疇學(xué)正是描寫長(zhǎng)程糾纏（拓?fù)湫颍?strong>的數(shù)學(xué)框架。其實(shí)拓?fù)湫蛭飸B(tài)中的拓?fù)錅?zhǔn)粒子對(duì)應(yīng)于范疇學(xué)中的“實(shí)體”（object，即所謂的“客觀存在”），而準(zhǔn)粒子的交換、融合等操作，對(duì)應(yīng)于范疇學(xué)中的關(guān)系（morphism）。張量范疇學(xué)正巧是描寫拓?fù)錅?zhǔn)粒子的完備理論。它可描寫拓?fù)湫蛭飸B(tài)中的拓?fù)錅?zhǔn)粒子所具有的各種非常新奇的性質(zhì)，如分?jǐn)?shù)電荷、分?jǐn)?shù)自由度、分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)，甚至是非阿貝爾統(tǒng)計(jì)，等等。正是這些新奇的性質(zhì)（非阿貝爾統(tǒng)計(jì)），使我們可以用拓?fù)湮飸B(tài)進(jìn)行拓?fù)淞孔佑?jì)算。

吳詠時(shí)（左）指出分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)（準(zhǔn)粒子的交換操作）的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是編織群表示。王正漢（右）及其合作者對(duì)簡(jiǎn)單的模張量范疇進(jìn)行了完全分類。

通過(guò)范疇學(xué)，我們得到了對(duì)拓?fù)湫颍撮L(zhǎng)程糾纏）的全面理解和分類。比如在1維，沒有非平凡的拓?fù)湫?，也就是說(shuō)沒有長(zhǎng)程糾纏，只有短程糾纏。在二維，各種各樣的拓?fù)湫蚩梢杂梢活愄厥獾膹埩糠懂牎埩糠懂牎獊?lái)一一描寫^[2]。在三維，各種各樣的拓?fù)湫蚩梢杂梢活愄厥獾娜诤隙A范疇來(lái)一一描寫^[3]。

蘭天（左）、孔良（中）、朱晨暢（右）和我的一系列工作對(duì)三維拓?fù)湫蜻M(jìn)行了完全的分類和構(gòu)建。

4 代數(shù)拓?fù)湓谀蹜B(tài)物理中的應(yīng)用

近代數(shù)學(xué)的另一重要分支——代數(shù)拓?fù)?，也在凝聚態(tài)物理中有重要的應(yīng)用。上面提到長(zhǎng)程糾纏（即拓?fù)湫颍┐砹艘活愋滦偷牧孔游飸B(tài)。那么長(zhǎng)程糾纏的反面——短程糾纏，應(yīng)當(dāng)只能描寫那些平庸的、沒意思的量子物態(tài)?？勺罱畮啄甑难芯拷沂?，如果系統(tǒng)有對(duì)稱性，那么即使是沒有拓?fù)湫虻亩坛碳m纏的量子物態(tài)，也可以是非平凡的。這類非平凡短程糾纏態(tài)被稱之為“對(duì)稱保護(hù)序”。媒體中常說(shuō)的拓?fù)浣^緣體^[4]，就是一種沒有拓?fù)湫?，但有?duì)稱保護(hù)序的量子物態(tài)。雖然有短程糾纏的對(duì)稱保護(hù)序，沒有分?jǐn)?shù)電荷，沒有分?jǐn)?shù)自由度，也沒有分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)，但它們會(huì)有非平凡的、可以導(dǎo)電導(dǎo)熱的邊界，這使之成為目前凝聚態(tài)物理研究的一個(gè)大熱點(diǎn)。

Mele（左）和Kane（右）在理論上發(fā)現(xiàn)了拓?fù)浣^緣體

而代數(shù)拓?fù)渲械纳贤{(diào)理論和示性類理論，正是描寫這些短程糾纏（即對(duì)稱保護(hù)序）的數(shù)學(xué)語(yǔ)言。這些代數(shù)拓?fù)淅碚撌刮覀儗?duì)一維有能隙的物態(tài)有了完全的理解和分類^[5]，也使我們對(duì)高維的對(duì)稱保護(hù)序有了完全的理解和分類^[6]。

有很長(zhǎng)一段時(shí)間，我們認(rèn)為所有的物態(tài)都可以通過(guò)朗道的對(duì)稱性和對(duì)稱性破缺理論來(lái)理解（見《物理定律對(duì)稱之美，物態(tài)對(duì)稱破缺之美 | 眾妙之門》)。為了理解這些物態(tài)，為了研究對(duì)稱性，很多物理學(xué)生都學(xué)群論?，F(xiàn)在我們意識(shí)到，還有很多新的物態(tài)是超越朗道對(duì)稱性理論的。為了研究這些新的量子物態(tài)及其中的多體量子糾纏，今后許多物理學(xué)生，很可能還要學(xué)習(xí)范疇學(xué)和代數(shù)拓?fù)?。（其?shí)目前已經(jīng)有很多物理學(xué)生開始學(xué)習(xí)范疇學(xué)、代數(shù)拓?fù)涞痊F(xiàn)代數(shù)學(xué)理論）。這顯示了數(shù)學(xué)物理的交融和并肩發(fā)展。新的數(shù)學(xué)進(jìn)入物理，也意味著物理目前正在進(jìn)行一場(chǎng)改朝換代的新革命。

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參考文獻(xiàn)

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蘭天，文小剛， Classification of {3+1D} Bosonic Topological Orders (II): The Case When Some Pointlike Excitations Are Fermions; arXiv:1801.08530;

朱晨暢，蘭天，文小剛，Topological non-linear sigma-model, higher gauge theory, and a realization of all {3+1D} topological orders for boson systems, arXiv:1808.09394

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6. 顧正澄，文小剛，Tensor-Entanglement-Filtering Renormalization Approach and Symmetry Protected Topological Order; arXiv:0903.1069; 陳諧，顧正澄，劉正鑫，文小剛，

Symmetry protected topological orders and the group cohomology of their symmetry group, arXiv:1106.4772.