我是誰？我從哪里來？我將到哪里去？

很多人把這三個(gè)問題稱為哲學(xué)終極三大問題，而在數(shù)學(xué)界以及數(shù)學(xué)教育界也同樣有著困擾眾人的三大終極問題：數(shù)學(xué)到底是什么？該如何學(xué)習(xí)或進(jìn)行研究？作為一名老師要怎么做才能教好它？

被譽(yù)為中國數(shù)學(xué)教育三座學(xué)術(shù)高峰之一的徐利治教授在《談數(shù)學(xué)哲學(xué)》一書中提到這樣一件事，在清華大學(xué)教書的時(shí)候有學(xué)生和同事問過他如下幾個(gè)問題：數(shù)學(xué)對象是從腦子里想出來的，還是客觀上早已存在的？利用邏輯證明得到的定理結(jié)論是否就是現(xiàn)實(shí)世界的真理？數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展以及數(shù)學(xué)創(chuàng)作、教與學(xué)活動有無必然的一般規(guī)律？這些問題在當(dāng)時(shí)讓他感到無比困惑，而這些問題也就是上述三大問題本體論、認(rèn)識論和方法論的細(xì)分，

想要解決這些問題，就必須先了解數(shù)學(xué)的本質(zhì)到底是什么？因?yàn)槊恳晃粩?shù)學(xué)教師只有恰當(dāng)理解了這一問題后才能教好這門課，每一位高中生或數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生只要對本質(zhì)理解深透就能極大的提高他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和欣賞數(shù)學(xué)的能力，每一位科學(xué)工作者因?yàn)樗难芯空n題相當(dāng)大地受數(shù)學(xué)的影響，因此他也必須明白為何數(shù)學(xué)在科學(xué)和技術(shù)領(lǐng)域竟有如此'異乎尋常'的影響，毫不夸張地說，幾乎世界上的每一個(gè)人都應(yīng)該對數(shù)學(xué)本質(zhì)問題感興趣和有所了解，

對數(shù)學(xué)本質(zhì)有兩種討論或了解方法，一種是可以由一位作者著述他關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的觀點(diǎn)，但這對于無論哪個(gè)人來說都顯然是過于繁重的任務(wù)，并且這種討論不可避免地受到作者感興趣的某些數(shù)學(xué)領(lǐng)域的局限，另一種方法是找人通讀文獻(xiàn)，選編各個(gè)時(shí)期的大數(shù)學(xué)家們關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的言談錄，雖然這樣收集到的材料顯然不夠完備，但能夠很好地代表這一主題上的各種見解和具有指導(dǎo)意義，因此小數(shù)君整理和收集了100位各個(gè)時(shí)期里最偉大的數(shù)學(xué)家或科學(xué)家們關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的言論，涉及到數(shù)學(xué)的抽象與應(yīng)用，數(shù)學(xué)中的直覺和想象，數(shù)學(xué)模型，公理化，推廣，證明，數(shù)學(xué)中的動機(jī)，數(shù)學(xué)和美學(xué)、藝術(shù)、科學(xué)、技術(shù)和應(yīng)用數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)才能、數(shù)學(xué)的各種特征、教學(xué)等一系列問題，

這些言論適合各種數(shù)學(xué)水平的教師、學(xué)生、學(xué)生家長、科技工作者閱讀，可以給課內(nèi)、外的討論和數(shù)學(xué)俱樂部的聚會提供有價(jià)值的題材，也能給學(xué)生們提供辯論的要點(diǎn)，或許這些言論也能夠讓年青一代在數(shù)學(xué)上擁有更大的創(chuàng)造性，也或許可以讓每個(gè)人對數(shù)學(xué)及其應(yīng)用本質(zhì)有更清晰的理解，

而數(shù)學(xué)該如何學(xué)，又要怎么教，相信看完這些言論你或許會找到屬于自己的答案！

（-5）

數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量是幾個(gè)變量的函數(shù)，即T=（S，B，C，M，R，E...）其中S是教學(xué)要點(diǎn)的恰當(dāng)性，B是選作閱讀用的書籍，C是教員的能力，M是教學(xué)方法，R是學(xué)生的接受能力，E是考試制度等等，為了全面地改進(jìn)T，必須恰當(dāng)?shù)馗倪M(jìn)T所依賴的所有要素.

— A.C Banerjee

（-3）

有些教師試圖用記憶規(guī)則和發(fā)展機(jī)械程式的方法講授數(shù)學(xué)，他們是拙劣的教員，這種教學(xué)方法也是不值得提倡的，無論誰，他如果只學(xué)習(xí)處方而沒有真正弄懂他所學(xué)的東西，那他就不能正確地使用這些處方.

— A.Renyi

（-2）

盡管數(shù)學(xué)極為重要，極富成就，盡管它迷住許多初學(xué)者，盡管它對科學(xué)與現(xiàn)代文明的發(fā)展作出了貢獻(xiàn)，但是數(shù)學(xué)在普通人心目中仍然是枯燥的和困難的，在學(xué)校的書本中，數(shù)學(xué)好像是一系列明顯地缺乏意義的程序，有時(shí)帶有一些'低檔技巧'或者一些竅門，聰明的學(xué)生自然對這些產(chǎn)生反感，這種教學(xué)后果是使學(xué)生們感到乏味因而忽視了這門課，這種情況很普遍，致使對數(shù)學(xué)的不顧不問變成一種社會態(tài)度，但過去可不總是這樣的，那些最早期的哲學(xué)家們都是拒絕研究任何不精通數(shù)學(xué)的人的銘言的.

— Y.B Chavan

（-1）

必須在嚴(yán)格形式和習(xí)慣語形式方面將學(xué)生們引向數(shù)學(xué)語言，他應(yīng)該學(xué)會清晰地解釋一些基本的概念、陳述和記號，他應(yīng)該擁有選擇的數(shù)學(xué)技巧發(fā)展之間的敏捷，應(yīng)該知道一部分基本定理的證明并得到構(gòu)造證明方面的經(jīng)驗(yàn)，他應(yīng)該懂得抽象和公理化方法的效力，他應(yīng)該了解數(shù)學(xué)的可應(yīng)用性，以及在數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的建樹的相互作用，他應(yīng)該開始閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，理解它們，并以此為樂趣，他應(yīng)該學(xué)會從例證和經(jīng)驗(yàn)中培養(yǎng)好奇心和實(shí)驗(yàn)習(xí)慣，學(xué)會比直接目標(biāo)看得更遠(yuǎn)，提出和驗(yàn)證假設(shè)，總之，學(xué)生必須在數(shù)學(xué)方面開始成熟，而且開始獲取數(shù)學(xué)信息.

— CUPM panel

（0）

有很多方法幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)方面成熟，可以把他編入為高材生開設(shè)的專門的'優(yōu)等生班'，可以在開始階段給他布置課內(nèi)閱讀作業(yè)，后期再布置學(xué)術(shù)雜志中較難論文的閱讀作業(yè)，可以通過'文獻(xiàn)閱讀課'教授學(xué)生，他可以在討論班或討論會上做報(bào)告，他可以準(zhǔn)備一份對他來說是獨(dú)創(chuàng)性的大學(xué)生論文，盡管這不是更高意義上的獨(dú)創(chuàng)性，還可以為學(xué)生開設(shè)'開發(fā)性課程'，由教授指導(dǎo)他發(fā)展一批數(shù)學(xué)題材，一般地，每一種大學(xué)課程表中都應(yīng)該包括發(fā)展學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的自立、首創(chuàng)和自信精神的工作.

— CUPM panel

（1）

學(xué)習(xí)任何數(shù)學(xué)主題的第一步是發(fā)展直覺.

— C.B.Allendoerfer

（2）

數(shù)學(xué)教學(xué)也需要更好地與工業(yè)與研究中的現(xiàn)代應(yīng)用相結(jié)合，實(shí)際上這些應(yīng)用應(yīng)該常常用來作為講授這門課的媒介，如果認(rèn)為這些應(yīng)用僅僅是輔助性的解釋，是肉已燒好后加上的醬油，那就是誤解了它們在教學(xué)中的作用，但是主要之點(diǎn)不在于這些題材中的可應(yīng)用性，而是從學(xué)生那里喚起對數(shù)學(xué)的響應(yīng).

— T.J.Fletcher

（3）

和把數(shù)學(xué)看作一門學(xué)科相比，我?guī)缀醺矚g把它看作一門藝術(shù)，那是因?yàn)閿?shù)學(xué)家在理性世界指導(dǎo)下（雖然不是控制下）所表現(xiàn)出的經(jīng)久創(chuàng)造性活動，具有和藝術(shù)家的，例如畫家的活動相似之處，這是真實(shí)的而并非臆造的，數(shù)學(xué)家嚴(yán)格的演繹推理在這里可以比作專門性技巧，就像一個(gè)人若不具備一定量的技能就不能成為畫家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學(xué)家，這些品質(zhì)是很基本的，但它們還不足以使一個(gè)人稱得上是畫家或數(shù)學(xué)家，實(shí)際上它們也不是對應(yīng)情況下的主要因素，其它一些要微妙得多的品質(zhì)才構(gòu)成一個(gè)優(yōu)秀的藝術(shù)家或優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的素質(zhì)，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力.

— M.Bocher

（π）

雖然搞研究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的新應(yīng)用也許是進(jìn)行數(shù)學(xué)工作最有趣的方式，但還有其它方法保持?jǐn)?shù)學(xué)的嚴(yán)密性，這包括通過閱讀數(shù)學(xué)文章保持對數(shù)學(xué)中新發(fā)展的了解，參加討論班，參與發(fā)展新的教學(xué)計(jì)劃和數(shù)學(xué)技巧，解數(shù)學(xué)迷棋和問題以及培訓(xùn)數(shù)學(xué)教師，最有效率的數(shù)學(xué)教師應(yīng)該是這種人：他們訂閱數(shù)學(xué)雜志，參加數(shù)學(xué)活動，讀書，考慮，深思，計(jì)劃，又突然加速前進(jìn)，能夠設(shè)計(jì)并講授一門他們從未教過的、更好的課程，現(xiàn)在是做一位數(shù)學(xué)家和一位教師的好日子，事情是動人的，既有興奮也有爭議.

— R.H.Bing

（4）

盡管旁觀數(shù)學(xué)比從事數(shù)學(xué)要容易得多，但那是一項(xiàng)最無收益的吸引觀眾的運(yùn)動.

— C.G.Gullin

（5）

的確有著一條關(guān)于數(shù)學(xué)成就的無可爭議的準(zhǔn)則，那就是數(shù)學(xué)研究結(jié)果在科學(xué)和技術(shù)中的直接可應(yīng)用性，在得出正面結(jié)論時(shí)，即有一項(xiàng)工作滿足這項(xiàng)準(zhǔn)則時(shí)，這條準(zhǔn)則是絕對可靠的，但是人們都知道這不是唯一的準(zhǔn)則，我們都知道許多深刻的數(shù)學(xué)定理的例子，它們在剛剛出現(xiàn)時(shí)都是遠(yuǎn)離任何可能的應(yīng)用的（非歐幾何、伽羅華群論，理想論、超限數(shù)等等）.

— P.S.Aleksendrov

（6）

今天，拓?fù)涞奶焓购统橄蟠鷶?shù)的精靈為每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的靈魂而斗爭.

— H.Weyl

（7）

數(shù)學(xué)的連續(xù)性常常受到了各種威脅，但又總是保持了下來，如果我們希望正確地觀察當(dāng)代的數(shù)學(xué)運(yùn)動，我們就必須牢記這種連續(xù)性，以連續(xù)性為依據(jù)的證明就像以內(nèi)在美或效用為依據(jù)的證明一樣重要.

— L.Felix

（8）

我希望能找到一種方法說服青年人，告訴他們不應(yīng)該留在極其抽象的'安全'領(lǐng)域內(nèi)，而應(yīng)該試著在應(yīng)用方面做一些事.

— R.Courant

（9）

數(shù)學(xué)證明并不是已經(jīng)完成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的一部分，但它們是數(shù)學(xué)研究中的一環(huán)，最好的數(shù)學(xué)證明通常是簡短的，直接的和深刻的，這種證明中的'實(shí)際上'有時(shí)帶有恩賜般微笑的柔和，有時(shí)帶有機(jī)智諷刺般的敏捷，有時(shí)帶有直截了當(dāng)?shù)?、詼諧軼事般的出其不意，一個(gè)長篇證明可能缺少簡短證明的那種直接性，但它常常用搖擺、起伏和音樂般的韻律來彌補(bǔ)這一點(diǎn)，它甚至可以具有和音樂作品同一的結(jié)構(gòu)，這里是一串隨便的、看上去無關(guān)的思想的開端，他們達(dá)到某點(diǎn)后就被丟開，而另一條邏輯證明路線開始，然后還可能有第三條又同樣地開始了，這就好像一個(gè)音樂主題發(fā)展到一定程度之后就放棄了，而另一個(gè)看上去無關(guān)的主題又開始了，然后分立的邏輯證明路線和音樂注意開始互相靠近、混合、盤繞，然后它們緊緊地交織在一起，最后爆發(fā)出勝利完成的結(jié)束曲.

— N.A.Court

（10）

數(shù)學(xué)所處理的結(jié)構(gòu)就好象是一棵樹的葉子，好像是一片草地或一個(gè)人臉上的明暗變幻.

— Scott Buchanan

（11）

講授數(shù)學(xué)的方法是很不完美的，我把這看作是對我們所從事的職業(yè)的責(zé)備，指出了我們還沒有發(fā)明出教這門課的文明方法，乘法表的背誦，復(fù)雜開方口訣的記憶，厭煩的解三角形問題如此等等，全都與數(shù)學(xué)的理解毫不相干，我認(rèn)為這些是學(xué)校中數(shù)學(xué)的虐待成份，是能夠并且應(yīng)該廢除的.

— E.M.Llyod

（12）

不要問數(shù)學(xué)能為別的科學(xué)做什么，要問一問別的科學(xué)能為數(shù)學(xué)做什么.

— S.Ulam

（13）

在一門數(shù)學(xué)學(xué)科遠(yuǎn)離其經(jīng)驗(yàn)之源而發(fā)展時(shí)，存在著一種危險(xiǎn)，即這門學(xué)科會沿著一些最省力的方向發(fā)展并分為為數(shù)眾多而又無意義的支流，唯一的解決辦法是使其回到其源，返老還童.

— John Von Neumann

（14）

無論一位數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的最終興趣和職業(yè)是什么，他都應(yīng)該懂些數(shù)學(xué)是如何被應(yīng)用的，懂些有關(guān)數(shù)學(xué)和各門科學(xué)間的復(fù)雜交互作用，許多從事純研究的數(shù)學(xué)家很少與其他科學(xué)接觸，他們傾向于主要把他們的學(xué)科看作是自給自足的，自行繁衍的，可以從內(nèi)部提出問題的，僅僅是偶爾地獲得外界刺激的，另外一些更直接地與鄰近學(xué)科打交道的數(shù)學(xué)家可能很難同意這種看法，他們可能實(shí)際上十分強(qiáng)調(diào)物理科學(xué)對數(shù)學(xué)概念和思想所起的源泉的作用.

— R.C.Buck與E.F.Buck

（15）

一個(gè)未經(jīng)解釋的符號化表達(dá)僅僅是個(gè)記號游戲，只有當(dāng)它有了含義，只有當(dāng)有人使用了這些符號和符號游戲的解釋，它才是一門語言，不能把直覺的作用降到次要的地位.

— Jorgensen

（16）

數(shù)學(xué)是要做的而不是拿來看的，我們必須留心數(shù)學(xué)明日會是什么，以及它對它的今日有什么不滿足之處，數(shù)學(xué)的滲透力不僅具有廣度，而且具有深度，科學(xué)和技術(shù)的巨大發(fā)展主要地是由于數(shù)學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展，是由于數(shù)學(xué)在物理學(xué)、生物學(xué)以及社會科學(xué)中的縱深滲透.

— R.S.Varma

（17）

數(shù)學(xué)為其證明所具有的邏輯性而驕傲，也有資格為之驕傲，但是這些證明并不是數(shù)學(xué)學(xué)說的必要組成部分，它們是數(shù)學(xué)家用以得到其結(jié)果的工具，是數(shù)學(xué)家為了俯瞰他們所要眺望、凝視和觀賞的領(lǐng)域而騎上的火箭.

（18）

創(chuàng)造一個(gè)有活力的數(shù)學(xué)模型是一項(xiàng)需要了不起的技能和判斷力的迷人工作，必須在過細(xì)的描述與過于簡化的描述之間做出合理的權(quán)衡，過細(xì)就會造成一組無法解決的數(shù)學(xué)問題，過簡則可能掩蓋有興趣的細(xì)節(jié)，至使無法發(fā)現(xiàn)所要尋求的最優(yōu)預(yù)報(bào)，一個(gè)在這種意義上合理地接近所考慮的過程的模型可以用來設(shè)計(jì)、預(yù)言和發(fā)現(xiàn)最優(yōu)工作條件，使得所花代價(jià)最小，效率最大等等.

— E.M.Llyod

（19）

數(shù)學(xué)通常被認(rèn)為是與詩歌絕對相反的，但是數(shù)學(xué)與詩歌同屬一個(gè)宗族，因?yàn)樗麄兌际窍胂蟮漠a(chǎn)品.

— Thomsa Hill

（20）

有成效的數(shù)學(xué)家和最好的學(xué)生并不全神貫注于嚴(yán)格性，而是著眼于實(shí)質(zhì)概念.

— L.Bers

（21）

數(shù)學(xué)僅僅是空洞的思想游戲嗎？如果它僅僅給了物理學(xué)家一種方便的語言，難道這不會是一種平庸的，或者嚴(yán)格地說是一種用不著的幫助嗎？甚至可以問，難道不該擔(dān)心這種人造語言會是設(shè)置在現(xiàn)實(shí)與物理學(xué)家的眼睛之間的幕帳嗎？事情遠(yuǎn)非如此，如果沒有這種語言，大多數(shù)的事物內(nèi)在的相似性將會永遠(yuǎn)是未知的，我們對于世界的內(nèi)部和諧也會永遠(yuǎn)地?zé)o知，然而正是這種和諧才是唯一真正的客觀現(xiàn)實(shí).

— Henri poincare

（22）

數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃的擬定者不應(yīng)該以犧牲數(shù)學(xué)動機(jī)和具體內(nèi)容的教學(xué)來強(qiáng)調(diào)抽象與優(yōu)美之處.

（23）

另一個(gè)廣為流傳的誤解是認(rèn)為數(shù)學(xué)包含有命題，有那么多不連貫的語句，有那么多小小的鴿子窩，但是對于已經(jīng)入門的人，數(shù)學(xué)就像一幅美麗的風(fēng)景畫那樣連貫，那樣延續(xù)，命題是被選出來作為定位點(diǎn)的，作為特別引人入勝的觀光之處，作為可以眺望意外的而又悅目的風(fēng)光的高地，但是，就象鄉(xiāng)野的平地沒有構(gòu)成全部風(fēng)景一樣，命題至多也未構(gòu)成全部數(shù)學(xué).

— N.A.Court

（24）

數(shù)學(xué)被認(rèn)為是單調(diào)乏味的學(xué)科，但如今已經(jīng)越來越被人們承認(rèn)為在科學(xué)發(fā)展中具有高度重要性的學(xué)科，實(shí)際上，數(shù)學(xué)研究極大地開闊了人類思想的地平線，并且在某種程度上幫助人們理解自然界和物理世界，今天，它是表達(dá)嚴(yán)格的科學(xué)思想的媒介.

— Jawahar Lal Nehru

（25）

認(rèn)真地講，數(shù)學(xué)可能是個(gè)玩笑，開玩笑地講，數(shù)學(xué)可能是認(rèn)真的.

（26）

數(shù)學(xué)的普遍性看來是它在各個(gè)文化因素中最顯著的特征，但是有些數(shù)學(xué)還具有明顯的民族特征，長期以來人們認(rèn)為法國數(shù)學(xué)偏愛函數(shù)論，英國數(shù)學(xué)對應(yīng)用感興趣，德國著重?cái)?shù)學(xué)基礎(chǔ)，意大利感興趣于幾何，而美國的數(shù)學(xué)則以其抽象特征著稱，然而，盡管有這些由于文化影響造成的差異，數(shù)學(xué)在今日還是可以看作具有絕大多數(shù)其它人類活動所沒有的普遍性.

— R.L.Wilder

（27）

邏輯和數(shù)學(xué)之不同就像孩子和大人一樣，邏輯是數(shù)學(xué)的初期而數(shù)學(xué)是邏輯的成年期.

— Bertrand Russel

（28）

數(shù)學(xué)受到過農(nóng)業(yè)、商業(yè)和制造業(yè)的影響，受到過戰(zhàn)爭、工程和哲學(xué)的影響，受到過物理學(xué)和天文學(xué)的影響，流體動力學(xué)對函數(shù)論的影響，康德哲學(xué)和測量學(xué)對幾何學(xué)的影響，電磁學(xué)對微分方程的影響，笛卡爾哲學(xué)對力學(xué)的影響和經(jīng)院哲學(xué)對微積分的影響，只有把所有這些決定性因素都考慮到，才能理解數(shù)學(xué)這門課和數(shù)學(xué)的內(nèi)容.

— D.J.Struik

（29）

搞數(shù)論的人可以和貪圖安樂的人相比，它是十分吸引人的，一旦你試過它，其它的數(shù)學(xué)活動可能會顯得有些乏味.

— D.Hilbert

（30）

即使數(shù)學(xué)家在選擇問題、舍棄問題或者轉(zhuǎn)向其他問題時(shí)，實(shí)質(zhì)上是不受約束的，然而理論物理中的一個(gè)重要問題通常是'必須'解決的爭論和矛盾，一位數(shù)學(xué)家有許多他可以從事研究的領(lǐng)域，在這些領(lǐng)域里他享受相當(dāng)大的自由度，我認(rèn)為，正確地說，他選擇領(lǐng)域和課題的原則以及成功的準(zhǔn)則主要地是審美學(xué)的.

— J.Von Neumann

（31）

一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家必須是一個(gè)數(shù)學(xué)家，而要做一個(gè)數(shù)學(xué)家，他就必須時(shí)時(shí)回到數(shù)學(xué)環(huán)境中去恢復(fù)精神，他必須回到本源，同時(shí)，他要做一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)家，就必須停止做數(shù)學(xué)家而做科學(xué)家.

— J.B.Rosser

（32）

我希望我已經(jīng)證明了，數(shù)學(xué)既不必是嚴(yán)峻的，也未必是遙遠(yuǎn)的，它既和幾乎所有的人類活動有關(guān)，又對每個(gè)真心感興趣的人有益.

（35）

現(xiàn)代數(shù)學(xué)帶著兩個(gè)急迫要求出現(xiàn)于科學(xué)中，一方面，它渴望在所有的方面冒險(xiǎn)，無畏地甚至是著急地走到前面去為一些領(lǐng)域做準(zhǔn)備，使得這些領(lǐng)域中的研究者能夠?qū)Ｐ挠谖锢韺W(xué)的需要，或甚至專心于其個(gè)人好奇心的需要，另一方面，數(shù)學(xué)打算重建大廈的支撐，使其基礎(chǔ)更加寬廣，足以廣泛地支持最近的將來所要出現(xiàn)的一切，這種打算所基于的條件是，只要上述事情是可以預(yù)期的，并且有人具有足夠的勇氣去豎起給各種理論以合適位置的新結(jié)構(gòu)，最后，數(shù)學(xué)又從旁監(jiān)督這個(gè)結(jié)構(gòu)的建立，甚至硬說它有權(quán)對其整體的牢固性做出評價(jià).

— L.Felix

（36）

有可能在相對短的時(shí)間里向優(yōu)秀的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生有效地講授現(xiàn)代物理學(xué)的任何分支，因?yàn)檫@些學(xué)生在數(shù)學(xué)方面是成熟的.

— E.W.Montroll

（37）

純數(shù)學(xué)家提供了一個(gè)知識寶庫，而應(yīng)用數(shù)學(xué)家利用這個(gè)寶庫，重要的是要使這個(gè)寶庫永不耗盡，在今日的數(shù)學(xué)家生產(chǎn)新數(shù)學(xué)的速率之下，我們除去寶庫的大小不適宜之外不必?fù)?dān)心它會被耗盡.

— H.Montague and M.Montogomory

（38）

按照希爾伯特的想象，數(shù)學(xué)就象一塊多面晶體，每個(gè)面既有它自己的來源，也有天才而嚴(yán)肅的學(xué)者提出潛在的前景，我認(rèn)為不存在適用于數(shù)學(xué)真理的所有側(cè)面的唯一客觀價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)，只有數(shù)學(xué)自身和歷史才能做出評價(jià)，數(shù)學(xué)的只有度就在于此，并且僅在于此，這一點(diǎn)早就被G.康托看到了.

— P.S.Aleksendrov

（39）

每一個(gè)孩子都有可能成為科學(xué)家，但不是每一個(gè)孩子都有可能成為數(shù)學(xué)家.

— Chaeles Snow

（40）

數(shù)學(xué)并不從課本中已完成的定理出發(fā)，而是始于豐富而又變化的環(huán)境，在得到初步結(jié)果之前有一個(gè)發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)造，犯錯(cuò)誤，丟棄和承認(rèn)的階段.

（41）

數(shù)學(xué)家更傾向于重技巧而不是重思想，這和重大科學(xué)研究成就中的基本優(yōu)先次序不同，許多科學(xué)家是富于想象的，機(jī)敏的，但在使用數(shù)學(xué)工具上常常是笨拙的，此外他們的數(shù)學(xué)論述常常包含邏輯錯(cuò)誤，但這些缺陷不會怎樣影響科學(xué)，在實(shí)驗(yàn)科學(xué)和理論科學(xué)中都不像數(shù)學(xué)那樣正統(tǒng)，錯(cuò)誤的出現(xiàn)和改正錯(cuò)誤的過程是科學(xué)中有活力的文獻(xiàn)的組成部分，并且在發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的結(jié)果中起了本質(zhì)的作用.

— S.Karlin

（42）

所有對教育感興趣的人應(yīng)該掌握的是如下事實(shí)：我們關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的概念已經(jīng)改善了，我們關(guān)于這門學(xué)科的技術(shù)性知識被大大地改進(jìn)了，并且，為了科學(xué)技術(shù)進(jìn)步，我們對它的依賴大大地增加了.

— M.H.Stone

（43）

創(chuàng)造性是數(shù)學(xué)的心臟和靈魂，創(chuàng)造性發(fā)生在優(yōu)秀教師的初等課堂上，在任何把數(shù)學(xué)應(yīng)用于其他領(lǐng)域的場合都展示出創(chuàng)造性，它在每門大學(xué)數(shù)學(xué)課程中都應(yīng)該表現(xiàn)出來，好奇心當(dāng)然是數(shù)學(xué)的要旨，許多數(shù)學(xué)研究是在數(shù)學(xué)家之間的討論中涌出的.

（45）

在對日益增大的數(shù)學(xué)知識總體進(jìn)行簡化、廓清和統(tǒng)一化時(shí)，抽象是必不可少的工作，但是抽象不應(yīng)用被用來把數(shù)學(xué)和其來源隔斷.

— I.Kaplansky

（46）

二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)令人驚異的特征是它對抽象方法力量的承認(rèn)，這已經(jīng)引出了大量的新結(jié)果、新課題，事實(shí)上這已經(jīng)引導(dǎo)我們開辟了以前從未被提出的一些全新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，隨著這些發(fā)展而來的不僅是嶄新的數(shù)學(xué)，而且是其生氣勃勃的前景，以及對那些困難的古典結(jié)果所給出的簡潔而新穎的證明，把一個(gè)問題分離為一些基本的本質(zhì)部分，這就為我們揭示了它在整個(gè)事物結(jié)構(gòu)中的環(huán)境，它向我們顯示了以往被認(rèn)為是無關(guān)的若干領(lǐng)域之間的聯(lián)系.

— I.N. Hernstein

（47）

數(shù)學(xué)科學(xué)和所有其他活生生的事物一樣有其自然的生長規(guī)律.

— C.N.Mooer

（50）

和任何其它的文化因素一樣，數(shù)學(xué)依靠傳播與演變而成長，無論是在個(gè)體的頭腦中還是在一組人的頭腦中給定了一組并列的思想，都會發(fā)生綜合并出現(xiàn)新的概念，如同Spengler所說的：'一個(gè)由歷史必然所提出的任務(wù)，無論有無某個(gè)個(gè)人都將會完成'，數(shù)學(xué)并不是因?yàn)橐欢〞r(shí)期偶爾地誕生了一個(gè)牛頓，一個(gè)黎曼或者一個(gè)高斯才成長的，相反地，偉大的數(shù)學(xué)家被包括數(shù)學(xué)成份在內(nèi)的文化條件所造就，這種條件導(dǎo)致了他們的成長，如同在產(chǎn)生維爾斯特拉斯和克羅尼克的時(shí)代一樣，在希臘時(shí)代也誕生了潛在的偉大分析家和偉大代數(shù)學(xué)家，但是除其他條件不同外，在希臘文化中還缺少必要的分析與代數(shù)要素，這并不是貶低偉大人物的偉大之處，而是要哀悼那些在過去以及在現(xiàn)代失去了施展其才能機(jī)會的人們，我們當(dāng)然會同意若無'創(chuàng)造天才'就不能發(fā)展數(shù)學(xué)，我們還要堅(jiān)持說，天才不能在智慧的真空中工作，而且若無合適的智力刺激，他的'才能'將永不為人所知.

（51）

可以以這樣兩種方式想象數(shù)學(xué)：（1）想象成為基于純邏輯的所有演繹'理論'的全體（2）想象為以原始直覺功能功能為其最終源泉的自主推理活動.

— G.T.Kneebone

（52）

數(shù)學(xué)作為理想的命題總體而存在，而數(shù)學(xué)家工作的目的就是發(fā)現(xiàn)這些命題并用它們形成理論，這些理論付印成書時(shí)，就是數(shù)學(xué).

— Logistic Thessis

（53）

試圖給數(shù)學(xué)下定義所遇到的困難看來主要來自于這樣的假設(shè)，即認(rèn)為數(shù)學(xué)就其本質(zhì)而言是絕對的、不隨時(shí)間和地點(diǎn)而改變的事物，因而一旦一位具有能夠識破和刻劃這一本質(zhì)的慧眼的天才誕生于人世之后，它就能夠被鑒定了，既然數(shù)學(xué)不是上述這種事物（盡管外行人還會在未來的世界中相信它是這種事物），任何刻劃它的企圖肯定只能失敗.

（56）

數(shù)學(xué)家必須冒著失敗的危險(xiǎn)，事實(shí)上在大多數(shù)時(shí)間里，他發(fā)現(xiàn)經(jīng)過數(shù)周或數(shù)月的不停尋求之后，什么結(jié)果也沒有，什么思想也沒得到，精力也沒有了，由于他至少把一些時(shí)間完全用掉了，這就極其近乎完全失敗，這當(dāng)然嚴(yán)重地影響了他對所有其他事物的看法，我相信，冒著完全失敗的危險(xiǎn)以及幾乎注定要輸?shù)舻奈ｋU(xiǎn)，這構(gòu)成了第一位的心理學(xué)問題.

— D.R.Weidman

（57）

甚至最成功的數(shù)學(xué)家也因不被人欣賞而苦惱，自然他的家庭和朋友們對他成就的意義沒有接受能力，甚至比這還要糟糕，其他數(shù)學(xué)家也不欣賞對這一項(xiàng)看去簡單、直接而又瑣碎的研究成果中注入的血、汗和淚，數(shù)學(xué)術(shù)語被設(shè)計(jì)成排除支節(jié)事物而集中于基本過程，但是找到結(jié)果的方法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不同于這些基本過程，數(shù)學(xué)寫作不允許對隱于結(jié)果只會的勞動作任何注釋.

— D.R.Weidman

（58）

當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)分支不再引起除去其專家以外的任何人的興趣時(shí)，這個(gè)分支就快要僵死了，只有把它重新栽入生氣勃勃的科學(xué)土壤之中才能挽救它.

— A.Weil

（59）

十進(jìn)計(jì)數(shù)法的發(fā)明恐怕是科學(xué)史上最重要的成就.

— H.Lebesque

（60）

不用借助任何自然現(xiàn)象，理性就能感知一件數(shù)學(xué)工作的價(jià)值，它的美以及它的存在，玄學(xué)通常認(rèn)為自然是獨(dú)立于人的知覺而存在的，在這種玄學(xué)及無法證明的斷言的制約之下，一些人發(fā)現(xiàn)了很神秘的事，即數(shù)學(xué)和自然有各種關(guān)系，或者科學(xué)已經(jīng)影響了數(shù)學(xué)的發(fā)展.

— R.D.Toupin

（61）

數(shù)學(xué)家必須有能力涉及一系列問題，要搞數(shù)學(xué)，你就得把整個(gè)身心放進(jìn)去，從各個(gè)方面學(xué)習(xí)它，夜以繼日地?cái)[弄它，并把點(diǎn)點(diǎn)滴滴的精力都用于理解它，你能夠有，也許應(yīng)該允許你有偶爾的休息，但這種竭盡心力的狀態(tài)總是要延續(xù)一段時(shí)間的，往往是連續(xù)幾天或幾周.

（62）

簡而言之，我們相信數(shù)學(xué)注定會生存吸取，這座壯麗大廈的主要部分永遠(yuǎn)不會因?yàn)橐粋€(gè)矛盾的突然出現(xiàn)而坍塌，但我們只能說這種信念是基于經(jīng)驗(yàn)的.

— N.Bourbaki

（63）

大多數(shù)學(xué)生將不是從事研究的數(shù)學(xué)家，大多數(shù)不會到達(dá)前沿，但他們能更多地欣賞數(shù)學(xué)，如果他們知道前沿就在那里，知道它（指前沿）不是不可達(dá)到的，對它偶一瞥見并認(rèn)識到它正在被接近了，有時(shí)是平穩(wěn)的，但常常是一陣陣的.

（64）

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維模式就像學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)事實(shí)那樣重要.

— D.R.Weidman

（65）

就此而論，在數(shù)學(xué)中或者在其他任何方面都沒有靠演繹邏輯獲得發(fā)現(xiàn)，發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生于有創(chuàng)造性的想象，這種想象有時(shí)靠類別，有時(shí)靠審美思想，但它根本不是成立于牢固的邏輯基礎(chǔ)上，一旦得到了發(fā)現(xiàn)，邏輯便介入并進(jìn)行控制，正是邏輯決定這發(fā)現(xiàn)是真理還是錯(cuò)覺，因而邏輯的作用盡管極重要卻還是第二位的，但是從嚴(yán)格的觀點(diǎn)來看，一個(gè)證明若沒有完成，它就不存在.

— H.Lebesque

（66）

哈代在1920年說過：'數(shù)學(xué)研究即使是無益的，也是完全無害的和清白的職業(yè)'，從那時(shí)以來我就已經(jīng)明白了，獻(xiàn)身于一個(gè)無害的職業(yè)并不是小成就，也不是所有當(dāng)代數(shù)學(xué)家都能夠自稱取得的成就.

— E.M.Llyod

（67）

我們感到有可能和比我們水平高許多的數(shù)學(xué)接觸，這種數(shù)學(xué)的力量與美盡管只能簡單地一瞥，也構(gòu)成了豐富我們的思想的基礎(chǔ)，并在我們作為數(shù)學(xué)使用者和數(shù)學(xué)教師的樸素活動中給了我們長期反省的機(jī)會.

（68）

數(shù)學(xué)之所以能夠以令人吃驚的程度深入到科學(xué)和技術(shù)的每一個(gè)分支中去，其原因在于數(shù)學(xué)的思想是純粹抽象的，而抽象化正是科學(xué)和技術(shù)的主要動力，數(shù)學(xué)越是遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)（即走向抽象），它就越靠近現(xiàn)實(shí)，因?yàn)椴还芩@得多么抽象的，它歸根到底還是從某些現(xiàn)實(shí)范圍中抽象出來的，一定的本質(zhì)特征的具體體現(xiàn).

— Jagjit Singh

（71）

應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生應(yīng)該主要接受基于純數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，我相信，只有在對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與過程深刻理解并且真正地和其他學(xué)科接觸之后，一個(gè)人才能在應(yīng)用數(shù)學(xué)中做出好的工作.

— S.Karlin

（72）

最令人興奮的時(shí)刻不在什么東西被證明之日，而在一個(gè)新的概念被引伸出來之時(shí).

— I.Kaplansky

（73）

在一位數(shù)學(xué)家試圖證明某些事以前，他必須猜想那些內(nèi)容，在他的證明成功之前，他必須已經(jīng)決定了證明的模式，這通常是從熟悉的手段中選出片段并把他們組合在一起的，通常他在想做證明之前需要預(yù)感，而為做出證明又需要竅門.

— E.J.Macshane

（75）

數(shù)學(xué)力量的來源之一是，研究上的合作習(xí)慣在近期得到發(fā)展，這種習(xí)慣是在能動地分享思想和舉行研究討論班中養(yǎng)成的.

—S.Mac Lane

（76）

數(shù)學(xué)教師不僅要傳授事實(shí)與理解，還要講出數(shù)學(xué)魅力和挑戰(zhàn)的閃光，他應(yīng)該引導(dǎo)他的好學(xué)生觀看數(shù)學(xué)之美，給他們嘗到支配著數(shù)學(xué)家興趣的那種數(shù)學(xué)型的滋味，啟發(fā)學(xué)生的想象力，并使他們愿意從事和渴望從事長期的艱苦工作，以獲得對其具有挑戰(zhàn)味道的結(jié)果.

（77）

對許多人來說，戰(zhàn)爭極大地刺激他們致力于發(fā)展數(shù)學(xué)和技術(shù)、科學(xué)之間的相互作用，我希望將來在沒有戰(zhàn)爭時(shí)，那在知識界與工程界，在社會科學(xué)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)，在生物學(xué)等方面處處皆有巨大挑戰(zhàn)能夠被清楚地理解，能夠?qū)Τ砷L著的年輕一代具有說服力，也能夠形成對數(shù)學(xué)家的挑戰(zhàn).

— R.Courant

（78）

數(shù)學(xué)是有活力的和不斷增長的，數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，因?yàn)樗鼊?chuàng)造了顯示人類精神純思想的形式和模式，它已經(jīng)成為了最偉大的人的屬性之一，因?yàn)樗且粋€(gè)表達(dá)、解釋和交流人的全部行為的方法，在具有清晰的、嚴(yán)格的和邏輯的結(jié)構(gòu)方面，它仍然是科學(xué)的王后，這樣，當(dāng)研究者在其他科學(xué)領(lǐng)域探索發(fā)現(xiàn)我們宇宙的物理的、生物的和社會的現(xiàn)象時(shí)，數(shù)學(xué)成為完善這些學(xué)科的理想和目標(biāo).

— H.F.Fehr

（79）

在今日科學(xué)與數(shù)學(xué)中，除去需要少數(shù)天才人物以外，還需要比以往任何時(shí)候都多的一群有能力的人，他們應(yīng)能夠通過碎小的步子推動大量思想和材料的不斷增長.

— S.Ulam

（80）

我相信，科學(xué)家和工程師在面向數(shù)學(xué)概念和技巧時(shí)有一個(gè)極限點(diǎn)，超過這一點(diǎn)就有害于他的態(tài)度，特別有害于他的創(chuàng)造性，一個(gè)過于數(shù)學(xué)化的科學(xué)家和工程師很可能過于全神貫注于嚴(yán)格性而遠(yuǎn)離那些并不參與數(shù)學(xué)的問題領(lǐng)域.

— L.A.Zadeh

（81）

日益明確和迫切的問題是，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該安排得使學(xué)生盡量正確地并且盡量早地接觸更新的概念，經(jīng)典數(shù)學(xué)貫于以不尋常的技巧和機(jī)智研究孤立的、單一的模型，在這種研究中，它發(fā)展了幾種本身很好的技術(shù)，但是在其任一結(jié)果中，很難分清多少應(yīng)該歸于符合模型的模式，而又有多少是歸于情況的特殊性，與此事實(shí)相反，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中我們從特殊情況中提取抽象結(jié)構(gòu)和模式，并研究這些結(jié)構(gòu)，這種研究的優(yōu)點(diǎn)在于，如此得到的知識不僅能應(yīng)用于我們從其出發(fā)的特殊的數(shù)系，而且也能應(yīng)用于所有表現(xiàn)出同一模式的其他系統(tǒng)，不能對具有同一模式的不同領(lǐng)域間的可連結(jié)性的優(yōu)美和興奮之處過分強(qiáng)調(diào)，對于結(jié)構(gòu)的研究除了把看上去孤立的、無聯(lián)系的領(lǐng)域統(tǒng)一起來，還導(dǎo)致思維的很大的經(jīng)濟(jì)化.

—— U.G.G.Mathematics Reforms Committee

（82）

如果一個(gè)人對數(shù)學(xué)至少貢獻(xiàn)了已為他人所使用的一個(gè)思想、理論或過程，那他就可以被看作是一位數(shù)學(xué)家.

（85）

數(shù)學(xué)形式的美麗之處甚至超過了（全直徑的）滿月的圓輪，因?yàn)樗诒粚W(xué)識淵博者品嘗時(shí)，其形式上甚至?xí)黾?，這不同于月亮，后者在被天神們品嘗時(shí)，其形式上是減少的，這門數(shù)學(xué)科學(xué)還具有極不相同的兩翼或兩測（如初等除法中的方程），這也不同于月亮，后者很難在第一天就見到一個(gè)月的兩半，在天、人、地之間的動與不動的萬物中，哪一樣沒有數(shù)學(xué)的幫助也不能理解.

— Indian Scriptures

（86）

數(shù)學(xué)思想超越時(shí)代與地域，在社會的、政治的以及經(jīng)濟(jì)的條件之外進(jìn)行，并且尋求衡量永恒的形式，作為社會和經(jīng)濟(jì)條件的產(chǎn)物的通常語言不適于這種目的，因而不得不發(fā)明了一種為進(jìn)行抽象思維的符號語言，盡管這種語言是抽象的，但數(shù)學(xué)為生活的各種哲學(xué)提供了新的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)家生活在唯一可被證明為不可非議的世界之象牙塔內(nèi)，而這種證明依賴的事實(shí)是數(shù)學(xué)家的象牙塔，就像一座燈塔一樣照亮了黑暗中的巨大地域，照亮了自然的未被探索的秘密.

— K.L.Misra

（87）

每個(gè)工作的數(shù)學(xué)家都懂得在一串缺少活力的形式化命題與一個(gè)人對一個(gè)數(shù)學(xué)理論所具有（或試圖得到）的'感覺'之間的差別，并且大概會同意幫助學(xué)生看到'內(nèi)部'景色是數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo).

— J.Dieudonne

（88）

由于數(shù)學(xué)推理之美，自然暴露了它自己的偏愛，這在根本上不是偶然的.

— C.N.Yang

（90）

下述各點(diǎn)可以作為數(shù)學(xué)訓(xùn)練之目標(biāo)：（I）提出對數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)相互作用的理解（II）轉(zhuǎn)達(dá)這樣的事實(shí)，即數(shù)學(xué)和每一件其他事物一樣，是建筑在直覺理解和公認(rèn)的傳統(tǒng)之上的，而這些都不是固定不變的（III）證實(shí)數(shù)學(xué)是一項(xiàng)人類活動，它的歷史性標(biāo)志有發(fā)明，發(fā)現(xiàn)，猜想（好的壞的都有），說明其成長的前沿被有趣的未解決問題所覆蓋（IV）將'權(quán)威人物的論辯'與'通過事實(shí)和證明的論辯'相對比，解釋'沒有證明的'與'反駁了的'之間的區(qū)別，以及'構(gòu)造性'證明與'非構(gòu)造性'證明的區(qū)別（V）說明'為什么'這個(gè)問題是重要的，應(yīng)該多發(fā)問，在數(shù)學(xué)中，僅僅給出詳細(xì)證明不是總能構(gòu)成答案的（VI）證明復(fù)雜事物有時(shí)是簡單的，而簡單事物有時(shí)又是復(fù)雜的，并且證明在數(shù)學(xué)以及在其它領(lǐng)域中，值得對熟悉事物詳盡進(jìn)行研究，以及對看去沒希望搞懂的東西進(jìn)行研究.

（93）

在這個(gè)世界上沒有丑陋數(shù)學(xué)的容身之地，如果讀者看到一個(gè)定理的證明顯得丑陋，那他的明確責(zé)任就是找到一個(gè)更好的證明，不美的數(shù)學(xué)是不允許繼續(xù)存在的.

—C.A.Coulson

（95）

數(shù)學(xué)家十分了解在純科學(xué)和它的規(guī)律在生活中的應(yīng)用之間存在的差別，前者只搞思想，而后者中他們被迫受到事情的不完美性和偶然性的影響.

— Karl Pearson 

（96）

數(shù)學(xué)概念不是因其概念上的簡單性而被選中的，而是因?yàn)樗鼈冞m合于精巧操作和極卓越的論證才被選中的.

— E.P.Wigner

（97）

初學(xué)者解決了一個(gè)巧題時(shí)得到了快樂，數(shù)學(xué)家掌握了更先進(jìn)的問題時(shí)也得到了快樂，在這兩種快樂之間沒有很大的區(qū)別，二者都觀看美麗動人之處—即支承著所有結(jié)構(gòu)的那種勻稱的、定義分明的、神秘的和迷人的秩序.

— M.Gardner

（98）

向年級幼小的兒童教數(shù)學(xué)是最容易的，因?yàn)樗麄冇兄笾挠麄兪亲孕诺牟雌渥陨硇枰斫馐挛?，他們不同于許多成年人，他們的信心未被拙劣的教學(xué)動搖過.

— W.W.Sawyer

（99）

如果一個(gè)學(xué)生要成為完全合格，多方面武裝的科學(xué)家，他在其發(fā)展初期就必定來到一座大門并且必須通過這座門，在這座大門上用每一種人類語言刻著同樣的一句話：'這里使用數(shù)學(xué)語言'.

— Q.Hogg

（100）

虛數(shù)是上帝精神的神奇飛行，它們幾乎是介于存在于不存在之間的兩棲類.

—G.W.Leibinitz

（101）

數(shù)學(xué)的無窮無盡的誘人之處在于，它的最棘手的悖論也能夠盛開出美麗的理論之花.

— P.J.Davis

（102）

數(shù)學(xué)家更傾向于重技巧而不是重思想，這和重大科學(xué)研究成就中的基本優(yōu)先次序不同，許多科學(xué)家是富于想象的，機(jī)敏的，但在使用數(shù)學(xué)工具上常常是笨拙的，此外他們的數(shù)學(xué)論述常常包含邏輯錯(cuò)誤，但這些缺陷不會怎樣影響科學(xué)，在實(shí)驗(yàn)科學(xué)和理論科學(xué)中都不像數(shù)學(xué)那樣正統(tǒng)，錯(cuò)誤的出現(xiàn)和改正錯(cuò)誤的過程是科學(xué)中有活力的文獻(xiàn)的組成部分，并且在發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的結(jié)果中起了本質(zhì)的作用.

— S.Karlin

（103）

重要的是讓學(xué)生看到，問題的負(fù)責(zé)程度永遠(yuǎn)也不能用它的公式來實(shí)際地度量，任何人很快就知道了，某些非常簡單的陳述可能包藏較重要的困難，在解決問題時(shí)，應(yīng)該做那些能夠做的，也要花一些時(shí)間做些更難解的問題，并且在分析能力不斷成熟與增強(qiáng)后，經(jīng)常地做一些困難問題.

— R.Bellman

（104）

現(xiàn)代數(shù)學(xué)與它所擴(kuò)展的早期是相連貫的，通常，這不是沒有沖突的，但是它比以往更加快速地改變著科學(xué)的面貌，改變其結(jié)果的內(nèi)容，改變研究對象的選擇以及工作的工具，另一方面，數(shù)學(xué)比以往更密切地接觸其它科學(xué)，尤其是物理學(xué)，因?yàn)檫@兩門科學(xué)感到了來自共同的靈感的支撐，并肩并肩地走向未來的發(fā)展.

（105）

數(shù)學(xué)科學(xué)的四個(gè)方面，即它的分析功能，它對函數(shù)關(guān)系的關(guān)切，它的抽象本質(zhì)以及它對變換下不變量的興趣，全是具有抽象特征的，數(shù)學(xué)家從其固有的興趣出發(fā)培養(yǎng)了這些方面，它們已轉(zhuǎn)變?yōu)橛幸娴某晒?，可能是因?yàn)樗鼈兘沂玖巳祟愵^腦的基本特性，但是他們的應(yīng)用是屬于科學(xué)的，包括自然科學(xué)與社會科學(xué).

— A.Dresdon

（106）

使數(shù)學(xué)成為其學(xué)生們的樂事的原因很多，這包括，從一般定理間的相互作用，可以導(dǎo)出沒有限制的豐富內(nèi)容，這些內(nèi)容的復(fù)雜性，推理出發(fā)點(diǎn)與導(dǎo)出內(nèi)容的相隔遙遠(yuǎn)，大量不同的方法，以及這些方法的純粹抽象性特征，而正是這個(gè)特征作為其贈品又帶來了永恒的真理，當(dāng)然，所有這些特征對學(xué)生有著無法估計(jì)的價(jià)值，多少個(gè)時(shí)代以來，它們迷住了某些最敏銳、最有才智的學(xué)生.

— A.N.Whitehaed

（107）

數(shù)學(xué)家如何思維？一個(gè)人可能想說，他必定為好奇心驅(qū)使，在數(shù)學(xué)中，能夠提出問題甚至比能回答它們更加重要，真正數(shù)學(xué)家的一個(gè)突出特征是，他能從發(fā)生于他面前的諸多問題中選擇出值得發(fā)問的問題，引導(dǎo)他進(jìn)行選擇的那種偏愛，包括對一般性的期望以及對嚴(yán)格性和確切性的追求，真正的準(zhǔn)則是，這個(gè)問題的研究是否會有豐富的新思想內(nèi)容，以及是否導(dǎo)致優(yōu)美數(shù)學(xué)的誕生，偉大的數(shù)學(xué)家對這類情況有著一種直覺.

— A.H.Read

（108）

數(shù)學(xué)家的本質(zhì)上是熱心人，沒有熱心就沒有數(shù)學(xué).

——Novalis

（109）

給我五個(gè)系數(shù)，我將畫出一只大象，給我第六個(gè)系數(shù)，大象將會搖動尾巴.

——A.Report

（110）

不應(yīng)該讓學(xué)生得到這種印象，即在他的全部數(shù)學(xué)努力中，嚴(yán)格性將會最終取代直覺性，因?yàn)槟菢訉髿⑺膭?chuàng)造潛力，他應(yīng)該領(lǐng)悟到，他的思維能夠先行，甚至能夠有效地提前運(yùn)用'某些知識'，在創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)中，假設(shè)往往先于證明，這是一個(gè)歷史事實(shí)，還不止此，一些猜想例如黎曼猜想它至今未被證明，卻已經(jīng)以重要的方式影響了數(shù)學(xué).

—— Cambridge Report

（111）

我所認(rèn)識的每一個(gè)具有真正才能的青年數(shù)學(xué)家都已忠實(shí)地從事數(shù)學(xué)，這不是因?yàn)樗麄內(nèi)狈π坌?，而正是因?yàn)樗臐M懷壯志，他們?nèi)家庾R到，如果有著任何取得終生成就之路的話，那這條路就是在數(shù)學(xué)之中.

—— G.H.Hardy

（112）

每一位數(shù)學(xué)家在一定時(shí)期都會有一個(gè)轉(zhuǎn)變，在轉(zhuǎn)變前他可以通過聽課、演算例題、參加討論班和閱讀最有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)變后他則通過'做'去取得進(jìn)一步地發(fā)展，后一狀態(tài)就是數(shù)學(xué)家個(gè)人從事數(shù)學(xué)研究的狀態(tài)，在這種研究中，問題的答案一般事先不知，而一項(xiàng)研究的延續(xù)周期從數(shù)小時(shí)到數(shù)月，長短不等，經(jīng)驗(yàn)向我們表明，數(shù)學(xué)家發(fā)生這兩狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變的時(shí)間和他取得他第一個(gè)學(xué)位的時(shí)間是非常接近的.

— IMA. Report

（113）

在偉大的數(shù)學(xué)中有一種振奮人心的，帶有交響樂效果的漸強(qiáng)音，加速的拍子和漸強(qiáng)的音量使得脈搏加快，心情激動，數(shù)學(xué)也有這種令人振奮的經(jīng)驗(yàn).

— C.A Coulson

（114）

數(shù)學(xué)構(gòu)成了人類智力的最壯麗的紀(jì)念牌，數(shù)學(xué)具有極大的廣度，且不同于其他科學(xué)的是，它從未遭受衰退，每一個(gè)數(shù)學(xué)真理一旦按照嚴(yán)格的證明原則發(fā)展，并且只要為真正的數(shù)學(xué)家所承認(rèn)，它從此就永為科學(xué)之一部分，并且懂得這門學(xué)科的人不會給它找毛病.

— Thomas Thomson

（115）

最后，我們應(yīng)該同意數(shù)學(xué)創(chuàng)造是自我們的爬洞生活以來的創(chuàng)造性中最偉大的勝利之一，也是我們過去四百年來所以爬得如此之快的原因之一，也許是主要的原因，不言而喻，數(shù)學(xué)是我們科學(xué)文明的基礎(chǔ)，但我還要說，數(shù)學(xué)有資格作為人類成就的象征和符號，有許多可用于檢驗(yàn)社會教育的方法，但其中之一是：這個(gè)社會是否培養(yǎng)了許多創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家，他們是否按照世界標(biāo)準(zhǔn)有其自己的記錄，這方然不是唯一的檢驗(yàn)，但它是一個(gè)起碼的、客觀的和主要的檢驗(yàn)，如果一個(gè)社會教育沒有達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，那就是這個(gè)社會出了問題或它的教育出了問題，一個(gè)社會若不能鼓勵，以及這種特別的卓越，長久下去，它就不是一個(gè)適當(dāng)?shù)纳鐣?

—C.P. Snow

不言而喻，數(shù)學(xué)本質(zhì)是一個(gè)十分重要的討論題目，

也正如小數(shù)君所說，它是每一位數(shù)學(xué)教師，每一位學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生，每一位受過教育的人，每一位科學(xué)（包括社會科學(xué)）技術(shù)工作者，甚至每一位學(xué)生家長都該關(guān)心的問題，是世界上幾乎每一個(gè)人都應(yīng)該感興趣的問題，而讓人驚喜的是，上述這些關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的言論的理解是不需要太高深的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，每條言論也都相對獨(dú)立，甚至有可能在零散的時(shí)間選讀幾條就受益匪淺，上述的各個(gè)觀點(diǎn)可以選擇同意或反對，因?yàn)槭聦?shí)上只有評價(jià)性地閱讀每一條言論并以自己本人的經(jīng)驗(yàn)來充分地加以闡明，才能得到更有益的效果，

那么哪條言論讓你最為贊同？哪條言論又是你所反對的？哪條言論讓你受到的啟發(fā)最大？又是哪條言論讓你印象最為深刻？

下方留言區(qū)等著你的數(shù)學(xué)火花的碰撞！

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