宏觀不可逆性被形象地稱作“時(shí)間之箭”，主宰一切宏觀現(xiàn)象。微觀可逆性與宏觀不可逆性似乎水火不相容，讓人十分糾結(jié)。統(tǒng)計(jì)力學(xué)從歷史發(fā)展看，分子運(yùn)動(dòng)論為代表的非平衡研究在先，而平衡研究在后，前者涉及有關(guān)碰撞等諸多的微觀過程細(xì)節(jié)。龐加萊(Poincaré) 證明了著名的復(fù)歸定理：一個(gè)有限力學(xué)系統(tǒng)將無限多次返回?zé)o限接近初始狀態(tài)的某點(diǎn)。這曾是困擾玻爾茲曼一生的魔咒。吉布斯提出關(guān)于平衡統(tǒng)計(jì)分布的公理化表述，取得了極大的成功。(吉布斯著作發(fā)表后，便立即得到龐加萊的推崇。)在吉布斯理論中，魔咒蹤影不見，但仍未驅(qū)除。其實(shí)，微觀可逆性說的是分子軌道的演化，而宏觀不可逆性說的是分布的演化，二者本來未必對(duì)立。

1953 年夏，F(xiàn)ermi-Pasta-Ulam (FPU) 用當(dāng)時(shí)剛有不久的計(jì)算機(jī)MANIAC，模擬了耦合振子的一維非線性格子，期望看到能量在不同模之間均分，但看到的卻是龐加萊復(fù)歸現(xiàn)象，這被稱作FPU 佯謬。(現(xiàn)在許多人認(rèn)為FPU 佯謬應(yīng)稱作FPUT 佯謬，以肯定希臘裔女學(xué)者Tsingou 的貢獻(xiàn)，她當(dāng)時(shí)是MANIAC 的程序員。) 費(fèi)米實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)看的是分子軌道，當(dāng)然只會(huì)看到龐加萊復(fù)歸。如果要看分布，則應(yīng)考慮初態(tài)集合并允許軌道混合。

理解分子軌道和分布之間的聯(lián)系，統(tǒng)計(jì)力學(xué)是一端，非線性動(dòng)力學(xué)是另一端。在如何用分布語言描述非線性動(dòng)力學(xué)方面，科爾莫戈羅夫提出，物理上有意義的不變分布，是系統(tǒng)加噪聲但噪聲強(qiáng)度趨于零后仍然存活的不變分布。揉面映射(Baker map：當(dāng)0 ≤ x < 1/2時(shí)， (x′，y′) =(2x， 1/2 y) ；當(dāng)1/2≤ x < 1 時(shí)， (x′，y′) =(2x - 1， 1/2 (y + 1) 。) 屬于最簡單的可逆動(dòng)力學(xué)的例子，值得在揉面映射這樣的系統(tǒng)中演示科爾莫戈羅夫的思想。