1.聽書：三角形內(nèi)角和定理：從歷史到課堂

 2.閱讀：三角形內(nèi)角和“推理型”學(xué)習(xí)路徑教學(xué)實踐

   3.欣賞：三角形內(nèi)角和定理的幾種證明方法

三角形內(nèi)角和定理從歷史到課堂 來自一課研究 00:00 04:52

本材料主要改編自華東師范大學(xué)汪曉勤教授《三角形內(nèi)角和：從歷史到課堂》一文，該文發(fā)表在《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》2012年第6期，特此說明并致謝。

       小學(xué)數(shù)學(xué)中“三角形內(nèi)角和”一課，各個版本的教材大體上主要有側(cè)重操作與側(cè)重推理的兩種編排思路，其中側(cè)重推理探究以臺灣地區(qū)“部編”版教材為代表。這里所指的推理，并不是嚴(yán)格意義上的邏輯推理，而是一種從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，進行有依據(jù)的說理或推算。該版本教材的學(xué)習(xí)內(nèi)容圍繞“直角三角形兩個銳角之和等于90°”這一命題展開，按照從特殊到一般的順序編排：先是得出“直角三角形的內(nèi)角和是180°”這一結(jié)論，再把銳角三角形和鈍角三角形轉(zhuǎn)化成兩個直角三角形，利用上述結(jié)論求得這兩類三角形的內(nèi)角和，并對結(jié)論進行驗證（見圖1）。

       臺灣地區(qū)“部編”版教材中側(cè)重推理的編排思路，可稱之為“推理型”學(xué)習(xí)路徑，它具有作為初步滲透邏輯思維和推理方法的載體的價值，為我們的教學(xué)提供了一種新的思路。

前測結(jié)果簡介

       為了深入了解這種學(xué)習(xí)路徑下學(xué)生的表現(xiàn)，在前期研究中，筆者以教材內(nèi)容為基礎(chǔ)，對本校四年級兩個班級80名學(xué)生進行了專項測試。分析前測結(jié)果，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在自主嘗試推理時，具有以下特點：

 1. 大部分學(xué)生具有一定的推理認(rèn)知基礎(chǔ)。

 2. 部分學(xué)生掌握了推理的基本思路與方法。

 3 .  仍有較大比例的學(xué)生不適應(yīng)推理的思維方式。

（詳見“一課研究”2017年6月26日微信文章《“三角形內(nèi)角和”教材再研究——基于學(xué)生認(rèn)知的教材比較》）

難點分析及對策制定

       進一步分析學(xué)生的前測結(jié)果，筆者發(fā)現(xiàn)在教學(xué)設(shè)計與實施的過程中，我們需要重點考慮以下兩個問題：

       1.怎樣使學(xué)生由對直角三角形內(nèi)角和的研究，順利過渡到對銳角三角形與鈍角三角形的研究？

       2.怎樣引導(dǎo)學(xué)生更好地發(fā)現(xiàn)這幾類三角形在分割的過程中內(nèi)角的變化情況及其對整個三角形的內(nèi)角和的影響？

      基于對學(xué)情的分析和難點的思考，我們嘗試在學(xué)生認(rèn)識兩個全等直角三角形的內(nèi)角和與長方形的內(nèi)角和的關(guān)系之后，加入一個環(huán)節(jié)，把這兩個全等直角三角形重組成一個大的銳角三角形，讓學(xué)生體會圖形變化前后內(nèi)角的增減變化，從而為猜想并驗證銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和奠定基礎(chǔ)。

       （詳見“一課研究”2018年5月26日微信文章《“三角形內(nèi)角和”操作與推理兩種學(xué)習(xí)路徑難點分析與對策設(shè)計》）

教學(xué)實踐與分析

【教學(xué)實踐】

       師：同學(xué)們，關(guān)于長方形，你知道什么？

       生：長方形有四個直角。

       師：像長方形四個直角這樣，在圖形內(nèi)部的，我們成為封閉圖形的（內(nèi)角）。除了有4個直角，你還有什么想說的？

       生：這四個內(nèi)角和是360°。

       師：你還知道了內(nèi)角和，怎么來的？

       生：4×90°=360°。

 1.認(rèn)識三角形的內(nèi)角與內(nèi)角和

       【教學(xué)實踐】

       師：如果沿著其中一條對角線，把長方形剪開，就變成了什么？

       生1：直角三角形。

       生2：兩個直角三角形。

       生3：是兩個完全一樣的直角三角形。

       師：越說越準(zhǔn)確了，分成了兩個完全相同的直角三角形。

       師：這些直角三角形的內(nèi)角在哪里？內(nèi)角和又是指什么？

       兩名學(xué)生上前指出兩個三角形的內(nèi)角。

       師：你指的是這里的∠1、∠2和∠3嗎？它們是？

       生1：是上面一個三角形的三個內(nèi)角。

       生2：∠4、∠5和∠6是下面三角形的三個內(nèi)角。

       生1：∠1、∠2和∠3加起來就是上面三角形的內(nèi)角和。

       生2：下面這個三角形的內(nèi)角和就是把∠4、∠5和∠6加起來。

2.探究直角三角形的內(nèi)角和

【教學(xué)實踐】

       師：這里其中一個三角形的內(nèi)角和，可能是多少？誰來說一說你的猜想和理由？

       學(xué)生表達想法，存在給內(nèi)角強加具體數(shù)值的問題。

       師：是嗎？這里唯一可以確定的是∠3是90°，∠1和∠2不知道。

       生3：長方形的內(nèi)角和是360°，把它平均分成兩份，其中一份就是360°÷2=180°。

       師：很有道理。這里還有兩組三角形，請你看一看，想一想。

       生：也都是180°，360°÷2=180°。

       師：三組圖形中，長方形都不相同，為什么分出來的直角三角形，內(nèi)角和都是180°？

       生1：因為不管是什么長方形，內(nèi)角和都是360°，分成兩個一模一樣的三角形，所以都是180°。

       師：仔細觀察這些三角形，除了直角之外的另外兩個角，有什么規(guī)律？

       生1：這里的∠1＋∠2=90°。

       生2：∠4和∠5加起來也是90°。

       師：為什么？

       生3：直角三角形的內(nèi)角和是180°，直角是90°，所以另兩個角的和是90°。

【教學(xué)實踐】

       師：把兩個直角三角形重新組合，拼成一個銳角三角形，這個銳角三角形的內(nèi)角和是多少？

       生1：我發(fā)現(xiàn)兩個直角三角形拼成一個大的銳角三角形之后，少了兩個直角，所以三角形ABC的內(nèi)角和還是180°。

       生2：我是這樣想的，原來兩個直角三角形的內(nèi)角和都是180°，拼在一起后一共是360°，但是中間兩個直角，∠3和∠6沒有了，所以要減去180°，最后還剩180°。

       生3：我還有一個辦法，銳角三角形的內(nèi)角其實只有∠1、∠2、∠4和∠5，∠1、∠2是90°，∠4、∠5也是90°，所以是180°。

       課件出示兩種思路：

       180°× 2 － 90°× 2  =  180°；

       （180°－ 90°）× 2  =  180°。

1．嘗試驗證銳角三角形的內(nèi)角和

 【教學(xué)實踐】

       師：能不能找一個一般的銳角三角形，來證明它的內(nèi)角和也是180°呢？

       生1：從A點出發(fā)，畫一條垂線，把銳角三角形分成兩個直角三角形就行了。

       生2：兩個直角三角形內(nèi)角和都是180°，也就是說這里的∠1、∠2、∠3的和是180°，∠4、∠5、∠6的和也是180°。然后減去兩個直角，∠3和∠6，就是180°×2-90°×2=180°。

       生3：因為∠3和∠6不是三角形ABC的內(nèi)角，所以要減去，360°－180°=180°。

       生4：我發(fā)現(xiàn)，直角三角形中，除了直角之外，旁邊兩個角（的和）也是90°。比方說這邊的∠1和∠2，右邊的∠3和∠4也是90°。兩個90°加起來就是180°。

       師：如果換一個銳角三角形，還能證明它的內(nèi)角和是180°嗎？

       生：也只要把它分成兩個直角三角形就行了。

       師：可是分出來的兩個直角三角形的形狀不一樣啊？

       生1：雖然形狀不一樣，可是都是直角三角形，剛才我們已經(jīng)知道直角三角形的內(nèi)角和是180°了（指板書）。

       生2：還有，直角三角形的形狀不一樣，但它的兩個銳角加起來一定是90°，所以兩個90°就是180°。

 2.驗證鈍角三角形的內(nèi)角和

【教學(xué)實踐】

       生1：可以像剛才那樣，把鈍角三角形沿著高分成兩個直角三角形，然后兩個180°減去兩個90°，就等于360°－180°=180°。

       生2：我是像剛才第二種方法那樣做的，左邊直角三角形兩個銳角之和是90°，右邊三角形兩個銳角之和也是90°，所以90°＋90°＝180°。

       師：學(xué)到這里，你能總結(jié)一下嗎？

       生1：銳角三角形、鈍角三角形的內(nèi)角和都是180°。

       生2：直角三角形的內(nèi)角和也是180°。

       生3：所有三角形的內(nèi)角和都是180°。

“推理型”路徑學(xué)習(xí)效果分析

       筆者發(fā)現(xiàn)，前測時出現(xiàn)的一些不正確的想法在課堂教學(xué)中依然存在，如在不知道某個角的具體度數(shù)時，學(xué)生會自己臆測并強加給它一個具體的數(shù)值，如30°、45°等常見的度數(shù)。顯然，對于四年級的學(xué)生來說，這是一個不可避免的現(xiàn)象，而這也正是教學(xué)中應(yīng)逐步幫助學(xué)生克服的困難。在教學(xué)中，可以采用多個變式，包括一些明顯有別于常見的兩個直角三角形（45°、45°、90°和30°、60°、90°）的圖形。在變式練習(xí)中，一方面是鞏固“任意”三角形的內(nèi)角和都是180°這一結(jié)論；另一方面，也是通過這樣的變式，讓學(xué)生逐步由具體的量的計算，過渡到抽象的關(guān)系的推理。

       教學(xué)實踐表明，在學(xué)生認(rèn)識兩個全等直角三角形的內(nèi)角和與長方形的內(nèi)角和的關(guān)系之后加入過渡環(huán)節(jié)——將兩個直角三角形重組成一個大的銳角三角形，與后面的銳角三角形內(nèi)角和的驗證相互銜接，學(xué)生的思維就變得更加連續(xù)，學(xué)習(xí)效果得到了明顯提升。

       雖然有不同的觀點認(rèn)為這樣做限制了學(xué)生的自主探究，但正如上文所說，在學(xué)生初步接觸推理時，必要的幫助和引導(dǎo)可以為當(dāng)前和后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定正確的基調(diào)。

       課堂教學(xué)的其中一個優(yōu)勢，是為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造了一個可以互動的環(huán)境。顯然，這“三角形內(nèi)角和”一課的學(xué)習(xí)中，在課堂氛圍的作用下，學(xué)生嘗試進行有效推理的效果要明顯高于前測答題。因此，對于新的學(xué)習(xí)、思考方式，只要有一定的可能性，我們就應(yīng)該大膽嘗試。只要創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，選用恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)素材，課堂上的師生活動、生生互動以及學(xué)生與多種學(xué)習(xí)素材的互動，會帶給我們意想不到的學(xué)習(xí)效果。

       綜上所述，在四年級“三角形內(nèi)角和”一課中開展“推理型”學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)嘗試，雖然在發(fā)揮學(xué)生主體性和學(xué)習(xí)環(huán)境的開放性等方面存在著一定的不足，但是實踐已經(jīng)證明學(xué)生是可以進行簡單推理的，并且可以嘗試在其它內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，進行更加嚴(yán)密的邏輯推理。在看到這種可能性的同時，教師應(yīng)該主動尋找相關(guān)的學(xué)習(xí)素材，探索適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，幫助學(xué)生進一步形成邏輯推理的意識與能力。

你若盛開 蝴蝶自來