抽屜問題基本知識點

不知道大家有沒有經(jīng)常聽到這樣一句話，“不要把所有雞蛋放到一個籃子里”，那這句話是什么意思呢？

從字面意思來看，是提醒人們，不要把所有的雞蛋都放在同一個籃子里，如果發(fā)生籃子翻了或其他狀況，可能會一個雞蛋都不剩，在經(jīng)濟上常用來比喻規(guī)避風(fēng)險，多留后路的意思。那對于我們數(shù)學(xué)來說，就是一個很好延伸的“抽屜問題”了。

如果現(xiàn)在我有3個雞蛋，要把它放到2個籃子中，會出現(xiàn)幾種情況呢？

①一個籃子有0個，另一個籃子有3個。(0，3)

②一個籃子有1個，另一個籃子有2個。(1，2)

還會不會出現(xiàn)其他情況呢，顯然不會了。

那如果我有4個雞蛋，還是把它放到3個籃子中，又會出現(xiàn)幾種情況呢？

①一個籃子有0個，一個籃子有0個，另一個籃子有4個。(0，0，4)

②一個籃子有0個，一個籃子有1個，另一個籃子有3個。(0，1，3)

③一個籃子有0個，一個籃子有2個，另一個籃子有2個。(0，2，2)

④一個籃子有1個，一個籃子有一個，另一個籃子有2個。(1，1，2)

我們現(xiàn)在來觀察一下，把3個雞蛋和4個雞蛋放到籃子里情況：

把3個雞蛋放到籃子里，不管怎么分，其中有一個籃子，始終大于等于2個。

把4個雞蛋放到籃子里，也是一樣的，有一個籃子，始終大于等于2個。

以此類推：我們發(fā)現(xiàn)不管是5個還是10個雞蛋，按照雞蛋比籃子多一個的情況下，始終有個籃子里的雞蛋是大于等于2個雞蛋的。這種現(xiàn)象就是抽屜原理，也叫鴿巢原理。

原理一：如果把抽屜看做集合，雞蛋看做元素，則n+1個元素放入n個集合中，不管怎么分，則一定有一個集合中有2個或2個以上的元素。

還是上面的題為例：如果我有5個雞蛋，把它放到3個籃子里，會出現(xiàn)幾種情況呢？

①(0，0，5)

②(0，1，4)

③(0，2，3)

④(1，1，4)

⑤(1，2，2)

觀察發(fā)展，不管怎么分，至少有一種情況是含有不少于2個雞蛋的。

原理二：如果把比n+1個還要多的元素放到n個集合中，則至少有一個集合是大于等于2的，在深入一點也就是把m個元素任意放入n（n＜m)，則一定有一個集合呈至少要有k個元素。

k怎么來確定

當(dāng)n能被m整除時，k＝(m÷n)

當(dāng)n不能被m整除時，k＝(m÷n)+1

帶入上面的問題，5個雞蛋放到3個籃子里，至少一個籃子里有幾個雞蛋？

5÷3＝1·····2

3不能被5整除，所以k=1+1

至少有一個籃子里有2個雞蛋。

返回上面我們所分的情況驗證，5種分法，至少有一種分法，籃子里面是有2個雞蛋。

抽屜問題解題步驟

1、分析題意，找準(zhǔn)“抽屜”和要分的“物品”。

2、根據(jù)題意，分析數(shù)量關(guān)系，設(shè)計抽屜類型，用抽屜關(guān)系替換題目中的數(shù)量關(guān)系。

3、運用抽屜原理，帶入原理中解答。

運用和解答

例1：在學(xué)校教室里有6名學(xué)生正在學(xué)習(xí)，今天只有數(shù)學(xué)、英語、語文、歷史、地理5門課程。

問如何求證：至少有兩名學(xué)生學(xué)習(xí)同一門課程。

思路：分析題意，把學(xué)生看做“雞蛋”，課程看做抽屜，則有6個雞蛋，5個籃子。

根據(jù)抽屜原理一：如果把抽屜看做集合，雞蛋看做元素，則n+1個元素放入n個集合中，不管怎么分，則一定有一個集合中有2個或2個以上的元素。

所以至少有兩個學(xué)生學(xué)習(xí)同一門課程。

例2：學(xué)校買來一批書，要將書分給大家，有30名老師，至少要拿多少本，才能保證至少有一個老師能得到兩本或兩本以上的書。

思路：把30名老師看作30個抽屜，把書看成雞蛋

根據(jù)原理1：則需要n+1個雞蛋。

也就是至少需要50+1=51本書。

例3：學(xué)校月底測試，班級上有47名學(xué)生，滿分是100分，成績都是整數(shù)。已經(jīng)知道有3名學(xué)生的成績在60分以下，其余同學(xué)成績在75到95之間不包括75，至少有幾名同學(xué)成績相同？

思路：找準(zhǔn)抽屜和物品。題目中要求的是有幾名同學(xué)成績相同，而75到95之前有20個分?jǐn)?shù)段，可以把學(xué)生看做物品，分?jǐn)?shù)看做抽屜，

分析數(shù)量關(guān)系。有三名學(xué)生的成績已經(jīng)是知道的，不能在參與分配，所以參與的學(xué)生有44人。75到95之間有20個分?jǐn)?shù)段，看做20個抽屜。

帶入抽屜原理二中，則有：

44÷20＝2·····4

2+1＝3

至少有3名學(xué)生的成績相同。

例4：冬季運動會有200學(xué)生參加運動會，其中有跳遠(yuǎn)、跑步、跳高三種比賽項目，規(guī)定每人必須參加一項或者兩項運動，那么至少有幾名運動員參加的項目完全一樣？

思路：題目中問的是運動員參加的項目，在這個題目中，運動員是可以參加一項或者是兩項，共有三項活動，所以只參加一項的活動有3種情況(跳遠(yuǎn)、跑步、跳高)，而參加兩項的活動也有三種情況(跳遠(yuǎn)和跑步、跳遠(yuǎn)和跳高、跑步和跳高)，所以一共是6種情況。

把6種情況看做抽屜，參加運動會的學(xué)生看做雞蛋。

帶入抽屜原理二中就得：

200÷6＝33····2

33+1＝34

至少有34人參加的項目完全一樣。

總結(jié)

抽屜原理只能用來解決存在性問題，也就是“至少有一個”之類的題目。

那么至少有一個是什么意思呢？

“至少有一個”就是存在，滿足要求的抽屜可能有很多個，但這里只需要滿足存在一個達(dá)到要求的抽屜就可以了。