解題的三境界“偶然、必然、自然”可以比擬禪宗修道的三個(gè)境界：

第一境：山就是山，水就是水。

此境見(jiàn)到的是山水的外相直感，形態(tài)各異，互不相關(guān)，在解題是就題論題，只知其然，是偶然層認(rèn)知。

第二境：山不是山，水不是水。

此境所見(jiàn)是山水的內(nèi)在解構(gòu)，山有山質(zhì)，水有水性，在解題是尋找規(guī)律，求其所以然，是必然層認(rèn)知。

第三境：山仍是山，水仍是水。

此境見(jiàn)到了山水的本來(lái)面目，山自成山，水當(dāng)是水，在解題是直見(jiàn)本質(zhì)，知其何以所以然，是自然層認(rèn)知。

下面探討一道初一的旋轉(zhuǎn)題，可以看出思維層次不同，會(huì)導(dǎo)致解題效率千差萬(wàn)別。

題目：

如圖，將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°。若三角板ABC的位置保持不動(dòng)，將三角板DCE繞其直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)△DCE一邊與AB平行時(shí)，∠ECB的度數(shù)為             。

一、偶然境：

畫(huà)出所有存在可能情況的圖形，分別計(jì)算各個(gè)角度，

這種做法思考無(wú)序，過(guò)程復(fù)雜，速度慢，容易漏。如下圖6種情況：

∠ECB=120°

∠ECB=60°

∠ECB=30°

∠ECB=150°

∠ECB=165°

∠ECB=15°

二、必然境：

探求平行與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與規(guī)律，

求∠ECB的度數(shù)即是求旋轉(zhuǎn)角的大小，過(guò)C作AB的平行線MN，

只要△DCE任意一邊落在直線MN上或與MN平行即可，

因此轉(zhuǎn)化為求△DCE各邊與直線MN的交角，

顯然各邊與直線MN的交角是互補(bǔ)的兩個(gè)角度，

這種求法簡(jiǎn)潔直觀清晰有序，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)不會(huì)遺漏。

三、自然境：

看得再深一層，求旋轉(zhuǎn)角即是求各邊初始位置與最終位置的夾角，

最終位置是與AB平行，

平行關(guān)系可以看成夾角為0度，

那么角度的變化值就是各邊初始位置與直線AB的夾角，

這樣轉(zhuǎn)化成求△DCE的各邊與直線AB的夾角，

不用畫(huà)輔助線，直接看原圖即可。顯然，BC與AB的夾角為60°或120°，CD與AB的夾角為30°或150°，DE與AB的夾角為15°或165°，直接秒殺完畢。這種解法直達(dá)本質(zhì)，直接了當(dāng)，簡(jiǎn)易自然。

同樣完成一道題，得到同樣的分?jǐn)?shù)，卻存在思維層次的云泥之別，以及思考效率的巨大差異。可以看出思維層次越高，抽象能力和推理能力越強(qiáng)，這兩種能力是最基本最重要的數(shù)學(xué)核心能力，對(duì)此的訓(xùn)練和培養(yǎng)要貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程之中，解題時(shí)不能滿足于得到題目的答案，還要致力于思維層次的提升，高層次思維需要通過(guò)不斷的深度學(xué)習(xí)和深入思考進(jìn)行長(zhǎng)期訓(xùn)練。