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06-23 18:23

作者：Ali Kayaspor

編譯：方的饅頭 | 公眾號翻譯部

正文

終于到周末了！在家看了我最喜歡的電視節(jié)目《有趣的人》來解壓。令人驚訝的是，這一集是關于最著名的數(shù)學常數(shù)pi（π），它等于圓周長與直徑之比，通常約為3.14159。芬奇先生（主人公）擔任代課老師，在黑板上寫下了3.1415926535。然后他問學生：“這是什么意思？”我想了想在心里回答了這個問題：“如果我有一個直徑為1的自行車輪胎，那么自行車輪胎完整轉一圈可以行使的距離就是pi?！比欢?，在電影中，沒有人回答。然后芬奇先生自己回答了這個問題，說道：

《有趣的人》第二季第十一集“2 Pi R”

“Pi，圓周長與直徑的比值，3.1415926535僅僅只是個開始。它永遠不會重復，這意味著包含在這串小數(shù)中的是每一個其他的數(shù)字；你的出生日期，你的抽屜密碼，你的社保賬號等等。這些都在那里的某個地方。如果你把這些小數(shù)轉換成字母，你就會在每一個可能的組合中找到每一個單詞；你小時候講的第一個音節(jié)，你最近迷戀對象的名字，你從頭到尾的整個人生故事，以及我們曾經說過或做過的一切。世界上所有的無限可能都在這個簡單的圓中。那么你將如何處理這些信息；它有什么好處？呃，這取決于你……”

雖然那個場景實際上不準確，但我喜歡它。這個場景很美，因為世界上大多數(shù)老師都像這里的芬奇先生一樣努力成為一個好老師和一個有趣的老師。他對這門課的認知使討論延伸到課本之外，并使學生在課堂上保持注意力集中。

偉大的曼德爾布羅特 | Pi的歷史 | 如何烘焙Pi

Pi是圓周長與直徑的比值。直徑正好與邊界的π倍相吻合。Pi展開

不幸的是，這是錯誤的，因為數(shù)學家們還沒有證明pi具有“常態(tài)”的特征。換句話說，數(shù)學家們不確定pi是否包含從0到9的所有有限長的數(shù)字排列。他們不確定如果每一個數(shù)字在pi的十進制表示中是一個確定次數(shù)還是一個無限次數(shù)。

π中的數(shù)字是無窮盡的

如果我們持續(xù)下去，沒人知道我們會在Pi的數(shù)字中找到什么。例如，當我們檢查pi的前十億位數(shù)字時，我們發(fā)現(xiàn)數(shù)字7出現(xiàn)了近1億次。這使得pi成為一個很好的隨機數(shù)生成器。然而，在某些點后，pi可能不包含數(shù)字7，而是可能有一個僅有兩個或三個數(shù)字的非重復號碼，就像010203112233000011122233……

例如，在pi的前761位數(shù)字之后，有一個著名的數(shù)學巧合，一行中連續(xù)出現(xiàn)6個9，稱為費曼點（“費曼點”）。

推特，費曼圖書館，“Pi中的費曼點”

但我們確信pi的數(shù)字會一直以隨機的順序持續(xù)下去。這使得pi很有趣，因為pi的值是有限的，然而，它的十進制值是無限長的。這不矛盾。Pi是一個常數(shù)，因為它是一個圓的周長與直徑的比值，這是有限值。不過，我們仍然需要一個pi的近似值。

1768年，約翰·蘭伯特證明了pi是一個無理數(shù)，它不能寫成有理簡單分數(shù)。22/7是一個常用的近似值，但不包含pi的所有數(shù)字。這是因為無理數(shù)不能寫成兩個數(shù)字的比值，例如ab，因為它們的數(shù)字持續(xù)到無窮大且不遵循一個模式。1882年，費迪南德·林德曼證明了pi是一個超越數(shù)，因為它不是代數(shù)；它不是一個具有有理系數(shù)的非常數(shù)多項式方程（“超越數(shù)”）。

我們很有把握的說pi是超驗的，因為數(shù)學家金田康正發(fā)現(xiàn)pi的前萬億位數(shù)字在統(tǒng)計上是隨機的。如果查看下表，你會看到每個數(shù)字發(fā)生的時間都是獨立的，并且發(fā)生的概率是十分之一（“金田康正實驗室”）。

多年后的2019年，愛瑪·治子·巖發(fā)現(xiàn)34.1萬億位數(shù)的pi。治子和他的計算機花了121天的時間，因為計算pi需要很大的能量，即便對于一臺計算機也是如此。你可以像這樣在你的腦海里想象它：如果你用正常大小的普通字體打印十億個十進制Pi值，它會從紐約排到堪薩斯。

然而，34.1萬億位數(shù)字仍然不足以證明pi是常態(tài)與否（“天空中的Pi”）。超級計算機仍在處理這些數(shù)字。如果你查看以下圖表，你將會看到自公元前250年以來每年已知的pi的數(shù)字。

“甚至在31萬億位數(shù)后，我們仍未離Pi更近一點”

回到芬奇先生，我們看到他并非百分之百錯誤。我們可以很容易地在pi中找到我們的生日。如果你去mypiday.com輸入你的生日，它會給你在pi中的小數(shù)位。例如，我的生日出現(xiàn)在小數(shù)點后的第675097位。

如果pi是正常數(shù)，那么我們可以說我們的整個命運都是用pi編碼的。我們將來會拍攝的照片將會是pi，因為圖像背后有二進制數(shù)字。所有數(shù)碼產品都是pi。甚至這篇文章已經在pi中存在了數(shù)千年。此外，每個生物的DNA都是pi。芬奇先生其實是對的。

有一種有趣且藝術的方式來展示pi的隨機性。一些科學家可能對他們繁瑣的散點圖很滿意，但也有一些藝術家通過使用顏色進行數(shù)據(jù)可視化與公眾交流。馬丁·克茲溫斯基就是這樣一個藝術家，他在Pi的隨機性中發(fā)現(xiàn)了美和藝術性。他給pi的每一個數(shù)字加上不同的顏色。例如，他給3用橘色，1用紅色，4用黃色等等。隨后他做了一張很漂亮的海報。如果你仔細觀察，你看不到顏色的任何特定圖案。

具體畫法，查看這篇文章：

3.14特別紀念 | π 的第100000000000000···

除了很多有關pi的有趣事實外，它也是迄今為止數(shù)學史上研究最多的數(shù)。許多人想要記住pi的數(shù)字，而不是其他無理數(shù)的數(shù)字（優(yōu)兔，美國公共電視臺新聞時間）。它使人們陷入瘋狂和混亂。幾個世紀以來，數(shù)學家們一直在努力精確計算pi。

那么，我們是應該停止研究pi還是應該繼續(xù)尋找一個更好的近似值呢？假設pi等于3.14就足夠了嗎？或者使用pi的40位數(shù)字就足以計算銀河系的周長，其誤差是否小于質子的大小呢（美國國家航空航天局噴氣推進實驗室）？Pi的前152位是否足以找到可觀測宇宙的周長為930億光年呢（《連線》）？多年來有數(shù)百名數(shù)學家一直試圖找出pi的更多數(shù)字。這就像是試圖登月，然后到下一個星球等等。但是為什么呢？為什么數(shù)學家們會費心計算更多的數(shù)字？為什么pi的34.1萬億位數(shù)還不夠呢？是因為pi潛伏于每一個圓中嗎？

邏輯上的原因似乎很隱晦；這是因為pi是產生隨機數(shù)的一個很好的來源。然而，真正的原因似乎是各國可以向其他國家展示他們的技術，因為計算萬億位數(shù)的pi需要一臺非常強有力的計算機。例如，《星際迷航》中的一集“狼在折疊”，斯波克命令邪惡的計算機“計算Pi的最后一位值”。所以讓計算機計算Pi被稱為“壓力測試”，并且可能會讓它崩潰。

1962年9月12日，約翰·肯尼迪發(fā)表了一篇關于太空計劃的演講。他說：

“迄今為止，外層空間沒有爭論，沒有偏見，也沒有國家沖突。它的危害對我們所有人都是敵對的。征服它是全人類最值得的，以及很多關于和平合作的機會再也沒有了。但是有人說，為什么是月亮呢？為什么選擇這個作為我們的目標呢？以及他們可能會問為什么要爬最高的山？我們選擇去登月。我們選擇在這十年內登月并做其他事情，不是因為它們很容易，而是因為它們很難，因為這個目標將有助于組織和衡量我們最好的能量和技能，因為這個挑戰(zhàn)是我們愿意接受的，一個是我們不愿意推遲，一個是我們打算贏得的，以及其他也一樣。”

我們不可避免地將過去聯(lián)系在一起，而pi是一條貫穿人類歷史的線索。這就是為什么我們可以說，只要有人，總會有人想知道接下去會發(fā)生什么。我向你們保證，在世界的某個地方，有一位數(shù)學家或科學家正在使用pi來獲取對我們宇宙來說重要的東西，因為pi仍然是大自然神秘的常數(shù)。

尋找Pi

之前的陳述是完全正確的，因為一直有人在做Pi的工作。數(shù)學和文明一樣古老。Pi已經被人類研究了將近4000年。當最后一只猛犸滅絕時，人們就在研究Pi。據(jù)我們所知，古希臘的阿基米德是最早計算pi的人之一。他最有可能幫助車輪制造商。但他如何估計pi的值呢？

首先，他把所有多邊形看成一個圓。根據(jù)阿基米德，如果你不斷增加多邊形的邊數(shù)，你會更接近完美的圓。換句話說，一個五邊形比一個正方形更圓，但是一個六邊形比一個五邊形更圓等等。因此，富有傳奇色彩的阿基米德在兩千多年前將一個圓定義為一個有著非常多條邊的正多邊形。

他的定義很有用，因為很難精確測量一個曲面。他找到了求圓周長的方法。首先，他畫了一個正方形，它的角接觸到圓周，并找到了內接正方形的周長。其次。他畫了另一個正方形，它的邊也接觸到圓周，并找到外接正方形的周長。他得出的結論是，圓周長必須介于這兩個正方形的周長之間。

然而，使用這種方法，當他使用正方形時，這兩個值之間的差異非常大。所以，他畫了五邊形來觀察圓周長的上下限。他當時得到一個小區(qū)間。之后，他不斷增加他在圓內外繪制的多邊形的數(shù)量。每次他這樣做，他的估值就會變得更準確。阿基米德直到筋疲力盡才得到了一個96條邊的正多邊形[稱為“正六邊形”]。他發(fā)現(xiàn)那時的上下限分別是3.1408和3.1429。因此，他將π計算到小數(shù)點后兩位。

阿基米德的方法需要改進，因為他的壽命不足以長到親自找到pi的其他數(shù)字。數(shù)學家們需要發(fā)現(xiàn)更有效的公式和新技術。

在他們做到這一點之前，他們需要發(fā)現(xiàn)代數(shù)。起初，人們用符號來表示數(shù)字。例如，假設你和你的鄰居共有75匹馬，而你有35匹。沒有代數(shù)，解答需要很長時間。但在發(fā)現(xiàn)代數(shù)之后，我們只用方程式就能解決問題。這個特定的例子中，我們可以寫75 = x + 35，其中x是你鄰居的馬。寫這樣的方程式并使用變量代替數(shù)字，對于古典世界來說是革命性的。允許代數(shù)在所有數(shù)學中更容易計算。

偉大的數(shù)學家們對代數(shù)的采用激發(fā)了一種看待世界的全新方式。計算pi的下一個大飛躍是微積分的發(fā)明。在那之后，數(shù)學家們開始研究無窮級數(shù)。無窮級數(shù)是一個表達式，數(shù)字一個接一個地加在一起直到無窮大，有時這些無窮級數(shù)收斂到一個特定的值。

現(xiàn)在有很多方法可用來計算Pi。戈特弗里德·萊布尼茲在無窮遠處找到pi。詹姆斯·格雷戈里發(fā)現(xiàn)pi的以下方程式。他正在為下面的反正切函數(shù)研究一個令人驚訝的無窮級數(shù)。他將無限多的數(shù)字加在了一起，并發(fā)現(xiàn)了pi。

他把x=1放入反正切級數(shù)中。他向我們展示了我們走的越遠，我們得到的pi估值越接近。然而，為了得到10位數(shù)的pi，我們需要寫大約50億個分數(shù)來相加。

在那之后，另一位偉大的數(shù)學家萊昂哈德·歐拉正式采用希臘字母“π”作為代表數(shù)值的符號，在他28歲時發(fā)現(xiàn)了一個更有效的方程式。這個符號就有標志性。歐拉的Pi方程式計算出來一個無窮和。巴塞爾問題以他的名字命名。

歐拉還用Pi寫出了另一個美麗的方程式，歐拉恒等式。

多虧了印度數(shù)學家拉馬努金對pi的癡迷，我們才有了很多新的公式來找到pi。當從印度到劍橋后，他帶來了一本筆記本，里面用了400頁的公式來找到pi。

在機械計算機發(fā)明之后，數(shù)學家使用萊布尼茲、歐拉和拉馬努金的無窮級數(shù)來計算pi的萬億位小數(shù)（斯坦福密碼學組）。如果沒有超級計算機，要找到pi的數(shù)字將是困難的。舉個例子，數(shù)學家威廉·尚克斯設法徒手計算pi的前707位數(shù)，但不幸的是，他在第527位之后犯了一個錯誤。

Pi無處不在

螺旋描記器是數(shù)學模式，其中不同的旋轉變量產生不同的結果

孩子們在七年級時開始學習pi，并且使用pi直到他們從大學畢業(yè)。甚至在那之后，大多數(shù)人在他們的孩子上學時重新使用起pi。Pi出現(xiàn)在宇宙的每一個地方以及我們生活的每一個時間。它完全融入我們的宇宙；行星的軌道，電磁波，河流，極光的顏色，DNA的結構，吉薩大金字塔……

如果一個科學家想要描述宇宙的結構或者發(fā)現(xiàn)行星之間的關系，他/她肯定需要使用Pi。因為任何涉及圓或球體的東西都是關于Pi的。出現(xiàn)在自然界的圓，無論是肥皂泡，還是夜空中的月亮。這就解釋了為什么數(shù)學在所有科學領域中都很重要。Pi幫助我們看到各種物理過程背后的數(shù)學思想。

在字母“Pi”上顯示出巧妙的玩法的GIF

Pi與地球上的河流有直接關系。但是如何呢？為了找到這個，我們需要用兩種不同的方法來測量河流的長度。假設我們知道河流的起點和終點。首先，我們需要實際長度來看看這條河有多彎曲。換句話說，你需要從起點游到終點。整個長度將為“L”。其次，我們需要找到一個直的長度。換句話說，這次我們需要從起點飛到終點。而這條直線路徑將是一個小寫的“l(fā)”?，F(xiàn)在我們可以用L除以l來寫出彎曲度的公式。彎曲度是一個比值，用來衡量河流有多彎曲。

這里最重要的是沒有限制彎曲度有多高。這條河可能非常彎曲。然而，漢斯·亨利克·圣盧姆證明了世界各地河流的平均彎曲度是pi。如果你找到所有河流的彎曲度并取其平均彎曲度，你應該得到Pi（曲流河）。

關于彎曲度還有一個有趣的事實。河流在某些地方會非常彎曲。我們希望有很高的彎曲度。但突然間，那些河流變得筆直，使得彎曲度等于Pi。所以，由于流體動力學的原因，很難找到彎曲度等于7的河流。數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)最高的彎曲度約為3.5，最低的彎曲度約為2.7。

一段時間后，河流會變得非常混亂。然后他們突然恢復正常。在極度彎曲的地方，河流在彎曲點之后切短，并形成一條再次變直的捷徑。這種現(xiàn)象被稱為牛軛湖，它控制著河流的彎曲度。這使得河流的彎曲度近似Pi。

空間中的Pi

我們的宇宙中存在著一種固有的數(shù)學秩序。例如，為了了解我們的太陽系，我們需要Pi。我們知道我們的星球在它的主恒星前面移動。光來自于主恒星。談到在這個光，我們需要知道這個主恒星有多大。換句話說，我們需要主恒星的表面積。球體表面積的公式是4πr2，r是恒星的半徑。行星的大小也有助于科學家們猜測它是否適合居住。

每8個地球軌道，金星繞太陽運行13次

顯示pi和宇宙之間關系的另一個不錯的例子是靜電力，它是兩個電荷之間的力。電子向各個方向施加力并形成球場。電子也在電場中相互作用。為了計算這種相互作用，我們需要找到球體的表面積，這里再次出現(xiàn)=pi。

Pi和重力也有聯(lián)系。如果你有機會去看看愛因斯坦的場方程，你會注意到那兒也有Pi。

上面的公式計算具有大質量的物體，例如恒星和星系，如何通過它們的重力來彎曲空間和時間。愛因斯坦說，就像坐在床單上的球一樣，任何形式的動量和能量也可以圍繞它彎曲時空?？偠灾绞牵?/p>

Gravity = 8 x π x Energy & Momentum

因此Pi是宇宙的重力、能量和動量以及其中包含的所有物體的一部分。不是任何其他無理數(shù)。如果你對地球重力開平方根，你得到的值近似Pi。

在自然界中尋找Pi

無窮級數(shù)不是尋找Pi的唯一途徑。你可以通過一些酷炫且有趣的活動來自行估算pi值。其中之一被稱為蒙特卡羅方法。假設你正在使用1×1的網格。你正在生成0和1之間的用來繪制坐標平面上的點。如果你繼續(xù)繪制點，你將會看到一些點到原點的距離小于1.其中一些點將大于1。在某些點之后，你會發(fā)現(xiàn)你得到了一個四分之一圓。如果你找到該四分之一圓的面積，它近似π/ 4。下面有一個1000點的例子。你可以從這里開始試試。

如果你不想處理計算機編程，那么你只需使用一只鉛筆和一張紙來完成。你只需畫一個半徑為1的圓，然后圍繞圓畫一個正方形。正方形的面積必須是4，因為圓的直徑是2。現(xiàn)在，如果你拿著鉛筆閉上眼睛，在紙上多次畫上隨機點，最終你的點落在圓內的的百分比將接近π/4。所以你可以在這里感覺像是阿基米德。

布馮針

在還沒有網絡的時候，孩子們常常在地板上玩硬幣，看硬幣是否穿過一條線。法國哲學家和數(shù)學家喬治·路易斯·勒克萊爾決定計算出硬幣穿過一條線的概率。好主意！

他首先將一根針落在一張附有內襯的紙上，并確定針穿過紙上一條線的概率。然后他用很多針做了多次實驗。他取得了顯著的結果。概率與無窮盡的pi值直接相關，因為他掉落的針數(shù)除以穿過一條線的針數(shù)幾乎等于2倍的pi。所以他做了一個公式：

P：概率 | n:針數(shù) | c:針穿過一條線的數(shù)量。然后：

P = 2n/c

在勒克萊爾之后，一位意大利數(shù)學家拉扎里尼投擲了將近4000次針頭來完成這項實驗。他精確地得到了pi。他得到了pi的前六位小數(shù)。

你可以查看以下的蒙特卡羅模擬。動圖顯示了使用不同牙簽數(shù)量對pi的估計。

投擲1000次針頭來估計pi

Pi日

經過長期的pi學習歷史，人們決定在3月14日組織一個pi的官方慶?；顒印Ｗ?988年起，人們在3月14日慶祝這個神奇的常數(shù)。有一個有趣的巧合，阿爾伯特·愛因斯坦出生于1879年3月14日的Pi日。愛因斯坦也在Pi日發(fā)表了他的廣義相對論。

Pi日的谷歌徽標

總而言之，數(shù)學是一種被印刻在全人類大腦中的語言。Pi只是那種語言中的一個詞。約翰·肯尼迪知道月亮并不是無限遙遠，并且他到了那里。我相信總有一天偉大的數(shù)學家們會揭示pi的所有數(shù)字。

我希望在我還是學生的時候，芬奇是我的老師。

有趣的人曼德爾布羅特費曼點費曼圖書館約翰·蘭伯特

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