你真的懂

勾股定理嗎

數(shù)是什么？畢達(dá)哥拉斯會告訴你，數(shù)是眾神之母，萬物之源

——節(jié)選自

《數(shù)學(xué)之旅 · 閃耀人類的54個(gè)數(shù)學(xué)家》

一般人看來，勾股定理只存在于特定的三角形或幾何圖形中。

但實(shí)際上，絕大多數(shù)人都小看了這條有2600年歷史的公式，很多看似不可能的圖形，只要涉及到了平方數(shù)，勾股定理就能插上一手！

什么？你不信？

今天，超模君就來講一下勾股定理背后隱藏的大學(xué)問，不過在講之前，超模君先帶模友們重新認(rèn)識一下“面積”這個(gè)詞。

何謂面積？

當(dāng)物體占據(jù)的空間是二維空間時(shí)，所占空間的大小就叫做該物體的面積。

舉個(gè)簡單的例子：正方形的面積 = 邊長 X 邊長

對此，相信模友們也能快速地列舉出大量的圖形面積公式，但你真的理解面積的性質(zhì)嗎？

實(shí)際上，除了我們熟知的圖形面積公式，還有一種鮮為人知的面積計(jì)算方法——通過計(jì)算任意線段的平方來得到任意圖形的面積。

先不要質(zhì)疑，繼續(xù)往下看。。。

舉個(gè)例子：

正方形的面積為邊長a的平方，平方項(xiàng)即邊長a（邊為5，那么面積就是25）；

圓的面積為πr2，平方項(xiàng)為半徑r（半徑是5，那么面積就是25π）；

接下來，超模君要做一個(gè)大膽的假設(shè)：如果把半徑 r 當(dāng)做邊長a的“替代品”，那么圓的面積也可看成某條線段的平方，但由于線段選取和圖形的不同，在此過程中會產(chǎn)生一個(gè)“面積系數(shù)π”。

也就是說，任意圖形的面積公式將會變成這個(gè)樣子：

面積＝系數(shù)×(線段)2

然后我們再來看看，正方形和圓形的面積是怎么算的：

如果用周長“p”作為線段，則面積為 p2 /16，面積系數(shù)為1/16；

如果用對角線“d”作為線段，則面積為 d2/2，面積系數(shù)為1/2 。

也就是說，我們可以通過正方形上任意一條線段計(jì)算出正方形的面積。

因?yàn)樵诒贿x取的任意一條線段總可以通過一定的關(guān)系（比如說正方形的周長，正好是邊長的四倍）與通常意義上計(jì)算面積的線段相聯(lián)系起來。

而線段的選取方式之間，只是會產(chǎn)生不同的面積系數(shù)而已，最終的計(jì)算結(jié)果仍是一致的。

那是不是所有圖形都能使用這個(gè)方法呢？

很遺憾地說，這一方法只適用于相似的圖形：

• 所有的正方形都是相似的（面積都是s2）

• 所有的圓也都是相似的（面積都是πr2）

• 不是所有的三角形都是相似的：有些是銳角三角形，有些是鈍角三角形——

  根據(jù)選取線段的不同，每一種類型都有著各自的面積系數(shù)。改變了三角形的形狀，它的面積公式也要改變。

是的，所有的三角形都可以通過面積＝(1/2)·底·高來計(jì)算它的面積。

但是底與高的關(guān)系依賴于三角形的形狀，所以它們的面積系數(shù)也會有差異。

那問題又來了，為什么我們需要相似性來保證它們可以使用相同的面積公式呢？

直覺告訴我們，我們等比例縮放一個(gè)圖形時(shí)，絕對大小會改變，但是比例卻不會發(fā)生改變。

比如說，一個(gè)正方形，無論它怎么縮放，都有周長＝4*邊長。

因?yàn)槊娣e系數(shù)的選擇基于圖形的比例，所以任何擁有相同比例的圖形都可以通過同一公式來計(jì)算面積。

就和大家的臂展都近似等于身高是一個(gè)道理，不管他是NBA球員還是一個(gè)孩子，他們都可以使用相同的公式因?yàn)樗麄兌际窍嚓P(guān)的。

所以，關(guān)于面積的“新看法”可以總結(jié)為以下三點(diǎn)：

• 面積可以從任何線段的平方中得到，而不只是從邊長或半徑中

• 每一個(gè)線段都有相應(yīng)的“面積系數(shù)”

• 相似圖形的面積系數(shù)是一樣的，可以使用同一面積公式

畢達(dá)哥拉斯作為第一個(gè)弘揚(yáng)“萬物皆數(shù)”的人，估計(jì)當(dāng)年提出勾股定理的時(shí)候，肯定有不少學(xué)徒心懷疑惑“為什么一定是 a2+ b2＝c2”，但又不敢挑戰(zhàn)畢達(dá)哥拉斯的權(quán)威。

如今，勾股定理早已被數(shù)學(xué)家們證實(shí)，證明方法也是層出不窮、花樣百出。

但超模君今天要帶大家玩點(diǎn)有新意的：任意直角三角形都可以分解成兩個(gè)相似的直角三角形。

很酷，是吧？通過一個(gè)點(diǎn)畫一條垂線就可以把一個(gè)直角三角形分成兩個(gè)小直角三角形。

大家也可以嘗試著自己證明一下這個(gè)命題：利用相似性中的角-角-角來證明。

這個(gè)示意圖把一些事解釋的很清楚：

面積（大）＝面積（中）+面積（?。?/strong>

小三角形是從大三角形中切出來的，所以面積就是把較小三角形的面積相加起來。

而更讓人意外的是：因?yàn)檫@些三角形都相似，所以它們的面積公式也都相同。

讓我們把最長的邊稱為c（5），較小的邊稱為b（4），而最小的邊長則稱為c（3）。

這種三角形的的面積公式就是：

面積＝F×斜邊

這里的F是面積系數(shù)。

在這里是6/25或0.24；具體是那個(gè)數(shù)值并不重要。

現(xiàn)在讓我們利用以下方程式做運(yùn)算：

面積（大）＝面積（中）+面積（小）

F· c2＝ F· b2 + F· a2

兩邊同除以F，便可以得到：

c2＝ b2 + a2

萬萬沒想到吧，這就是那個(gè)最著名的勾股定理！

所以我們可以初步得到以下兩個(gè)結(jié)論：

• 一個(gè)三角形可以分成兩個(gè)更小的相似三角形

• 因?yàn)槊娣e是通過相加得到的，所以邊長的平方(它決定了面積)也要相加。

我們再回過頭來看上文提到的圓形：

當(dāng)我們把它們相加時(shí)會發(fā)生什么呢？

你猜到了嗎：半徑為5的圓＝半徑為4的圓+半徑為3的圓。

相當(dāng)神奇，是吧？

我們可以把勾股定理乘以面積系數(shù)（比如說這個(gè)例子中的π），然后就得出了任意一種圖形的關(guān)系。

記住，線段可以是圖形的任意部分。

我們可以選用圓的半徑，直徑，或者是圓周。

盡管有著不同的面積系數(shù)，但是3-4-5 的關(guān)系始終成立。

除此之外，這個(gè)定理甚至還能應(yīng)用到一些你無法想象的領(lǐng)域，邊長的“長度”可以是距離，能量，工作，時(shí)間，甚至是在社交網(wǎng)絡(luò)中的人們...

1.社交網(wǎng)絡(luò)

麥卡福定理（Metcalfe's Law）（如果你相信的話）說網(wǎng)絡(luò)的價(jià)值與 n2（關(guān)系的數(shù)量）有關(guān)。

如下所示：

50M的網(wǎng)絡(luò)＝ 40M的網(wǎng)絡(luò)+ 30M的網(wǎng)絡(luò)

令人驚訝的是，第二項(xiàng)網(wǎng)絡(luò)與第三項(xiàng)網(wǎng)絡(luò)共有 70M 的人，但是它們并不是簡單的相加，反倒是與一個(gè)有五千萬人的網(wǎng)絡(luò)價(jià)值相當(dāng)。

2.計(jì)算機(jī)科學(xué)

一些程序如果有n個(gè)輸入，那么就要花費(fèi) n2 的時(shí)間（比如說冒泡排序法）。

耗費(fèi)時(shí)間表示如下：

50個(gè)輸入＝ 40個(gè)輸入+ 30個(gè)輸入

相當(dāng)有意思，總共70個(gè)元素的兩組輸入跟一組50個(gè)元素輸入所花費(fèi)的時(shí)間相同。

是的，可能會有一些總開銷或是啟動開銷有所不同，但在這里暫且不予以考慮

根據(jù)這個(gè)關(guān)系，把元素進(jìn)行分成子組進(jìn)行運(yùn)算就有意義了。

事實(shí)上，一種較優(yōu)的排序法——快速排序法中就用到了這一關(guān)系。

畢達(dá)哥拉斯定理幫助我們理解了對50個(gè)元素進(jìn)行排序跟對30個(gè)以及40個(gè)兩組不同的元素進(jìn)行排序，所消耗的時(shí)間是一樣。

3.表面積

球面的表面積是 4πr2。所以就有：

半徑為50的球面積＝ 半徑為40的球面積+ 半徑為30的球面積

我們并不經(jīng)常用到球面積，但是船身有著一樣的關(guān)系。

船身就像是畸形化的球面，對吧？

假設(shè)船只的形狀都相似，給50英尺的游艇噴漆所用的顏料正好可以給40英尺與30英尺的游艇噴漆。嘔耶！

4.物理學(xué)

如果你還記得在物理課上學(xué)過的，一個(gè)質(zhì)量為m，速度為v的物體的動能等于mv2 /2。

因此有:

500邁的能量＝400邁的能量+ 300邁的能量

加速一個(gè)子彈到500邁的能量，可以把兩個(gè)同樣的子彈分別加速到400邁與300邁。

......

總而言之，勾股定理絕非表面那么淺顯，這個(gè)定理還有許多有意思的地方等著我們?nèi)グl(fā)掘呢~

絕大多數(shù)人在經(jīng)歷了十幾年的學(xué)校生涯后，對許多公式定理都停留在了解題層面，上文提到的勾股定理就是一個(gè)很好的例子。

其實(shí)，往往也是那些看似簡單的公式定理，最能推動這個(gè)世界的發(fā)展，而那些看起來枯燥無味的定義，背后往往也有一個(gè)鮮為人知的趣事。